一道高考壓軸小題的解法賞析

楊正朝　令狐泓　陳玉蓮

2022年高考剛剛落下帷幕，筆者發現，2022年甲卷理科12題是以2021年乙卷理科12題為母題而命制，其解法具有相似之處，下面將具體解法進行分別闡述.

一、考題展示及分析

（2022年全國高考甲卷理科12）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，則（ ）.

分析：該題考查了函數、導數等相關知識，涉及轉化與化歸的數學思想方法，體現了數學運算、邏輯推理等數學核心素養，此題作為壓軸小題，題干簡潔，但是難度并非如題干那般簡單明了，因此，需要學生以多個視角去剖析問題所在，根據數學情境解決相關問題.

二、解法探究

由于cb=4tan14，當x∈0，π2時，sinx14，即有cb>1，所以c>b，接下來只需要比較a與b，c的大小即可.

解法1：（利用函數單調性）由于a=3132=1－12142，b=cos14，根據上述式子，構造出函數f（x）=1－12x2，g（x）=cosx，設h（x）=cosx+12x2－1，當x∈（0，+∞），h′（x）=－sinx+x>0，所以h（x）在（0，+∞）單調遞增，則h14>h（0）=0，即有cos14－3132>0，所以b>a，所以c>b>a，故選A.

評注：根據題干信息，將式子轉化為a=3132=1－12142，b=cos14，通過觀察式子特征構造出函數f（x）=1－12x2，g（x）=cosx，通過作差法，結合導數相關知識判斷函數的單調性，進而達到比較大小的目的.