“函數的概念和圖象(1)”的教學設計與意圖分析
——兼談批判性思維的培養*

武瑞雪

(江蘇省徐州市睢寧縣第一中學 221200)

1 基本情況

1.1 學情分析

從學生來源層面看:學生來自蘇北四星級重點高中高一年級普通班,學習習慣較好,自學能力較強．

從學生知識層面看:學生在初中已學過函數的相關知識,有一定的基礎;在蘇教版高一必修第一冊第一章學過“集合”相關知識,為重新定義函數及揭示函數的本質提供了知識保證．

從學生能力層面看:學生已有一定的分析、推理、概括、抽象等能力,具備學習函數(新)概念的基本能力．

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中教科書·數學(必修第一冊)》[1],第1～4章分別為“集合”“常用邏輯用語”“不等式”“指數與對數”,本節課是第5章“函數概念與性質”的第1節“5.1 函數的概念和圖象”第1課時,通過本節課的學習,讓學生能夠從兩個變量之間的依賴關系、實數集合之間的對應關系兩個角度,理解函數的含義及函數的符號y=f(x),溫故(初中所學函數(舊)概念)而知新(高中函數(新)概念),并知曉函數舊、新概念本質是一樣的——函數的本質是一種對應．

函數是現代數學最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言、工具和模型,在解決實際問題中發揮著重要作用,正如托馬斯所言,“函數概念是近代數學思想之花”．函數是貫穿高中數學課程的主線,滲透在數學的每個角落,函數概念是學習后續的冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等具體的基本初等函數以及不等式、數列、解析幾何、導數等數學知識的基礎,同時函數的基礎知識在現實生活、社會、經濟及其他學科中有著廣泛的應用．

函數內容一直都是高中數學的核心內容,函數思想也是高中數學重要思想．但是,很多學生學習函數概念時感到較難.那么,學生學習函數時的難點到底是什么?如何突破這些難點?根據筆者的教學經驗,下面對本節課進行教學設計和意圖分析,供同仁參考．

教學目標 (1)在初中函數(舊)概念的基礎上,學會用集合與對應的語言來刻畫函數,親歷函數(新)概念產生的過程,理解函數、定義域、值域的概念;(2)正確理解函數符號y=f(x),感受數學的抽象性和y=f(x)的簡潔美;(3)理解f(a)(a為常數)與f(x)的區別;(4)了解構成函數的三要素,會求簡單函數的定義域、值域;(5)提升歸納、推理、抽象的思維能力．

意圖分析1這樣設計教學目標可操作性強,易于檢測目標的達成度．

教學重點 函數概念的形成,正確理解函數的概念．

教學難點 發展抽象思維能力,對函數概念的本質及函數符號y=f(x)的理解．

意圖分析2只有充分了解本節課的教學重點、教學難點,教學時才能更有效地突出重點、突破難點．高一學生數學抽象素養還不能很好地從具體情境中歸納、概括、抽象出函數的精確定義,基于此,才如此確定本節課的教學難點．

1.3 教學方法、學習方法、教學媒體

教學方法 擬采用“問題串式教學法”,即以問題串為主線,通過豐富的實例,設置問題情景,讓學生發現問題中兩個變量的依賴關系、兩個非空實數集合之間的對應關系,引導學生歸納、概括抽象出函數概念的本質,即按照“問題情景→共性→歸納→抽象→概念→應用”的認知規律呈現概念的形成和應用過程．

學習方法 采用“在教師引導下的探究式學法”,讓學生在教師的引導下探究、歸納、概括、抽象出函數的概念,并深刻理解函數概念,讓學生由“被動學會”變成“主動會學”．

教學媒體 通過多媒體,為學生提供生動、形象、直觀的材料,增加課堂容量,提高課堂效率;同時與黑板板書相結合．

2 教學過程

2.1 復習回顧,溫故知新

問題1(1)初中時我們學習過的一次函數、反比例函數、二次函數的表達式分別是什么?(2)在初中,“函數”是怎樣定義的?

意圖分析3通過問題1,讓學生回顧初中所學習的幾個特殊函數“一次函數”“反比例函數”“二次函數”等的表達式及初中“函數”的定義,讓學生再次經歷由特殊到一般的思維過程,感受到利用函數可以描述兩個變量之間的關系和規律,并為探究下面的問題2作好鋪墊．

2.2 創設問題情境,揭示局限,引入新課

意圖分析4對于問題2中的三個問題,有的學生可能會順利給出答案,而有的學生由于受認知能力的影響和初中所學函數(舊)概念的局限性不能給出答案．首先,初中函數(舊)概念中有“兩個變量”,那么,問題2(1)中y是變量嗎?其次,初中函數(舊)概念中有“在一個變化過程中”,何為“一個變化過程”,問題2(3)是一個變化過程還是兩個變化過程呢?學生很難進行判斷,繼而形成認知沖突,感悟學習函數(新)概念的必要性.至此,本節課的課題被引出,同時解答了學生的“為什么要重新定義函數”的困惑．為了提高課堂容量和教學效率,可要求學生在課前復習、思考上面的問題(1)和(2)．

再看下面現實生活中的三個問題:

問題3人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據．從中國統計年鑒中可以查得我國1979—2014年人口數據資料(年末),如下表所示:

年份19791984198919941999200420092014人口數/百萬9751 0441 1271 1991 2581 3001 3351 368

你能根據該表說出我國人口的變化情況嗎?

問題4一物體從靜止開始下落,下落的距離(單位:m)與下落時間x(單位:s)之間近似地滿足關系式y=4.9x2．若一物體下落2 s,你能求出它下落的距離嗎?

問題5某市一天24小時內的氣溫變化如圖1所示:

圖1

(1)上午6時的氣溫約是多少?全天的最高、最低氣溫分別是多少?

(2)在什么時刻,氣溫為0 ℃?

(3)在什么時刻,氣溫在0 ℃以上?

意圖分析5問題3～5,分別用列表法、解析法和圖象法給出:一方面意在呼應下一節函數的三種表示法,另一方面也便于學生理解抽象的符號f,對于這一點,下文中會提到．由學生通過對這三個問題的思考而自主抽象概括出函數(新)概念一定有困難,教學時,可先讓學生獨立思考這三個問題,在學生充分觀察、分析、比較后,教師再提出如下的 問題6,以降低學生自主概括、抽象出函數(新)概念的難度．

問題6問題3～5中涉及的兩個變量的對應關系在呈現方式上有什么不同?又有什么共同特點?

意圖分析6對于問題6,要讓學生先行獨立思考,然后分組討論交流,最后教師引導學生總結歸納.(1)呈現方式不同:分別是一個表格、一個數學表達式、一個圖形;(2)共同特點:都含有兩個變量,當一個變量的取值確定后,另一個變量的值隨之唯一確定,根據初中所學的知識,都涉及一個確定的函數,這就是它們的共同特點．通過問題6,讓學生再次溫習初中所學的函數概念．

問題7你能用“集合語言”來闡述問題3～5的共同特點嗎?

意圖分析7通過問題7,為用“集合語言”和“對應關系”刻畫函數(新)概念做好鋪墊,也為順利解答問題2中的三個問題打好基礎．此問題屬于構造函數(新)概念的創新性問題,難度較大,故不宜放手讓學生自主探究,而應在教師恰到好處的啟發、點撥下探究、歸納、概括、抽象出如何用“集合語言”描述問題3～5的共同特點:①每個問題均涉及兩個非空的實數集合A,B;②每個問題中兩個集合A,B之間都有某種對應關系;③對于A中任意元素x,B中總有唯一的一個元素y與之對應．

通過上面足夠多的、恰當的問題情境,讓學生對函數(新)概念有充分的認知準備,讓學生親歷函數(新)概念的發生、發展過程,利于學生的理解與記憶．可以說,那種忽略問題情境設計、濃縮概念建構過程、直接給出形式化函數(新)概念的教學,定會造成學生認知困難,定會讓學生感覺函數(新)概念抽象難學．

2.3 建構函數(新)概念,理解函數本質

教師引導學生用準確、嚴謹的數學語言歸納、抽象出函數(新)概念以及定義域、值域等相關概念．

給定兩個非空的實數集合A和B,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的每一個實數x,在集合B中都有唯一的實數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x∈A．其中,x叫作自變量,集合A叫作函數的定義域．若A是函數y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個x(輸入值),都有一個y(輸出值)與之對應．所有輸出值y組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數的值域．

問題8請同學們找出函數(新)概念中的關鍵詞,并用簡潔的語言說明．

意圖分析8第一,充分發揮學生的主體作用,讓學生發表意見,找出關鍵詞．第二,充分發揮好教師的主導作用,并舍得在找函數(新)概念中的關鍵詞上花時間,讓學生對這些關鍵詞能夠“細嚼慢咽”:非空、每一個、唯一、對應;并強調對應法則是從A到B,對應關系f可以是解析式、圖象、表格等．第三,教師要引導學生根據函數的(新)概念,概括出:①函數三要素:定義域、對應關系、值域;②在函數三要素中,值域是由定義域、對應關系決定的;③只要兩個函數定義域、對應關系相同,這兩個函數就是同一函數．

問題9如何理解函數(新)概念中的符號f和y=f(x)?

意圖分析9很多學生不理解函數(新)概念中的符號f和y=f(x),這主要是因為這種抽象的數學符號語言與學生熟悉的日常語言之間具有很大差異,極易讓學生產生恐懼或焦慮,導致對抽象的符號f和y=f(x)的理解成為本節課的難點．如何突破這一難點?首先可讓學生各抒己見,其次教師可從如下五個方面著手:

圖2

第一,重視課本中旁注的示意圖(圖2),這個示意圖可用一個生活化的例子來解釋:x好比是“原料”,f好比是“機器”,f(x)就好比是“成品”,向機器f輸入一個原料x,經機器加工后就輸出一個成品f(x),這樣學生理解符號f和y=f(x)的含義就容易了．換句話說:“x在f作用下變為y”,y=f(x)是“y是x的函數”的數學表示(圖3)．

圖3

第二,重視課本中的旁注“y也稱為因變量”,讓學生明白y處于從屬地位,y是因x的變化而變化的一個量,利于學生理解函數符號y=f(x),理解f是一種對應關系,同時,也利于讓學生理解函數y=f(x)的值域不是定義中的集合B,而是{y|y=f(x),x∈A},理解值域是集合B的一個子集．

第四,注意在黑板上對函數符號y=f(x)的板書順序:先寫x,再寫f( ),最后在f(x)前寫“y=”,在板書函數符號y=f(x)的同時用文字語言表述函數概念,以此加深學生對符號y=f(x)的理解．

在教學難點處,必須舍得花時間,放慢節奏,讓學生充分思考、討論,在互動、交流中充分發表自己的意見,教師適時給予必要的點撥、指導.唯有如此,才能幫助學生突破難點．

問題10請對比初中所學函數(舊)概念與現在所學的函數(新)概念,兩者有什么不同?本質上是否一樣?

意圖分析10通過問題10的思考,讓學生用批判性思維比較初中函數(舊)概念(變量之間的依賴關系刻畫)與高中函數(新)概念(用“集合語言”和“對應關系”刻畫)的不同,認識到兩者的區別僅在于表述方式上不同,舊、新概念并不矛盾,在本質上還是一致的——函數的本質是一種對應．

教師要引導學生從“兩個變量之間的依賴關系”“兩個實數集合之間的對應關系”兩個不同角度認識函數概念,用批判性思維處理好繼承與發展的關系,幫助學生建立完整的函數概念,認識到初、高中函數概念的不同主要體現在如下兩點:將初中函數概念中的“一個變化過程有兩個變量”用“兩個非空的實數集合”代替;把初中函數概念中與x對應的數y,通過引入“對應關系”符號f,換成了f(x)．

2.4 學生自主活動,鞏固函數概念

練習1:請同學們利用函數(新)概念,再次回答問題2中的三個問題．

意圖分析11用剛學過的函數(新)概念—— “實數集合之間的對應關系”描述的函數概念,解決前面提出的問題,前后呼應,承前啟后,并讓學生體會用“集合語言”和“對應關系”定義函數的必要性,同時讓學生知道,對函數概念重新定義,不全是為了解決初中解決不了的問題,也是為了完善函數概念,為學生提供認識同一問題的另一種方式．

練習2:請用函數的(新)概念重新認識一次函數、二次函數、反比例函數,如何表述這些函數?

意圖分析12檢驗學生是否學會用集合和對應的語言表述初中所常見的幾個函數,幫助學生鞏固函數的概念及函數的三要素,體會初、高中函數概念的異同,建立函數的舊、新概念的聯系．

練習3:在圖4中,能表示函數y=f(x)關系的有．

圖4

意圖分析13通過練習3,引導學生通過“幾何直觀”判斷“兩個變量之間的依賴關系(初中)”“兩個實數集合之間的對應關系(高中)”,認識到自變量和因變量之間的關系有時是可以用圖象描繪的,加深學生對函數概念的理解．同時,也幫助學生從“幾何直觀”的角度回答問題2(1)．

學生對函數概念的深度理解需要直觀和形象化的支持,即作為代數的函數概念與作為圖形的函數圖象的緊密結合,有利于學生深刻理解函數概念,減少學生在函數概念學習上的困難．

事實上,在很多數學概念的學習中,“畫個直觀圖形”是極為重要的!教師要對學生經常性地進行直觀和形象化技能的訓練,促使學生數形結合思想的養成,以減少函數概念乃至整個數學學習的難度．當然,并不是所有函數都能畫出圖象的,如上面所提及的狄利克雷函數．

例1判斷下列對應是否為函數:

意圖分析14(1)辨析一個對應是否為函數,利于培養學生的批判性思維,利于學生鞏固函數的概念,幫助學生理解并記住函數(新)概念中的關鍵詞．只有當學生按照數學的嚴謹性標準理解并記住了函數的舊、新概念,才會在處理相關問題時熟練地遷移應用．(2)通過例1,讓學生再次認識到:函數的本質是對應,但不是所有的對應都是函數．

例2求下列函數的定義域:

意圖分析15通過例2,讓學生認識到:每一個函數都有它的定義域,給定函數時要指明函數的定義域．對于用表達式表示的函數,如果沒有指明定義域,那么就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的自變量的取值集合;引導學生總結常見函數定義域的求法,使學生加深對定義域的認識．

例3求下列函數的值域:

(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};

(2)f(x)=(x-1)2+1．

意圖分析16通過例3,讓學生認識到:對應法則相同,但定義域不同,則值域一般也不同,同時掌握函數值域的求法,強化任意自變量的函數值是唯一的,并認識到符號f(a)(a為常數)與f(x)既有區別又有聯系,f(a)是f(x)在x=a時的一個函數值,f(a)(a為常數)是一個特殊值,而f(x)是一個變量．

2.5 當堂檢測,反饋學情

教材第100～101頁第3～7題．(因時間關系,左、右邊學生分別做每道大題中的奇、偶數小題)

意圖分析17通過當堂檢測,既讓學生及時了解到自己對函數概念、函數三要素的掌握程度,便于查漏補缺,又讓教師了解學情,便于教師對易錯點、格式的規范性進行強調,便于后續章節內容的備課與教學．

2.6 歸納小結,完整把握函數概念

(1)函數的概念;(2)函數的本質;(3)函數的三要素及函數定義域、值域求法．

意圖分析18讓學生歸納總結出本節課所學主要內容,教師作適當點撥、引導、補充,培養學生的歸納、概括、表達和總結能力．教師不要越俎代庖,要充分體現學生為主體、教師為主導的教育理念．

2.7 布置作業,鞏固所學

必做題:教材第105頁第3～5題.選做題:教材第105頁第7～8題．

意圖分析19分層次布置作業:數學基礎較差的學生只做必做題,其余學生全做,讓不同認知水平的學生在數學上獲得不同的發展．補充的第(1)(2)題,一方面幫助學生鞏固函數概念,另一方面培養學生的批判性思維;第(3)題,除了加深學生對函數概念的理解,同時還讓學生知道有的函數沒有解析式．

3 結束語

本節課是函數(新)概念的起始課,以“感受函數(新)概念引入的必要性,親歷函數(新)概念的建構過程,感悟函數(新)概念中的關鍵詞,理解函數舊、新概念本質的一致性,運用函數概念”為教學主線,通過“問題串”前掛后連.為了更有效地突破教學難點,在難點處放慢節奏,給學生充分的思考、討論的時間,讓學生發表意見,成為課堂的主人;在難點、重點處,教師要給予適當的思維點撥、指導和示范,成為課堂的主導者.在復習初中函數(舊)概念、建構高中函數(新)概念以及運用函數概念辨析一個對應是否是函數、兩個函數是否是同一個函數的過程中,要時刻注意對學生批判性思維能力的培養,讓學生真切體會到函數(新)概念是對函數概念的完善,函數(新)概念絕不是對函數(舊)概念的否定．