加權費馬點及其性質

趙敏行

(上海交通大學附屬中學高一(16)班 200439)

1 引言

費馬點是在三角形內部且到三個頂點距離之和最短的點,要求三條線段等權重,如果放松對權重相等的要求,就是加權費馬點．顯然,費馬點是加權費馬點的特例．本文在文獻[1]～[4]的基礎上探討加權費馬點及其性質．

圖1

以三角形的每一條邊為底向外作等邊三角形,對應點連線交于一點就是費馬點．同時,費馬點也是三個向外作的等邊三角形外接圓的交點(圖1)．在最大角小于120°的三角形中,費馬點在三角形內,在最大角大于或等于120°的三角形中,費馬點在鈍角的頂點．

費馬點要求三條線段的權重是相同的,即1∶1∶1,故采用等邊三角形和圖形旋轉的方法可以得到費馬點,如果放松對權重相等的要求,即三個權重都不相同時,加權距離和最短的點就是加權費馬點．

2 確定加權費馬點的方法①

①需要三個權重符合構成三角形三邊的條件,權重不符合上述條件的情況在本文最后討論．

加權費馬點不要求三條線段的權重相等,假設PA,PB和PC的權重都不相同,即求αPA+βPB+γPC的最小值．在△ABC中取任一點G,以BG為底邊作△BGH,滿足BG∶GH∶HB=α∶β∶γ,其中α,β,γ滿足構成三角形三邊的條件．

圖2

省略圖形旋轉過程,直接以BC為底作權重比三角形△BCD,點P一定在AD上．同樣可以得到頂點B和C的對應連線BE和CF,點P也在這兩條線段上,三條線段交于同一點就是點P,即加權費馬點．

下面證明三條連線AD,BE和CF交于同一點P,即加權費馬點．

圖3

首先,我們研究了原三角形與權重比三角形對應角的關系.如圖3所示,△ABF,△AEC,

△DCB都是三邊比為α∶β∶γ的相似三角形,設∠α為權重比三角形中邊α的對角,∠β為權重比三角形中邊β的對角,∠γ為權重比三角形中邊γ的對角,則∠BAF=∠CAE=∠BDC=∠α,∠CBD=∠ABF=∠AEC=∠β,∠ECA=∠BCD=∠AFB=∠γ,并且∠α+∠β+∠γ=180°．

連接AD和BE交于點P,連接CP和PF,需要證明三點C,P,F共線．線段AD來源于圖2,∠BPD=∠BCD,因此BDCP四點共圓,同理AECP四點共圓．于是,∠DPB=∠γ,∠DPC=∠β,∠EPC=∠α,∠APE=∠γ,所以∠APB=∠α+∠β,并且∠AFB=∠γ,所以AFBP四點共圓．由此得∠FPB=∠BAF=∠α,所以∠FPC=∠α+∠β+∠γ=180°,即點F,P,C共線,即AD,BE和CF交于同一點P,點P就是加權費馬點．

同時,BDCP,AECP和AFBP都四點共圓,即△BCD,△ECA和△BFA的外接圓也交于同一點P,即加權費馬點．

根據上述過程,確定加權費馬點的方法是:以原三角形的每條邊為底邊,向外作權重比三角形,對應點連線交于一點,同時三個相似三角形的外接圓也交于同一點,這個點就是加權費馬點．

例如,在求αPA+βPB+γPC最小值的加權費馬點時,要求權重比三角形三邊比為α∶β∶γ,即BC∶CD∶DB=α∶β∶γ,AC∶AE∶CE=β∶γ∶α,AB∶AF∶FB=γ∶β∶α,連接對應點,三條連線AD,BE,CF交于同一點,就是加權費馬點．同時,三個權重比三角形的外接圓也交于加權費馬點(圖3),這樣確定加權費馬點的方法與費馬點相似,只是全等三角形換成了權重比三角形．

3 加權費馬點的性質

費馬點有兩個重要性質:一是費馬點與頂點連線形成三個相等的角,都是120°;二是最大角小于120°的三角形,費馬點在三角形內．與費馬點不同,加權費馬點有如下性質:

(1)加權費馬點與頂點連線形成的三個角分別等于權重比三角形的兩個內角之和,而不一定是120°．如圖3所示,∠APB=∠α+∠β,∠APC= ∠α+∠γ,∠BPC=∠β+∠γ．

(2)原三角形的某個內角與權重比三角形對應的內角之和(共三對,原三角形頂點A的內角與權重比三角形邊α所對的內角為一對．以此類推,即∠α+∠CAB,∠β+∠ABC,∠γ+∠BCA)最多只會有一對角的和大于180°,不存在兩對同時大于180°的情況．

(3)加權費馬點在三角形內的條件是:原三角形的某個內角與權重比三角形對應的內角之和(三對)都小于180°,即加權費馬點在三角形內需要同時滿足∠α+∠CAB<180°,∠β+∠ABC<180°,∠γ+∠BCA<180°．由此推論,銳角三角形的加權費馬點也可能不在三角形內,最大角大于120°的鈍角三角形的加權費馬點也可能在三角形內,取決于原三角形的內角與對應的權重比三角形的內角之和．

(4)原三角形的某個內角與權重比三角形對應的內角之和(三對)中有一對角的和大于180°時,加權費馬點不在三角形內,而在和大于180°的那對角的頂點．

(5)當權重無法構成三角形時,比如α+β=γ時,相當于按照一個角是平角、兩個角是0°的三角形(即∠γ=180°,∠α=0°,∠β=0°)進行圖形旋轉確定加權費馬點,此時加權費馬點不在三角形內,而在平角對應的原三角形的頂點上(即∠γ對應的原三角形頂點C)．