用紙片材料“做”數學*

李明樹 王曉峰

(江蘇省蘇州工業園區東沙湖實驗中學 215021)(江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

用紙片材料“做”數學,是以“做”為支架,通過紙片的平移、折疊、旋轉、比對、剪拼等活動發現數學問題、理解數學知識、探索與驗證數學結論的思維活動．用紙片材料“做”數學,能夠突破數學難點,理解數學原理,訓練高層次數學思維,為詮釋數學疑點、揭示數學本質、實現問題解決的動靜融通創造條件,是逐步積累數學活動經驗的有效途徑．

1 在用紙片材料“做”數學中突破數學難點,詮釋數學疑點

學習中,學生需要多少幫助及什么樣的幫助?一條基本的途徑就是自主搭建“腳手架”,而紙片就是很好的腳手架材料.利用透明紙片和不透明紙片的疊放,通過平移、旋轉透明紙片來直觀或變式化地呈現知識的形態,使知識難點得以突破．

案例1平移透明紙片,探究一元一次不等式(組)的解(集)．

實驗準備 如圖1,不透明紙片①,透明紙片②③,紙片上分別畫好數軸和簡易數軸．

圖1

學生思考 操作(1)中滿足條件的點有幾個?若改變操作(2)中不等式(組)的不等號方向,或者將不等號改為含等號的不等號,又有何發現?平移透明紙片的過程中如何確定參數的臨界值?

數學概念既有抽象性,又有它的具體內容．數學家畢達哥拉斯曾說過:“在數學的天地里,重要的不是我們知道什么,而是我們怎么知道．”在常態學習中,對一元一次不等式(組)的解(集)及表達形式往往是由教師直接告知,學生死記硬背,卻沒有真正理解一元一次不等式(組)的解(集)的兩面性．在數軸上描述x<3的解集是來自于對x=3的具體的感性經驗,進而明白了不等式的解集是無數個具體的“x<3”組成的“點集”,從而抽象出在數軸上可用從3開始向左的射線表現．紙片②疊放在紙片①上, 平移紙片②,觀察只有兩個正整數解1和2時,a介于2和3之間;平移紙片②至特殊位置2時發現,正整數解只有1個,平移紙片②至特殊位置3時有兩個正整數解,故得到2

顯然,上述過程是一個“做”數學的過程,學生經歷了操作、觀察、猜想、推理、驗證的過程,其數學探究過程可視、可操作、易觀察．

案例2旋轉透明紙,比較長方形的面積．

實驗準備 不透明長方形紙片①,透明長方形紙片②和③(圖2)．其中紙片②和③等長不等寬,紙片①與紙片②③長寬均不等．

實驗目的 比較紙片①與②、紙片①與③的面積大小．

圖2 圖3

實驗操作 (1)如圖3,將紙片②或③疊放在紙片①上,嘗試比較兩張紙片面積的大小關系;(2)將紙片②或③繞重合的公共頂點旋轉至合適的位置,比較兩個長方形面積的大小;(3)畫出操作(2)對應的幾何圖形,說明比較紙片①與②、紙片①與③面積大小的理由．

學生思考 操作(1)能夠直接比較兩張紙片面積的大小嗎?操作(2)和操作(3)能夠得到哪些不同的幾何圖形?能用不同的方法證明嗎?

圖4

2 在用紙片材料“做”數學中理解數學原理,揭示數學本質

圖5

義務教育教科書蘇科版《數學實驗手冊》八年級上冊(以下簡稱《手冊》)中,實驗9 “用方格紙計算面積——發現勾股定理”和實驗10“拼圖(一):驗證勾股定理”能讓學生主動地探索、發現、認識、驗證勾股定理．先布置學生自學:將以BC為一邊的正方形折疊,過正方形的中心分別做兩條折痕,第一條折痕與斜邊AB平行,第二條折痕與斜邊AB垂直,沿折痕把正方形分割為4塊全等的四邊形(圖5中①②③④),那么紙片①②③④⑤可以拼成正方形ABDE嗎?學生主動與同伴交流拼圖方法后實施案例3．

案例3拼紙片,驗證勾股定理．

實驗準備 不同形狀硬紙片若干,1～3號為正方形,4號為直角三角形(圖6)．

圖6

實驗操作 (1)畢達哥拉斯證法:①用四個4號紙片和一個1號紙片拼成一個新的正方形;②用四個4號紙片和一個2號或3號紙片拼成一個新的正方形;③利用拼成的兩個正方形證明勾股定理．

(2)趙爽弦圖證法:①利用四個4號紙片拼正方形;②畫出相應的幾何圖形,證明勾股定理．

案例4折紙片,探索角的軸對稱性及角平分線的性質．

學生按照《手冊》實驗6“折紙(一)——探索角平分線的性質”進行操作,可以發現角平分線的性質和其逆定理,獲得“知識從哪里來?”“知識是什么?”“知識要到哪里去?”的體驗,發展幾何直觀和邏輯推理能力．

實驗操作 (1)在長方形紙片上任意畫一個角∠AOB,折疊紙片使兩邊重合．有何發現?

(2)取出一張任意三角形紙片,按照如圖7所示的方法折疊后展開,圖8中BD,PE,PF是折痕．

圖7

圖8

①∠ABD與∠CBD,PE與PF分別有怎樣的數量關系?

②PE與BC,PF與AB分別有怎樣的位置關系?

③根據①②,有什么發現?

(3)取出一張任意三角形紙片,按照如圖9所示的方法操作后展開,圖10中的DM,EN分別是折痕,DM與EN的交點為P．

圖9

圖10

①MD與AB,NE與BC分別有怎樣的位置關系?②PD與PE相等嗎?為什么?③折∠ABC的角平分線,觀察點P是否在這條角平分線上,為什么?④根據①②③,有什么發現?

數學思維主要表現為邏輯推理．數學的發展依賴的是邏輯推理,通過邏輯推理得到的數學結論也就是數學命題．推理是指從命題判斷到命題判斷的思維過程,其中的命題是指可供判斷正確或者錯誤的陳述句．所謂邏輯推理,就是從一些前提或者事實出發,依據一定的規則得到或者驗證命題的思維過程,這里所說的規則是指推理過程具有傳遞性[1]．案例4中的三個結論是:角是軸對稱圖形,角平分線所在的直線是它的對稱軸;角平分線上的點到角兩邊的距離相等;角的內部,到角兩邊的距離相等的點在這個角平分線上．發現結論之前,學生經歷紙片的折疊、觀察、猜想、推理、驗證的思維過程,將腦中初步猜想的“命題判斷”通過“做”數學的過程,把最初的判斷變為真實的真理．這樣的數學活動使數學不再只是真理的堆積,而是在合情推理和演繹推理的交替過程中螺旋向前發展,學生理解了數學知識是由不確定的知識到確定知識的漸進過程．

3 在用紙片材料“做”數學中訓練高層次數學思維,實現問題解決的動靜融通

在數學問題解決的研究中,圖形問題總是格外受到青睞,其主要原因就在于圖形問題的解決具有鮮明的個性、豐富的題型以及令人眼花繚亂的解題方法與過程.圖形問題是思維訓練的良好素材．圖形問題解決的方式分為靜態研究和動態研究:靜態研究主要包括對構成原圖形的相關要素、通過添加輔助線后構造的新圖進行再研究的過程,是訓練思維的基本方法;動態研究是基于動態視域下的圖形研究的思路,運用紙片的分割或不分割,采用圖形運動的方式把相同的邊拼接,實現圖形形狀的變換,以達成問題解決的目的,是訓練高層次數學思維的重要方法．案例5展示了利用拼接法動態研究圖形問題的思路.

案例5拼接紙片,探索圖形問題解決的動態方法．

圖11

(1)如圖11,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,P,Q兩點分別在AB,AD上,PB=DQ,求CP+BQ的最小值．

拼接方法1 在透明紙上臨摹與△BCP全等的三角形B′C′P′,將△B′C′P′拼接到DQ上方,使點B′與點D、點P′與點Q重合(圖12);

圖12 圖13

拼接方法2 連接DB,在透明紙上臨摹與△BDQ全等的三角形B′D′Q′,將△B′D′Q′拼接到PB左側,使點D′與點B、點Q′與點P重合(圖13);

圖14

拼接方法3 在透明紙上臨摹與四邊形BCDQ全等的四邊形B′C′D′Q′,將四邊形B′C′D′Q′拼接到PB左側,使點D′與點B、點Q′與點P重合(圖14)．

學生在拼接紙片的過程中運用了圖形的平移、旋轉、翻折中的某一種或者某幾種變換后,將相同的線段拼接在一起,改變了圖形的位置,不改變其大小．拼接方法1中的點C′即為確定的靜止點,利用勾股定理和三角形的三邊關系(或“兩點之間線段最短”)確定BC′的長即為CP+BQ的最小值(拼接方法2和拼接方法3思路類似)．

(2)如圖15,四邊形紙片ABCD中,∠A= ∠C=90°,BC=DC．若AB+AD=8,求該紙片的面積．

圖15 圖16 圖17

動靜融通的圖形問題研究方法會提高學生動態研究解決問題的能力,直接指向學生高層次數學思維的發展．學生將原四邊形紙片折疊后剪開為兩部分(圖16和圖17),再將兩部分的邊BC,DC向外部拼接,原四邊形轉化為正方形(圖16)、等腰直角三角形(圖17),易求正方形或等腰直角三角形的面積．高層次數學思維水平更高的學生會發現:若復制三張與原四邊形一樣的四邊形進行拼接即可得到如 圖18的大正方形,從圖形運動的角度來看,是由四邊形ABCD繞點C順時針連續旋轉3次90°得到,不難發現其邊長為8,故原紙片面積可求．此類問題若靜態研究,難度較大且運算繁瑣,而運用紙片的拼接進行動態研究則凸顯了方法的奇妙之處,加深了學生對圖形運動的學習價值的理解,顯現了幾何活動的多樣性．再比如,生活中將形狀為任意四邊形的鋼板材料切割后拼成平行四邊形、矩形工件就是運用拼接來完成的．教學中,圖形問題的靜態研究和動態研究須相互補充,可以幫助學生正確領會知識,把握問題的實質,達到知識與知識、方法與方法之間的融會貫通[2]．

圖18

平移、翻折、旋轉是幾何圖形的變換方式,是初中階段數學的核心知識．用紙片材料“做”數學應用價值豐富,實現了對核心知識的把握,值得繼續深入挖掘．生活中運用紙片為輔助工具的現象很多,數學中更是存在大量的紙片類操作實驗,教師要善于發現、實踐、創新,設計有趣味性的“做”數學活動,激發、促進、鼓舞并驅使學生的思維得以運用到最完善的程度．