數列中探索性問題的類型與破解策略

姜興榮

數列中的探索性問題是近年高考中比較常見的一類創新性問題，借助創新情境設置，結合條件探索、結論探索、存在探索等不同類型來合理設置，根據數列中的定義、通項公式、求和公式以及相關性質等加以變形與應用，合理變形，巧妙放縮，從條件出發，通過觀察、試驗、運算、歸納、類比、猜想來剖析與轉化，大膽的猜想，總結規律，能較好達到創新能力培養的教學目標.

1.條件探索性問題

數列中條件探索性問題的基本特征是：針對一個確定的結論，條件未知需探求，或條件增刪需確定，或條件正誤需判定等.解決此類數列中條件探索性問題的基本策略是：執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件.特別注意，在“執果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤就是沒有充分考慮推理過程是否可逆，誤將必要條件當作充分條件.

點評：遇到數列中的多個變量的存在性問題，一般先假設存在性成立，求出滿足條件的關系，再進一步尋找滿足的條件即可；而根據條件推出矛盾則說明不存在.破解此類問題一般可以利用數列的函數性質、重要不等式、函數的值域或取值范圍等的判斷來確定對應的存在性問題.

處理數列中的探索性問題，應充分利用已知條件或對應的結論，合理根據數列前幾項的特點透徹分析、發現規律、猜想條件或結論或存在性等，經常綜合不等式的性質（包括放縮法等）、函數的性質等加以合理運算與推理，從而得以解決探索性問題，提高數學應用能力與創新能力，綜合數學知識、數學思想方法和數學能力的應用，養成良好的數學品質，培養數學核心素養.