對“橢圓中由兩垂直直線引出的‘包絡’”再研究

周雅俊

筆者在《橢圓中由兩垂直直線引出的“包絡”》一文中得到這樣一個結論：在平面直角坐標系中，圓的方程是x2+y2=r2r>0，由點Mx0，y0引兩條相互垂直的動直線MP、MQ，這族直線PQ的包絡線是一個橢圓，以原點O0，0和點M（x0，y0）為焦點，長軸長是2r2－x20－y20.在此基礎上類比橢圓，提出過這樣一個猜想：在平面直角坐標系中，橢圓的方程是x2a2+y2b2=1a>b>0，由點Mx0，y0x20a2+y20b2<1引兩條相互垂直的動直線MP、MQ，與橢圓相交于P，Q兩點，這族直線PQ的包絡線是一個橢圓，其以Mx0，y0和點c2a2+b2x0，－c2a2+b2y0為焦點，長軸長是2aba2+b2－x20－y20a2+b2.顯然圓中的結論是橢圓的猜想的特殊情況，所以只需要證明橢圓中的猜想即可.這個猜想之所以難以證明，是因為所得的橢圓方程不是標準方程，由某個橢圓的標準方程變換得到也比較困難.再三探究，筆者翻看教材時，在橢圓的光學性質處得到啟發，得以證明.整理成文與讀者分享，不當之處期待方家的指正.