2023年全國高考乙卷解析幾何試題解析與背景探討

陳偉流

(廣東省惠州市仲愷中學(xué) 516229)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教學(xué)建議中提到:教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,敢于質(zhì)疑、善于思考,理解概念、把握本質(zhì),數(shù)形結(jié)合、明晰算理,厘清知識的來龍去脈,建立知識之間的關(guān)聯(lián)．教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]．為此,筆者以2023年全國高考乙卷解析幾何試題為例,以解析幾何運算問題為研究對象,在一題多解中培養(yǎng)學(xué)生的運算思辨觀念,優(yōu)化運算策略,并進(jìn)一步揭示試題的一般背景,促進(jìn)學(xué)生理解算法算理的合理性與科學(xué)性,從而提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)．

1 真題呈現(xiàn)

(1)求曲線C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交曲線C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸交于M,N兩點,求證:MN的中點為定點．

評析試題以直線與橢圓的位置關(guān)系為載體,突出了對學(xué)科主干知識、數(shù)學(xué)核心概念、基本思想方法的考查;試題以調(diào)和性質(zhì)為命題背景,既傳承經(jīng)典,又常考常新,其切入口寬,拓展空間大;試題立足學(xué)生視角,要求學(xué)生對通性通法、數(shù)學(xué)本質(zhì)有較高的掌握程度,強(qiáng)調(diào)考核學(xué)生融會貫通、學(xué)以致用的問題解決能力,著重凸顯創(chuàng)新思維、獨立思考的問題分析能力;試題以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,注重對學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科素養(yǎng)的考查,契合新課標(biāo)命題理念．

2 解法分析

圖1

評析注意到在解法1中,直線AP,AQ的斜率滿足kAP+kAQ=3,即直線PQ過定點,且直線AP,AQ的斜率滿足斜率和(積)為定值,契合“手電筒模型”的知識理論,從雙斜率視角切入,齊次式斜率同構(gòu)法可規(guī)避曲直聯(lián)立的運算負(fù)擔(dān)．

圖2

從解法2中看出,點E坐標(biāo)的非特殊性以及橢圓方程中的參數(shù)a,b,引發(fā)韋達(dá)定理與M,N坐標(biāo)的相對復(fù)雜性,此時, 優(yōu)化點E的坐標(biāo)和橢圓方程成為優(yōu)化運算的一個突破口,坐標(biāo)平移法和仿射變換法應(yīng)運而生．

圖3

3 背景探討

在解法分析中我們發(fā)現(xiàn)了過定點E的動直線PQ滿足kAP+kAQ=3(定值)的結(jié)論,即MN的中點恰是橢圓的上頂點B(0,3),且滿足kAP+kAQ=2kAB,這是偶然還是必然?為揭示試題背景的一般性,筆者引入調(diào)和點列(調(diào)和線束)、極點、極線的概念,深入分析上述發(fā)現(xiàn)的合理性,全面還原試題的命制背景．

3.1 基本定義及性質(zhì)

性質(zhì)1 若直線EA,EB,EC,ED為調(diào)和線束,直線l平行于調(diào)和線束中的任一直線,且與另外三直線交于三點,則三點中的內(nèi)點平分三點所成線段．

圖4

圖5

性質(zhì)3 圓錐曲線的調(diào)和性質(zhì)．

對于圓錐曲線,其極點對應(yīng)的極線方程分別為:

圓錐曲線橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)拋物線y2=2px(p>0)極點P(x0,y0)對應(yīng)的極線x0xa2+y0yb2=1x0xa2-y0yb2=1y0y=p(x0+x)

圖6

3.2 試題的高觀點解答

圖7

3.3 試題的背景推廣

圖8

如果將探究背景進(jìn)一步推廣到雙曲線及拋物線,經(jīng)筆者探究,有以下結(jié)論:

評注命題2～4的證明與命題1類似,從略;對于焦點在其他坐標(biāo)軸上的圓錐曲線,仍有類似結(jié)論,不再贅述．

4 應(yīng)用提升

(1)求橢圓E的方程;

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N,當(dāng)MN=2時,求k的值．

(1)求橢圓C的方程;

以調(diào)和性質(zhì)為命制背景的試題屢次現(xiàn)身高考,如2022年的全國乙卷試題、2022年及2020年北京卷試題,既突顯了新課標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的命題理念,又反映了新時代高考試題為國家服務(wù)選才的時代宗旨,富有重大的示范引領(lǐng)意義．因此,教師在教學(xué)中要重視經(jīng)典解析幾何問題模型,為學(xué)生揭示試題背后的命制背景,從根本上明晰算理和算法的科學(xué)性與實效性,提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);通過類比、歸納、演繹等邏輯推理的方式,領(lǐng)悟知識本源上的通性規(guī)律,把握其數(shù)學(xué)本質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的高階思維,如此才能觸類旁通,實現(xiàn)做一題通一類,促進(jìn)師生在雙向備考上的提質(zhì)增效．