基于改進MCFT 的GFRP-RC 梁抗剪承載力分析

宋 博，金 瀏，陳鳳娟，杜修力

(北京工業大學城市減災與防災防護教育部重點實驗室，北京 100124)

由于FRP 筋混凝土梁的剪切破壞機理復雜，影響因素眾多，目前仍然沒有一個比較統一的認識。這也導致各國設計規范對剪切強度公式的描述有較大區別，計算結果也存在很大的差異[1]。相比于普通鋼筋，由于FRP 筋是脆性材料[2]，導致FRP 筋混凝土梁的剪切破壞往往呈現更加強烈的脆性破壞特征[3]，同時尺寸效應現象也更加顯著[4]。若不合理考慮尺寸效應問題，可能會高估FRP 筋混凝土梁的承載能力，存在嚴重安全隱患。ALAM和HUSSEIN[5]開展了無腹筋GFRP-RC 梁剪切破壞試驗，發現當梁深從350 mm 增加至800 mm時，GFRP-RC 梁的名義抗剪強度降低約33.3%。ASHOUR 和KARA[6]通過收集的134 組無腹筋FRP筋混凝土梁的抗剪承載力試驗數據，對比發現，剪跨比和梁深對GFRP 筋混凝土梁的名義抗剪強度有顯著的影響，因此在結構設計時是不可忽略的。JUMAA等[7]研究了有腹筋FRP-RC 梁的剪切尺寸效應，研究表明：箍筋可擬制FRP-RC 梁剪切破壞的尺寸效應，但無法完全消除。因此，建立考慮尺寸效應的FRP-RC 梁抗剪承載力設計方法具有十分重要的意義。

修正壓力場理論(MCFT)[8? 9]的提出為FRP筋混凝土梁抗剪問題的解決提供了一種新的方法。但因其計算過程復雜，且需多次迭代計算，應用于工程設計領域效率不高。因此，一些學者對MCFT 進行了簡化。如：BENTZ 等[10]基于MCFT，發現抗剪承載力與縱向應變和裂縫間距有關，因此將抗剪強度看成是應變因子和尺寸因子的函數，并提出了適用于鋼筋混凝土梁的簡化計算公式。HOULT 和BENTZ 等[11? 12]采用了相同的簡化方法，提出了適用于FRP 筋混凝土梁的簡化MCFT計算公式，并通過試驗數據驗證發現，該簡化公式能較好預測FRP 筋混凝土梁的抗剪承載力。然而，以上計算公式僅驗證了截面高度小于1000 mm的梁，該式能否合理預測大尺寸FRP-RC 梁的抗剪承載力尚不清楚。

本文針對GFRP-RC 梁，通過三維細觀數值模擬方法，建立了大尺寸GFRP-RC 梁的三維細觀數值分析模型。在與既有試驗結果吻合良好的基礎上，擴展了更大梁深(3000 mm)GFRP-RC 梁的數值試驗，分析了剪跨比、縱筋率和梁深對破壞模式、裂縫傾角及荷載-位移曲線的影響規律。然后基于修正壓力場理論，建立了考慮剪切裂縫寬度沿受剪高度變化的平均裂縫寬度計算模型。鑒于此，提出能反映剪跨比及大尺寸影響的GFRP-RC梁抗剪承載力設計方法。最終通過213 組GFRP-RC梁的承載力數據驗證了該公式的合理性及準確性。

1 GFRP-RC 梁三維細觀模型

1.1 三維幾何模型的建立

采用細觀尺度數值模擬方法進行研究，建立了既能反映混凝土材料的非均質性，又能考慮GFRP 筋與混凝土之間復雜相互作用的數值模型(具體建模方法見文獻[13 ? 17])。該方法將混凝土視為由粗骨料、砂漿基質及界面過渡區(ITZ)組成的三相復合材料[18?19]。將細骨料和相對較小的粗骨料(粒徑約5 mm 以下)簡化為砂漿基質[20]。將粗骨料顆粒假定為球體[21?22]，采用二級配混凝土(粗骨料最小等效粒徑為12 mm，最大等效粒徑為24 mm)。文獻[23]的研究發現：大多數混凝土的粗骨料體積分數40%～50%，因此本模型骨料體積分數為45%，并通過隨機投放法[24]將其投放到砂漿基質中。文獻[25]發現：當ITZ 的厚度在0.5 mm～2 mm變化時，對應力上升段基本無影響。因此為保證計算精度及提高計算效率，本文參考文獻[13, 26 ? 27]的工作，將粗骨料顆粒周圍2 mm 的薄層定義為界面過渡區。采用圖1 所示的位移控制加載，借助ABAQUS 6.14 進行數值模擬分析。

圖1 三維細觀數值模型及加載示意圖Fig.1 3D meso-scale numerical model and sketch map

1.2 細觀組分及本構關系

骨料的強度大于砂漿基質和ITZ，可認為其在靜力加載下不會破壞，因此本文將粗骨料設置為完全彈性體[28?29]。由于ITZ 與砂漿基質的力學特性相類似[30]，因此ITZ 與砂漿基質的力學行為均采用塑性損傷本構模型[31? 32]來描述。需要說明的是，由于應變軟化會導致計算結果嚴重依賴網格尺寸，為降低網格敏感性對模擬結果的影響，本文在上升段采用應力-應變關系來描述，材料達到其拉伸強度后采用拉伸應力-位移曲線來替代常用的應力-應變關系曲線，使斷裂能具有唯一性[33?34]。

GFRP 筋的力學行為采用線彈性本構模型來描述并規定材料的極限強度 σu為765 MPa[35]。GFRP筋與混凝土之間的相互作用采用非線性彈簧連接來定義[36?38]，粘結滑移本構關系采用COSENZA 等[37]提出的改進BPE 模型。該模型可以很好地表達GFRP 筋與混凝土之間的粘結滑移關系[38]。

1.3 細觀數值模型的驗證

參照GUADAGNINI[35]和FARGHALY[39]的GFRP-RC 梁物理試驗，選用Guadagnini 試驗中GB43 組、GB44 組和GB45 組試驗梁，和Farghaly試驗中G8N6 組和G8N8 組試驗梁為模型驗證對象，驗證GFRP 筋本構模型及上述細觀數值模型的合理性。Farghaly 試驗梁截面尺寸均為1200 mm×300 mm，剪跨比均為1.13，配筋率分別為0.69%和1.24%。Guadagnini 試驗梁截面尺寸均為250 mm×150 mm，剪跨比分別為1.1、2.2 和3.3，配筋率為1.28%。試驗中混凝土立方體抗壓強度實測值為53.5 MPa。

通過反復試算后(試算方法參考文獻[34])，發現表1 所示的力學參數較為合理，得到的混凝土立方體抗壓強度為53.3 MPa，與實測值53.5 MPa極為接近。因此，后續數值模型均采用表1 所示的力學參數。

表1 混凝土細觀組分及GFRP 筋力學參數Table 1 Mechanical parameters of concrete and GFRP bar

將表1 中的力學參數應用于細觀數值模型中，參考文獻[34]的數值模擬驗證方法，開展了GFRP-RC 梁的受剪試驗模擬。模擬與試驗的破壞模式及荷載-位移(P-Δ)曲線對比情況如圖2 所示。由圖可知，試驗梁與模擬梁的破壞模式吻合良好，說明該模型合理準確，可以將其用于后續的模擬工作中。需要說明的是，為了保證計算精度的同時提高計算效率，本文參考文獻[32 ? 34]的工作，采用2 mm 的網格尺寸，并將ITZ 部分網格局部細化為1 mm。

圖2 破壞模式及P-Δ 曲線對比Fig.2 Comparison of failure modes and P-Δ curves

2 GFRP-RC 梁剪切破壞分析

在驗證細觀數值模擬方法的準確性后，建立了更多的數值模型，探討梁深、剪跨比及縱筋率對GFRP-RC 梁裂縫傾角及荷載-位移曲線的影響。本文共模擬36 根GFRP-RC 梁。其中，試件的截面尺寸(梁深d(mm)×梁寬b(mm))共4 類，分別為：300×100、1200×400、2100×700 和3000×1000；試件的剪跨比共有3 類：λ=1 、λ=2 和 λ=3；縱筋率共有三類：ρ=0.5% 、ρ=1.5% 和 ρ=2.5%。為消除一定的偶然性，每個工況模擬3 次，分析中僅展示部分結果。

2.1 破壞模式及裂縫傾角

圖3 所示為GFRP-RC 梁細觀數值模型在荷載作用下的破壞模式，可以看出，GFRP-RC 梁均發生明顯的剪切破壞。如圖3(a)所示，在不同的剪跨比下，試驗梁的破壞模式存在著較大區別。剪跨比從 λ=1 增 大至 λ=3時，GFRP-RC 梁的破壞模式從斜壓破壞逐漸變為剪壓破壞。同時，剪跨比對斜裂縫傾角的影響非常顯著。當剪跨比從λ=1增大至λ =2時，斜裂縫傾角從62.61°減小至42.42°，當剪跨比繼續增大至 λ=3時，斜裂縫傾角進一步減小至31.48°。因此可知，GFRP-RC 梁的斜裂縫傾角隨剪跨比的增大而急劇減小。

圖3 試件的破壞模式Fig.3 Failure modes of the specimens

如圖3(b)所示，在不同的縱筋率下，試驗梁的破壞模式無顯著差別。只是當縱筋率較小時( ρ=0.5%)，梁端支座處因錨固破壞出現了沿縱筋方向擴展的裂縫，縱筋率對斜裂縫傾角的影響也不顯著。如圖3(c)所示，不同的梁深下，試驗梁的破壞模式基本相同。隨梁深的增大，斜裂縫傾角也基本無變化。綜上，剪跨比對破壞模式及裂縫傾角的影響較大，而縱筋率和梁深對其的影響較小。

2.2 荷載-位移(P-Δ)曲線

圖4 所示為本文36 組無腹筋GFRP-RC 梁細觀數值模型在剪切作用下得到的P-Δ曲線。由圖可知，GFRP-RC 梁的抗剪承載力隨著梁深的增加而增大；當梁深相同時，GFRP-RC 梁的抗剪承載力隨剪跨比的減小及縱筋率的增大呈現上升的趨勢。

圖4 荷載-位移 (P-Δ) 曲線Fig.4 Load-Deflection (P-Δ) curves

以圖4 中梁深d=2100 mm 試驗梁的荷載-位移曲線為例，GFRP-RC 梁的剪切破壞全過程大致可分為2 個階段：“0～A”階段為彈性階段，該階段荷載和位移基本按比例增加。而隨著荷載的逐漸增大，位移達到“A”點時梁中開始出現明顯裂縫；“A～B”階段為裂縫擴展階段，該階段梁中的裂縫隨荷載增加而逐漸彌散擴展。當荷載增至峰值點“B”時，混凝土梁發生剪切破壞，“B”點后無明顯下降段，破壞過程表現出很強的脆性特征[39 ? 41]。

3 修正壓力場理論

3.1 經典修正壓力場理論的簡化

經典修正壓力場理論的15 個基本方程[8? 9]為：

1) 應力平衡方程

式中：fsx、fsy分別為縱筋和箍筋的應力；ρx、ρy分別為縱筋和箍筋的配筋率；f1、f2分別平均主拉應力和平均主壓應力。

2) 裂縫間應力平衡

式中：fsxcr、fsycr分別為裂縫處x方向和y方向的應力；θ為斜裂縫傾角；v為平面剪切單元的剪應力；vci為裂縫處最大剪應力。

3) 應變協調條件

式中：εx和 εy分別為平均縱向應變和平均橫向應變；ε1和 ε2分別為平均主拉應變和平均主壓應變；γxy為平面剪切單元的剪應變。

4) 平均裂縫寬度

式中：w為平均裂縫寬度；sθ為平均斜裂縫間距；sx、sy分別為橫向和縱向的平均裂縫間距。

5) 混凝土及GFRP 筋本構關系

式中：Esx、Esy分別為縱筋和箍筋的彈性模量。

6) 裂縫處傳遞的最大剪應力

3.2 修正壓力場理論的簡化

根據文獻[10 ? 12]，對于無腹筋梁，上述基本方程可重新整理。由于荷載作用下豎向壓應力和壓應變很小，可忽略不計，即可近似得：

因為無腹筋梁中沒有配置橫向箍筋，即可得：

由式(2)、式(16)和式(17)可得：

由式(5) 、式(16)和式(17)可得：

由式(14)、式(18)和式(19)可以得到：

式中，β為抗剪強度系數。

由式(6)、式(7)和式(16)可得：

由式(3)和式(18)可得：

由于混凝土梁中的壓應變很小，可認為混凝土平面剪切單元仍處于彈性階段。因此假定ε2=f2/Ec。根據文獻[42]的建議，取Ec=4950，將式(18)、式(20)和式(22)代入式(21)可得：

根據文獻[10 ? 12]，由于無腹筋梁中垂直于y方向的裂縫間距非常大(該向裂縫間距近似等于箍筋間距)，因此，式(10)中可忽略 c osθ/sy的影響：

式中，sx=dv=0.9d0，dv為受剪高度，d0為截面有效高度。

為進一步簡化，文獻[10 ? 12]假定平均縱向應變 εx為縱筋應變 εfx的1/2，得到下式：

式中：M為極限彎矩；V為極限剪力；Ef為FRP縱筋彈性模量；Af為FRP 縱筋截面面積。

3.3 簡化修正壓力場理論的改進

MCFT 假定應力和應變在截面內均勻分布，因此裂縫寬度也采用平均裂縫寬度來描述。文獻[10 ? 12]出于簡化考慮，采用1/2 受剪高度處的裂縫寬度代替平均裂縫寬度進行計算[43?44]。然而對于GFRP-RC 梁來說，由于GFRP 筋的彈性模量較低，在彎矩作用下GFRP-RC 梁的受壓區高度較小，裂縫寬度也較大[45?49]，且裂縫寬度沿受剪高度是變化的[50?52]。若不考慮裂縫寬度沿受剪高度的變化，直接采用文獻[10 ? 12]的裂縫寬度計算方法可能誤差較大。而裂縫寬度的計算精度直接影響MCFT 對GFRP-RC 梁抗剪承載力預測和尺寸效應規律描述的準確性。

本文參考文獻[43 ? 44]的工作，假定：在GFRPRC 簡支梁中，裂縫尖端寬度為0，裂縫底部寬度為wmax，裂縫寬度沿梁深線性變化，如圖5 所示。梁中任意高度y處的裂縫寬度為：

圖5 平均裂縫寬度計算模型Fig.5 Calculation model of average crack width

式中，ε1max為截面縱筋形心處的主拉應變。

通過式(23)可得，截面縱筋形心處的主拉應變 ε1max為：

因此，對梁中任意高度y處的裂縫寬度w(y)，沿受剪高度dv進行積分并取平均值，得到GFRPRC 梁全截面上的平均裂縫寬度為：

計算過程中用式(28)代替式(9)，可考慮裂縫寬度沿受剪高度的變化。

3.4 抗剪承載力計算公式

根據式(15)、式(19)和式(20)可得：

由式(27)～式(29)可知，抗剪強度系數 β是關于主拉應變 ε1max、裂縫傾角 θ 和受剪高度dv的一個函數。而主拉應變 ε1max可由平均縱向應變 εx計算得到，裂縫傾角 θ需要根據經典MCFT 的基本方程迭代計算。為了便于設計應用，本文對式(29)進行了簡化。

將抗剪強度系數 β看作一個關于平均縱向應變εx、裂縫傾角 θ 和受剪高度dv的方程。對于GFRP縱筋，極限拉應變 εfx通常小于0.018[35]，因此簡化分析時平均縱向應變 εx取0～0.009。結合本文模擬結果，裂縫傾角 θ選取范圍在25°～85°。受剪高度dv取200 mm～4000 mm。在上述參數取值范圍內，通過改進MCFT(按式(28)計算平均裂縫寬度w)計算抗剪強度系數 β。然后通過回歸分析法，得到抗剪強度系數 β與裂縫傾角θ、平均縱向應變 εx和受剪高度dv的關系，如圖6 所示。

圖6 抗剪強度系數 β與各參數的關系Fig.6 Relationship of β and various parameters

從圖6 可以看出，抗剪強度系數 β 隨著 cotθ、平均縱向應變 εx和受剪高度dv的增大而減小。對圖6 中的曲面進行擬合分析得：

式中，B為待定系數。通過對計算結果的擬合分析發現，當B=0.1，式(30)計算的抗剪強度系數 β和改進MCFT 確定的抗剪強度系數 β吻合良好。

由于式(30)中的 θ需要根據經典MCFT 的基本方程迭代計算，而由本文第2 節分析可知梁的斜裂縫傾角 θ主要由剪跨比 λ決定[53?54]。因此本文根據文獻[6, 7, 35, 39 ? 41, 45 ? 52, 55]選取了177 組GFRP-RC 梁的相關試驗數據進行回歸分析，如圖7 所示。選取的試驗梁剪跨比 λ的范圍為1.0～10.0，混凝土強度等級為C20～C80，梁深d為178 mm～1200 mm，縱筋率 ρ為0.17%～2.56%。

圖7 剪跨比 λ對裂縫傾角 θ的影響Fig.7 Influence of shear span ratio on crack angle

從圖7 可以看出，cotθ 隨剪跨比 λ的增大而增大，說明當梁的剪跨比 λ增大時，裂縫傾角 θ減小。對上述213 組試驗及模擬結果進行擬合分析得到裂縫傾角簡化計算模型：

式中，μ為待定系數，根據擬合，建議μ取2.4。

將式(30)和式(31)代入式(29)可得無腹筋GFRP-RC 梁的抗剪承載力計算公式：

4 與規范及試驗結果的比較

為驗證式(32)的合理性及準確性，本文根據文獻[6, 7, 35, 39 ? 41, 45 ? 52, 55]選取了177 組GFRP-RC 梁的抗剪承載力試驗數據，并結合本文36 組GFRP-RC 梁細觀數值模擬，進一步將驗證梁的的梁深d的范圍增大為178 mm～3000 mm，剪跨比 λ的范圍為1.0～10.0，混凝土強度等級為C20～C80，縱筋率ρ 為0.17%～2.56%。同時將式(32)的計算結果與規范ACI 440.1R?15[56]、CSA.S806?12[57]、GB 50608?2020[58]及HOULT 簡化公式[11?12]的計算結果進行了比較，如表2 所示。表中列出了由不同計算模型得到的Vpred/Vexp(計算值與試驗值的比值)的平均值與變異系數，計算過程中混凝土強度均取試驗實測值。對于試驗中的不同混凝土強度指標，采用文獻[59]的方法進行換算。

表2 GFRP-RC 梁抗剪強度計算公式的比較Table 2 Comparison of shear strength formulas of concrete beams reinforced with GFRP bars

如表2 所示，從Vpred/Vexp的平均值來看 ACI 440、CSA.S806 和GB 50608 分別為0.535、0.534 和0.631，可見規范為提高FRP 筋混凝土構件的安全性，對其承載力采取了保守估算的做法[1,3]。采用經典MCFT 模型得到的Vpred/Vexp均值為0.819，說明經典MCFT 能準確預測GFRP-RC 梁的抗剪承載力。而式(32)得到的預測結果與經典MCFT 模型結果相差不大，且計算過程中不需要迭代。

從Vpred/Vexp的變異系數來看，ACI 440、CSA.S806 和GB 50608 分別為0.531、0.370 和0.531，可見規范計算結果的離散度較大。然而經典MCFT模型及本文式(32)得到的結果變異系數均比較小，分別為0.171 和0.211。說明式(32)能夠較好反映GFRP-RC 梁的抗剪破壞機理，對其荷載響應過程進行準確的分析。綜上可知，本文提出的簡化計算方法對GFRP-RC 梁抗剪承載力的預測相對準確，且計算過程簡單，可用于工程設計。

圖8 所示為不同梁深下，各計算方法對GFRPRC 梁抗剪承載力的預測結果。從圖8(a)～圖8(c)可以看出，ACI 440 和GB 50608 得到的Vpred/Vexp均隨梁深d的增大而逐漸增大，這主要是因為ACI 440 和GB 50608 沒有考慮剪跨比和尺寸效應對GFRP-RC 梁抗剪承載力的影響而導致的安全儲備不足。而CSA S806 雖考慮了剪跨比和尺寸效應，但對于大尺寸GFRP-RC 梁抗剪承載力的預測仍偏于保守。

圖8 試驗抗剪強度與預測抗剪強度的比較Fig.8 Comparison of experimental versus predicted shear strengths

Hoult 簡化公式計算結果的Vpred/Vexp隨梁深d的增大呈上升趨勢，說明該公式可能會高估大尺寸GFRP-RC 梁的承載能力。這主要是因為，Hoult簡化公式未合理考慮裂縫寬度沿受剪高度的變化，也未合理考慮剪跨比對裂縫傾角的影響，導致其對大尺寸構件承載力的預測出現“誤差”。

然而，式(32)能合理預測大尺寸GFRP-RC 梁的抗剪承載力，且與經典MCFT 模型結果基本一致。說明，本文建立的平均裂縫寬度計算模型合理有效，基于此提出的簡化公式可以較好地描述GFRP-RC 梁尺寸效應行為機理，對大尺寸GFRPRC 梁抗剪承載力的預測也比較準確。

需要說明的是，限于收集試驗數據及模擬工況較少，對于更多影響因素(剪跨比、縱筋率及梁深)的梁，本文公式的合理性仍需更多物理試驗或數值模擬來進一步驗證。

5 結論

本文采用三維細觀數值模擬方法，建立了三維細觀大尺寸GFRP-RC 梁的剪切破壞分析模型?；谛拚龎毫鼋⒘丝紤]裂縫寬度沿梁深變化的平均裂縫寬度計算模型，鑒于此提出能考慮剪跨比及大尺寸影響的無腹筋GFRP-RC 梁抗剪承載力設計理論與方法。最終通過213 組試驗及模擬數據，對其合理性進行了驗證。主要結論如下：

(1) 剪跨比對裂縫傾角及破壞模式的影響較大，縱筋率和梁深基本無影響；剪跨比、縱筋率和梁深均對GFRP-RC 梁的抗剪承載力有顯著影響，表現為混凝土梁的抗剪承載力隨剪跨比的減小、縱筋率的增大和梁深的增大而增大。

(2) 規范為提高構件的可靠度，對GFRP-RC梁承載力的預測比較保守，不能全面的反映重要因素(剪跨比、縱筋率和梁深等)的影響。同時由于對尺寸效應考慮的不足導致未能準確描述大尺寸GFRP 筋混凝構件的剪切破壞機理，存在安全隱患。

(3) 經典MCFT 模型可以準確預測GFRP-RC梁的抗剪承載力，較好地描述GFRP-RC 梁剪切尺寸效應規律，但計算步驟繁瑣、計算效率不高。而Hoult 基于MCFT 提出的簡化公式可能會高估大尺寸GFRP-RC 梁的承載能力。

(4) 本文建立了考慮裂縫寬度沿梁深變化的平均裂縫寬度計算模型，提高了簡化MCFT 的計算精度。鑒于此提出的簡化計算公式能較好預測大尺寸GFRP-RC 梁的抗剪承載力。證明所建模型合理有效，提出的計算方法可用于工程設計。