數學核心素養指向下單元整體教學的設計及反思
——以“三角形全等的判定(SSS)”為例*

應琴芬 唐笑敏 王羅那

(湖州師范學院教師教育學院 313000)(湖州師范學院理學院 313000)

1 問題提出

數學核心素養作為數學學科的“承重墻”,如何落地是教育界廣為關注的問題之一.但要實現理論與實踐的融通發展,還存在不少困難.究其原因主要有以下兩個方面:其一,數學核心素養遠高于知識技能,單純通過課堂上的教、學、練,無法完全實現核心素養的培養.“悟”是核心素養培育的重要路徑.其二,數學核心素養的發展需要經歷系統化的數學活動.當下“備一課,上一課”的課時教學,會導致學生囿于碎片化學習困境,影響核心素養的生成.

單元整體教學起源于19世紀末的“新教育運動”.相較國外而言,我國對此的研究起步較晚,但近年來已成為我國教育界的研究熱點之一.李昌官指出:“單元教學是針對課時教學整體感不強、知識分解過度、學習碎片化、教學效益低下的現象而提出的,是更好地培養學生核心素養的需要.”[1]那么,為什么單元整體教學能有效涵育數學核心素養?如何打破章節壁壘,營造“悟”的學習情境,開展有利于發展數學核心素養的教學呢?本文立足數學核心素養與單元整體教學的內涵特征,闡述二者之間的耦合關系.進一步,以浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》“三角形全等的判定(SSS)”為例,開發單元整體教學設計案例,進行教學設計反思,以培育學生的核心素養.

2 關聯解構

2.1 數學核心素養與單元整體教學的特征分析

一方面,數學核心素養作為知識技能、思想方法與情感態度等的綜合體現,應伴隨知識的進階而提升,需要經歷系統化的數學活動才能逐漸生成,具有綜合性、習得性、持續性、發展性、整體性與階段性等特點.另一方面,單元整體教學是以教材的自然單元為基礎,以整體教學觀為指導,對教學目標與內容、教學活動與方式、教學過程與評價等進行系統規劃、整體設計和有序實施,從而實現“整體大于局部之和”的教學效果的一種教學方法[2].換言之,教師在開展單元整體教學時,應立足學科邏輯,結合具體情境,幫助學生在自主獲得學習對象、找到研究方法與建構知識體系的過程中逐步發展核心素養.由此可知,單元整體教學具有問題情境性、動態生長性與系統關聯性等特征.

不難發現,單元整體教學的問題情境性是指在教學過程中應以問題為導向、情境為載體,采用“問題引領型”教學方式,從而為知識技能與思想素養的形成提供必要條件,與之對應的是數學核心素養的綜合性與習得性.單元整體教學的動態生長性是指在開展以知識、方法、思想等為主線的單元教學時,應注重知識的內部聯系,幫助學生在后續的類似內容中靈活遷移應用,與之對應的是數學核心素養的連續性與發展性.單元整體教學的系統關聯性是指在教學中既要從整體上把握知識,也要注重各個階段之間的層級銜接,與之對應的是數學核心素養的整體性與階段性.因此,單元整體教學必然能有效涵育數學核心素養.兩者在特征方面的對應關系如圖1所示.

2.2 數學核心素養與單元整體教學的耦合關系

數學核心素養依賴于數學知識與技能,又高于數學知識與技能,凌駕于數學思想與數學方法之上[3],是開展單元整體教學的目的所在.單元整體教學作為一種超越知識技能、關注學科邏輯的教學模式,在打通不同章節知識“隔墻”的同時,還能創設“悟”的學習環境.這為數學核心素養的發展提供有利條件.這樣,通過單元整體教學的三個步驟:獲得學習對象、找到研究方法與建構知識體系,最終引導和幫助學生形成整體觀念,從而發展核心素養.反之,學生數學核心素養的培養也需要細化在上述三個步驟的教學活動中.

圖1 數學核心素養與單元整體教學在特征方面的對應關系

因此,單元整體教學不僅僅只是以核心素養為導向的教學,更要在教學流程中充分體現數學核心素養的特征.即引導學生在獲得學習對象的同時,會用數學的眼光觀察現實世界,這指向數學核心素養的綜合性與習得性特征;在找到研究方法的同時,會用數學的思維思考現實世界,這指向數學核心素養的持續性與發展性特征;在建構知識體系的同時,會用數學的語言表達現實世界,這指向數學核心素養的整體性與階段性特征.由此,讓學生在經歷“三會”的過程中實現核心素養的培育.數學核心素養與單元整體教學的耦合關系如圖2所示.

圖2 數學核心素養與單元整體教學的耦合關系

3 案例呈現

全等三角形作為研究平面圖形的基礎,是幾何入門最關鍵的環節.相較全等三角形的概念與性質而言,其判定方法更具有高度抽象性與形式嚴謹性.故三角形全等的判定成為培育學生數學核心素養的理想載體.遺憾的是,國內教材皆將SSS,SAS,ASA,AAS,HL各一課分開處理,這導致學生難以在整體視野下建立知識框架體系.事實上,SSS是學生學習全等三角形的概念與性質后首個接觸的判定方法.就單元整體教學的視角而言,SSS既是全等三角形內容的延續,也是后續研究平面幾何的基礎.相應地,學生在“畫圖—感知—猜想—驗證—說理—表達”系統化學習的過程中,逐步形成全等三角形的知識體系,發展幾何直觀與邏輯推理等數學核心素養.下面采用問題串的方式設計單元整體教學.

3.1 創設情境:獲得學習對象

情境1為營造溫馨和諧的學習環境,老師欲在教室墻面裝飾一串三角旗.若已知一個彩旗,怎樣剪裁才能確保所有彩旗形狀、大小一致?能將其轉化為數學問題嗎?

問題 使用全等三角形的定義來判定三角形全等過于復雜,有沒有更為簡便的判定方法?

講解 三角形的形狀與大小由三個頂點相對位置唯一確定;相對位置取決于頂點間的距離與方向,即取決于三角形的邊長與內角.可見,測量一個三角形彩旗的三條邊與三個角,以此為例進行裁剪,可保證所有三角形全等.那么,六個要素必須全部測量嗎?還有沒有更為簡便的判定方法?

追問1 如果有,最簡單(即條件最少的)的判定方法是什么呢?

設計意圖立足學科邏輯創設的問題情境,不僅展現數學核心素養的習得性與綜合性,更有利于學生從整體上把握研究對象.在幫助學生獲得學習對象(三角形全等的判定)與找到邏輯起點(全等三角形的定義)的同時,促使學生養成從數學視角觀察現實世界的好習慣,為學生幾何直觀能力的發展奠定基礎.

3.2 施行推理:找到研究方法

問題1 對于探索更簡便方法判定三角形全等的問題而言,直接研究難度較大,怎樣研究會使問題難度降低呢?

問題2 以要素數量為分類標準展開研究,其他分類標準的研究類似.若只考慮一個元素,即已知一組三角形中的一條邊或一個角對應相等,能判定三角形全等嗎?

問題3 若考慮兩個要素,即已知一組三角形中兩邊、一邊一角(一角及其鄰邊、一角及其對邊)、兩角對應相等,能判定三角形全等嗎?

活動1三個要素所涉及的分類過于繁雜,需要依次分析.類比上述過程,嘗試設計研究方案,條理清晰即可.

問題4 若一組三角形中三邊對應相等,能判定三角形全等嗎?

講解 在幾何演繹體系中,說明一個命題是假命題,只需舉反例即可.反之,證明一個命題是真命題,需要借助演繹推理進行嚴格證明.

活動2已知線段a,b,c(圖3),用直尺和圓規在紙上畫出△ABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.將△ABC裁剪后與同桌進行比較,它們是全等三角形嗎?(引出SSS)

圖3

設計意圖其一,摒棄課本“開門見山式”作圖驗證,采用學生自主設計研究方案的學法.這不僅有助于學生整體把握學習對象,而且有利于培養學生的數學思維.其二,通過改編教科書的證明方法(用刻度尺和圓規在一張透明紙上畫出△DEF,使其三邊分別為1.3 cm,1.9 cm和2.5 cm),讓學生在經歷特殊到一般、合情推理到演繹推理的過程中,逐步發展幾何直觀與邏輯推理能力.在強調同類知識研究方法的同時,凸顯核心素養的持續性與發展性.

3.3 理清圖式:建構知識體系

情境2幾何圖形在日常生活中有著廣泛應用.譬如,埃及的金字塔、房屋的人字架等都采用三角形結構.但是學校的收縮門、吊車的折疊梯等都采用四邊形結構.為什么前者設計成三角形?其他平面圖形可以嗎?(同桌之間互相討論,進而引出三角形的穩定性)

講解 本節課的學習內容與研究方法如 圖4所示.

設計意圖其一,借助實際問題,鞏固全等三角形的判定定理(SSS),促使學生在數學表達與交流過程中,獲得幾何直觀能力.其二,在整體思路與方法的指引下,立足學生認知結構,組織學生回顧探究過程,幫助學生在建構結構化知識體系的過程中,體現數學核心素養的整體性與階段性.

圖4

3.4 反思過程:發展核心素養

例1在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=CB.求證:∠A=∠C.

習題 工人師傅常用角尺平分一個任意角.做法如下:如圖5,∠AOB是一個任意角,在邊OA和OB上分別取OM=ON,移動角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與M,N重合.過角尺頂點C的射線OC即是∠AOB的平分線.為什么?

圖5 圖6

例2如圖6,已知∠BAC,用直尺和圓規作∠BAC的平分線AD,并說出該作法正確的理由.

問題 目前,全等三角形研究了哪些內容?能舉例說明日常生活中運用全等三角形知識的實際例子嗎?

追問1 全等三角形是按照怎樣的研究思路開展探究的?各個環節的研究角度有哪些?

追問2 在研究三角形全等的判定時,運用了哪些數學思想?研究方法是什么?

追問3 今后還會學習全等三角形的哪些內容?能否嘗試運用本節課的研究方法,繼續探究全等三角形的其他判定方法?

設計意圖其一,改編課本例題2,并將例題2放置在改編題之后,既聯系生活實際,又遵循循序漸進、由易到難的原則,讓學生在練習過程中進一步提升推理能力與應用意識.其二,組織學生從知識技能、研究思路與研究方法等方面回顧課堂,并在最后進行“展望式”小結.在引領學生整體思考的同時幫助學生學會類比遷移,從而讓學生在經歷“三會”的過程中逐步提升數學核心素養的水平.

4 設計反思

4.1 巧設問題情境,明確學習對象

數學核心素養作為一種內隱特質,其外化需要借助具體的教學情境.關于問題情境的創設,認知心理學認為從已知的較一般的整體中分化細節,要比從已知的細節中概括整體容易一些[4].因此,單元整體教學應體現數學核心素養的綜合性與習得性.相應地,教師在教學設計時應立足學科邏輯,從核心問題出發創設良好的問題情境,引導學生在問題發現與提出的過程中逐漸明確學習對象,最終幫助學生學會“用數學的眼光觀察現實世界”.

4.2 注重推理活動,尋求研究方法

數學核心素養并不是“一潭死水”,而是逐級進階的“動態系統”,它將在學生的后續學習中持續發揮作用.所以,單元整體教學應體現數學核心素養的持續性與發展性.換言之,教師在開展教學時應組織學生進行類比、特殊化與一般化等推理活動,幫助學生在直接接觸與親自體驗的過程中,找到同類數學對象的研究方法,從而讓學生在反復遷移與靈活運用的過程中學會“用數學的思維思考現實世界”.

4.3 塑造認知結構,形成知識體系

學科知識結構不同于學生認知結構.前者旨在講明知識邏輯順序,后者重在關注學生心理發展.單元整體教學既要呈現數學核心素養的整體性,也要凸顯階段性.即要求教師在教學設計時,應從學科知識結構出發,塑造學生的數學認知結構.教師要在精準把握學生原有認知結構的基礎上,幫助學生厘清數學知識,讓學生在體驗“學習對象在變、研究方法不變”的過程中建構知識體系,最終在經歷系統化的數學活動后,學會“用數學的語言表達現實世界”.

4.4 優化反思評價,涵育核心素養

課時評價更多指向知識技能層面,較少關注學科內在邏輯,這不利于學生數學核心素養的發展.因此,單元整體教學應重視反思評價環節.要立足“總—分—總”結構,首先引導學生回顧單元主題中已學習的知識內容,然后基于單元主題框架探討本節課的研究成果,最后回到單元主題的核心問題.教師要在“三會”學習過程中打破“只見樹木,不見森林”的困境,發展學生數學核心素養.

在數學單元整體教學設計中,核心問題的創設是一條明線,學習對象與研究方法的挖掘是一條暗線.明線是直觀易見的,而暗線的推進需要在明線的指導下進行,且最終回溯至明線.兩者相輔相成,共同幫助學生自主建構知識體系,發展核心素養.