對2022年全國新高考Ⅰ卷22題Ⅱ問的探究

嚴豪東　劉成龍

一、試題再現(xiàn)

（2022年全國新高考Ⅰ卷22題）已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>0）上，直線l交C于兩點P、Q，直線AP、AQ的斜率之和為0.

（Ⅰ）求l的斜率;

（Ⅱ）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

本題以雙曲線為載體，主要考查解析幾何中的設(shè)線、解點與面積計算.該試題內(nèi)涵豐富，解答入口寬，是考查學(xué)生運算能力、推理能力等學(xué)科素養(yǎng)的良好載體.

二、試題立意

試題的立意是指試題所包含的主要思想.［1］本例立意深刻，下面從基礎(chǔ)知識、思想方法、核心素養(yǎng)三個方面進行分析.

（1）基礎(chǔ)知識立意：命題者在遵循課程標準的前提下，以雙曲線為載體，考查了高中數(shù)學(xué)的主干知識：雙曲線方程、誘導(dǎo)公式、兩直線夾角公式、三角形面積公式等，這有導(dǎo)向高中數(shù)學(xué)教學(xué)夯實基礎(chǔ)、著力主干之意.

（2）思想方法立意：本題涉及函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化與思想、數(shù)形結(jié)合思想等多種數(shù)學(xué)思想，對引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重視數(shù)學(xué)思想方法具有積極意義.

（3）核心素養(yǎng)立意：本題解答涉及較為復(fù)雜的運算和推理，充分考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng);解答（Ⅱ）問建構(gòu)“兩直線夾角”模型，考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);整個解答過程中建立了形與數(shù)間的聯(lián)系，利用圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，考查直觀想象素養(yǎng).

三、試題解法

從系統(tǒng)論來看，一個數(shù)學(xué)問題就是一個相對獨立的系統(tǒng)，對系統(tǒng)的處理（解題）就是把系統(tǒng)中一個個零散的信息按照一定順序串在一起形成一個有機整體.一題多解是解法研究的基本形式，體現(xiàn)的是信息組合的多樣性和思維策略的靈活性［2］.下面給出本題（Ⅱ）的解答.

分析：解答分為三步：求斜率kAP、kAQ，求三角形的各點坐標，求面積.

參考文獻

［1］劉成龍，余小芬.研究高考試題的視角與案例［M］.成都： 四川大學(xué)出版社，2018.

［2］嚴豪東，劉成龍.研究高考試題的視角與案例—以2019年高考全國卷I理科為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020.6.

［3］劉成龍，余小芬.數(shù)學(xué)推廣：概念、特征及教育價值［J］.數(shù)學(xué)通報，2021.5.

（基金項目：內(nèi)江師范學(xué)院本科生教學(xué)研究能力培養(yǎng)模式探索與實踐（YLZY201902），內(nèi)江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究與實踐專項“聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大概念教學(xué)研究”（JG202125）.劉成龍系本文通訊作者. ）