從“題目解決”到“問題本質(zhì)”的探究

蔡瑞卿

一 原題呈現(xiàn)

本題是2022年廣東一模第21題，考察學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具探索函數(shù)性質(zhì)的能力，解題過程涉及零點(diǎn)存在定理，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及其幾何意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識.設(shè)問中涉及x1，x2，a，x0四個變量，結(jié)構(gòu)新穎，解題思路開放，解題過程蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸，函數(shù)與方程等豐富的數(shù)學(xué)思想. 第（1）問常規(guī)設(shè)問答題起點(diǎn)較低，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識，基本方法和基本技能的掌握，無論是通過分類討論，還是分離變量法，學(xué)生基本上能夠理清思路快速解決問題.第（2）問變量較多，解決問題的突破口難以尋找，思路的方向不易尋找，需要學(xué)生在把握基本思路的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)算找到解決問題的契機(jī)，考查到學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

點(diǎn)評：證法1順著問題的思路從零點(diǎn)出發(fā)，將方程f′（x0）=f（x1）－f（x2）x1－x2的解的問題轉(zhuǎn)化為g（x）=f′（x）－f（x1）－f（x2）x1－x2的零點(diǎn)問題，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理解決問題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想；證法2通過分析法將方程問題轉(zhuǎn)化為不等式證明，將雙變量歸一后構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

二 背景分析

該題第（2）問證明的結(jié)論實(shí)際是大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》課程中的拉格朗日中值定理，該定理是高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的高頻選題背景，在近些年全國卷中屢有出現(xiàn)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對高中數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變革，也在選修課程A類“導(dǎo)數(shù)與微分”一章中引入拉格朗日中值定理，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用拉格朗日中值定理證明不等式，為學(xué)生將來步入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).這樣的調(diào)整是對拉格朗日中值定理重要性的有力證明，一線教師應(yīng)當(dāng)能夠理解運(yùn)用該定理并將其作為教學(xué)教研的有力工具.

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一點(diǎn)ε∈（a，b），使得f′（ε）=f（b）－f（a）b－a成立.該定理告訴我們，在（1）（2）的前提下，曲線y=f（x）上至少存在一條平行于直線AB的切線.

三 真題舉例

近些年以拉格朗日中值定理為背景的高考題頻繁出現(xiàn)，例如：

例1 （2018年新高考全國Ⅰ卷理）已知函數(shù)f（x）=1x－x+alnx.

綜上可見，“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”是新課標(biāo)的重要理念，高觀點(diǎn)背景的發(fā)掘和方法的探究，有助于幫助學(xué)生揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生找到解決問題的正確方向和先進(jìn)方法，更加深刻地理解問題，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，具備更廣闊的數(shù)學(xué)視野.為此，一線教師應(yīng)當(dāng)把握合適的契機(jī)，為學(xué)生探究和掌握高觀點(diǎn)知識做好鋪墊，找準(zhǔn)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)更豐富的數(shù)學(xué)知識搭建好的平臺.同時，教師只有具備了更多高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識，對問題的理解才能更接近本質(zhì)，進(jìn)而提升自身專業(yè)能力和教學(xué)水平.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

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［3］傅海倫，邱心宇.微分中值定理在高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用及評析［J］.理科考試研究·數(shù)學(xué)版，2021（12）：28-31.