一般觀念統領下單元整體教學的設計與思考
——以“平行四邊形”為例

王 明 陳小麗

(江蘇省昆山市第二中學 215300)(江蘇省昆山市第一中學 215300)

當下課堂“課時情結”下,學生很少在一個連續的整體中去建構知識體系,學生學到太多符號化、形式化的知識,較少理解知識背后所含的邏輯含義、思想方法和價值意義.《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:改變過于注重以課時為單位的教學設計,推進單元整體教學設計,體現數學知識之間的內在邏輯關系,以及學習內容與核心素養表現的關聯[1].在這樣的目標指向下,教師應引導學生整體性、系統性地建構知識體系,研究問題,歸納思想方法,形成問題解決策略,發展核心素養.

一般觀念[2]也稱“大概念”(big idea),是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括,是對數學對象的定義方式、幾何性質指什么、代數性質指什么、函數性質指什么、概率性質指什么等問題的一般性回答,是研究數學對象的方法論,對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析,以及發現和提出數學問題等都具有指路明燈的作用.在數學教學實踐中,一般指用整體理解來聯結相對分散的事實(情境)、知識、技能或經驗,在單元或主題學習中促進學習內容、知識結構、思想方法、教育價值等方面發生遷移的思想.

一般觀念統領下的數學學習不僅為學生解決本節課的“眼前問題”,更重要的是通過數學知識的整體建構和經驗方法的總結,準確把握知識的實質內涵和生成路徑,滲透數學基本思想方法(數學化、抽象化、轉化與化歸)和關鍵能力(抽象概括、推理論證能力)的培養,實現教育價值.基于上述理念,筆者以蘇科版教材八年級下冊第九章第三節“平行四邊形”為例,以“一般觀念”為統領,做好單元整體教學,幫助學生獲得“四基”,發展“四能”,用數學內生力量發展學生的思維能力,提升核心素養.

1 備課思考

一般觀念統領下,幾何問題研究指的是如何研究一類圖形及其關系的基本套路,是對內容及其發生、發展過程中反映的數學思想和方法的再概括和再組織.正如吳增生[3]所言,本質上是對諸如以下問題的一般性回答:如何通過抽象獲得研究對象?概念是怎樣定義的?幾何圖形的性質指的是什么?判定是什么?從哪里出發研究?沿著什么路徑研究?用什么方法研究?

1.1 理解數學,分析教學內容

平行四邊形是最基本的幾何圖形之一,也是“圖形與幾何”領域中的主要研究對象.它在“圖形與幾何”的學習中起著承上啟下的作用,“承上”指研究平行四邊形性質和判定時要用到等腰三角形的研究“套路”和平行線、全等三角形、圖形旋轉等相關知識,“啟下”指對特殊平行四邊形性質和判定的研究路徑和思想方法起著重要的奠基作用;既是對等腰三角形學習經驗的遷移,也是為特殊平行四邊形的學習思維模式搭建框架.

1.2 理解教學,設計教學過程

設計適切情境來引入研究對象,讓學生體悟現實世界.通過精心設計問題,引導學生基于整體視野理解平行四邊形的知識.感知定義是問題研究的邏輯起點,從實驗感知到理性證明,經歷分析與思考,逐步從感性認識上升為理性認識,逐步構建系統知識體系,在邏輯層次中有序生成研究幾何對象的一般方法和基本“套路”,讓學生真實體悟平行四邊形內容的學習歷程和育人價值.

1.3 理解學生,確定學習路徑

學生已有學習等腰三角形的經驗,具有一定的動手實驗操作能力,但邏輯推理能力仍需加強培養.合理添加輔助線將平行四邊形問題轉化為三角形來解決,是教學中的一個難點,是需要重點突破之處.學生對平行四邊形的概念、性質、判定及應用缺乏整體性認識.在整體視野下,確定本單元教學核心元素:邊、角、對角線.結合學情,通過探究式、啟發式教學方式,讓學生經歷“情境導學—實驗助學—思辨慎學—例題展學—反思省學”的學習思路,將平行四邊形的性質和判定一體化呈現,培養學生演繹推理能力、嚴謹思維的態度、樂于探索的情感,發展學生從感性認識到理性認識的生長路徑,以及學以致用的價值觀.

2 教學設計

2.1 情境導學,最近聯想,類比回顧一般路徑

適切的情境創設是課堂教學成功的重要因素,是培養學生數學思維的源泉[4].適切的情境設計不僅能迅速集中學生的課堂注意力,還能有效激發學生的學習興趣與主動探索的動機,促進學生積極參與教學活動.

問題1在日常生活中,我們對一些幾何圖形有很多感性認識,給我們的生活帶來了許多美觀的感受.下面的圖片中有大家熟悉的圖形嗎?

圖1

追問1 大家認為平行四邊形的學習可以類比之前學習中的哪類圖形?當初我們學習了哪些內容?

教學說明學生已經學習了等腰三角形,擁有一定的研究幾何圖形性質和判定的經驗.通過問題情境,抽象出平行四邊形這一研究對象,引導學生回憶、歸納已有學習經驗,構建單元學習路徑.類比等腰三角形的研究方法,對于平行四邊形的學習,請學生類比思考如下問題:平行四邊形要研究哪些內容?研究程序是什么?研究思路是什么?研究方法是什么?

設計意圖學生學習了等腰三角形的性質定理和判定定理、全等三角形、旋轉變換、中心對稱等知識,具有一定的研究幾何圖形的經驗.通過情境引導學生回顧舊知學習路徑,梳理已有學習經驗,遷移類比到平行四邊形的學習研究中,形成單元整體學習的先行組織者(圖2).

圖2

2.2 實驗助學,從感性到理性,深度理解性質定理

數學實驗能促進學生手腦協同,啟思明理,通過“做數學”,經歷完整的數學學習過程,能為學生數學關鍵能力和核心素養的形成奠定必要的基礎[5].基于學情,從實驗感知入手,引導學生產生證明的意識并理解證明的必要性,進一步探索對角線性質的方法和論證路徑,形成數學思維的連貫性和一致性.

問題2通過小學的學習,大家知道平行四邊形具有哪些性質?如何獲得?

學生簡答:兩組對邊分別平行且相等,對角相等;通過直尺和量角器度量獲得.

追問2 你會證明上述結論嗎?

追問3 平行四邊形還有其他性質嗎?如何獲得?你會證明嗎?

學生活動通過度量方式驗證“對邊相等,對角相等”,進一步感受對邊平行,聯想三角形知識,連接對角線,構造三角形全等,證明性質定理(與邊、角相關).歸納思路,將問題轉化為三角形來解決.從平行四邊形的定義出發,結合平行線的性質,聯想并構造全等三角形證明實驗結論.進一步觀察并動手實驗操作,通過合作旋轉發現平行四邊形是中心對稱圖形,培養幾何直觀能力.結合中心對稱知識,添加“輔助線”(連接對角線AC和BD交于點O),易證△AOB≌△COD(或△AOD≌△COB),從而證明實驗獲得的結論.

教學說明整體視野下教學設計重視知識體系,超越碎片的知識觀,追求數學知識生成的整體性、邏輯連貫性和思維一致性,自然形成單元知識體系,彰顯一般觀念的引領.性質在本質上為圖形組成元素之間的關系,使學生明確定義是問題研究的邏輯起點.以“實驗+證明”的學習方式,讓學生合作學習,使學生主動參與實驗,自覺參與論證過程,符合學生的認知規律,能經歷體驗和感悟,思維力自然發展.同時,強調初中幾何研究重點與小學不同之處就是要從直觀幾何向邏輯幾何(證明幾何)過渡,聚焦學生的思維邏輯,讓思維發生有原因、生成有過程、建構有邏輯.通過學生交流經驗、遷移學習、內化知識,實現幾何教學的教育價值.追問2讓學生體會數學思維嚴謹性,追問3啟發學生發現問題、提出問題、思考問題、研究問題,進行有邏輯的思辨.

2.3 思辨慎學,逆向思維,建構判定定理

單元整體視野下,幾何教學可以從數學內部實現判定定理的學習,避免創設新問題情境導入學習,割裂知識體系.將條件和結論位置互換(互逆命題的關系),遵循數學研究對象各要素間的內在關系(圖3),順應學生數學學習的思維走向,推動教師的教和學生的學.

圖3

問題3請大家回憶等腰三角形性質和判定關系,能猜想并證明平行四邊形的判定定理嗎?

問題4平行四邊形的判定條件與哪些要素有關?至少需要幾個條件?如何證明上述結論?

追問4 你還可以提出其他命題嗎?請判斷真假.若是真命題,請證明;若是假命題,請舉出反例.

教學說明類比等腰三角形學習路徑,逆命題關系與反例教學相結合,使學生的思維能力更深層次,更加嚴謹.在分析教材內容和學生學情的基礎上對教學內容進行了重組,彰顯單元整體視野下平行四邊形性質和判定定理的關系,使學生學會逆向思維,從數學內部完成定理的生成與證明,邏輯自洽,培養學生用數學的思維思考問題.反例教學更有利于發展學生的幾何直觀能力和邏輯推理能力,自主探究學生提出的命題是否正確,可調動學生的積極性,深度思維融入到學生的推理過程中,提升學生思辨能力.

2.4 例題展學,鞏固圖形特征,體現學習價值

通過例題探究,深刻感知圖形特征,理解圖形性質和判定方法,體悟知識的價值,提升學習力.

圖4

如圖4,O為ABCD的對稱中心,過點O作直線MN分別交AD,BC于點M,N,連接AN,CM.求證:四邊形ANCM是平行四邊形.

拓展探究1 條件不變,還可以推出哪些結論?

拓展探究2 當直線MN繞著點O旋轉,交ABCD的一組對邊或其延長線于點M,N,以上討論的結論還成立嗎?說明理由.

教學說明進一步認識平行四邊形的本質特征,即中心對稱圖形.在本題的分析和證明過程中,讓學生深入認識平行四邊形的性質和判定,體會知識間的聯系和價值.

2.5 反思省學,整理知識結構,確定一般路徑

對于平行四邊形知識體系的學習,我們研究了哪些內容?它們之間有什么關聯?對后續研究特殊的平行四邊形有哪些經驗上的幫助?

教學說明反思評價的目的是對學習活動和結果等進行多元化評價,總結經驗、反思不足,尋求改進[6].一般觀念引領下,單元整體學習的一般路徑:從情境中抽象研究對象→理解新知識(猜想、歸納、驗證)→建構新體系(辨析、內化、順應)→反思提升(感悟數學知識、數學思想).在問題探究中,學生經歷單元整體學習,建構平行四邊形系統化概貌,體悟知識之間的內在聯系,揭示數學問題的本質和規律,見樹木更見森林.

3 單元整體教學的思考

平行四邊形單元整體教學的核心育人價值在哪里?是利用一般觀念構建研究幾何圖形的邏輯體系、思維結構,能夠一體化培養學生的數學抽象能力、直觀想象能力和邏輯推理能力.

3.1 創設有效情境,體現單元整體教學的本源

數學教材的體系結構遵循了“一定之規”,是科學研究的“基本之道”,讓學生反復這個邏輯,是“講理”的關鍵之一[2].幾何圖形是怎樣來的?為什么這樣定義?需要創設適切的情境,喚醒學生思維生長,抽象數學研究對象.學生通過知識整體建構,體悟到平行四邊形定義是問題研究的邏輯起點,即定義是圖形的充要條件,性質是一類圖形的必要條件(盡可能多),而判定是一類圖形的充分條件(盡可能少),兩者互為逆命題.從概念中分離出圖形構成要素和相關要素,明確平行四邊形的研究核心是邊與邊的位置及大小關系,而對角線之間的位置關系是由圖形旋轉變換的經驗而產生,幫助學生抓住知識的本源.

3.2 注重基本思想,體現單元整體教學的深度

數學思想是在知識發生、發展過程中反映出來的,是引導知識發生發展的腳手架和方向標.思想方法在何處出現,有什么用?在經歷一類圖形的整體研究過程中,關注思想方法在知識建構中的自然滲透.從情境創設到圖形抽象,再到定義提取,關注數學抽象思想呈現的可視化路徑.在平行四邊形整體建構中,基于等腰三角形的學習經驗,將原問題轉化到三角形問題,體現整體轉化思想.研究基本要素:邊(構成要素大小),角(構成要素位置),對角線(相關要素位置),從實驗到猜想,再到演繹證明,體現嚴謹的邏輯思維能力和整體學習的深度.

3.3 強調類比學法,體現單元整體教學的一致性

類比學習是溝通新知和舊知的有效途徑.類比等腰三角形研究路徑,整體規劃,整體建構平行四邊形的邏輯體系,在完整經歷問題發現、提出、分析和解決的過程中,完整地經歷一類圖形的整體研究過程,形成幾何研究的一般路徑,初步體會幾何研究方式的一致性.根據學生實際情況,使學生厘清單元整體學習的兩條主線,即知識線(明線):定義—性質—判定—應用;思想線(暗線):抽象思維—轉化思想—類比思想—推理思想.整體建構知識體系使學生在數學學習中不斷體悟學法和思維路徑的一致性.