基于分形理論的圓柱面接觸密封特性分析

李龍飛，周思柱，李美求，魏超

(長江大學機械結構強度與振動研究所，湖北荊州 434023)

0 前言

圓柱面接觸密封是機械工業常用的一種密封形式，廣泛應用于旋塞閥、液壓滑閥、柱塞泵等石化裝備。相較于線密封和平面密封，圓柱面接觸密封的加工工藝更復雜，密封面精度難以保證。目前，以宏觀的密封比壓評價圓柱面機械密封可靠性與實際工況存在較大的差異。

1967年MANDELBROT首次提出分形理論[1]，至今已被大量地應用到各類密封面的分析和設計過程中。1991年MAJUMDAR、 BHUSHAN[2]建立了M-B分形接觸模型，描述粗糙面微凸體接觸彈性和塑性行為。WANG、KOMVOPOULOS[3]修正了M-B分形模型，建立理想光滑平面與粗糙表面接觸微凸體分布函數。馮秀、顧伯勤[4]基于W-M分形函數，忽略粗糙表面較小尺寸細節，構建了單個泄漏通道的余弦函數，并根據該模型建立了螺栓-法蘭-金屬墊片系統的泄漏模型。SUN等[5]基于分形理論構建了動、靜環端面泄漏模型，將分形維數與粗糙度幅值引入時間變量，通過試驗驗證了泄漏模型的可行性。李小彭等[6]基于分形理論建立接觸式機械密封端面泄漏模型，歸納了分形維數、端面比載荷等參數與泄漏量的關系。吳國鳳[7]將分形理論應用到金屬O形環密封性能的研究，得到了更吻合試驗的泄漏模型。陳奇等人[8-9]在Hertz彈性接觸理論和M-B分形模型基礎上，建立兩圓柱曲面接觸微凸體分布函數，分析了兩圓柱面微凸體接觸力學行為。

綜上所述，應用分形理論能更全面地評價密封表面微觀結構對密封面接觸行為和密封效果的影響。但上述關于接觸密封泄漏量的研究主要聚焦于低維平面副，考慮微觀結構的圓柱曲面密封模型和相關泄漏分析鮮有報道。

鑒于此，本文作者基于分形理論，依據圓柱密封面表面粗糙度分形函數，建立圓柱面密封泄漏數學模型，分析表面粗糙度、接觸系數、過盈量和材料表面硬度等參數對圓柱面密封泄漏量的影響規律，為圓柱面接觸密封設計和泄漏評價提供參考。

1 粗糙表面形貌分形特征

1.1 模型簡化

機械加工的輪廓表面由各種不同尺寸的微小凹槽凸峰組成，這一特點具有明顯的自相似性，符合分形特征[10]。根據M-B分形模型，可以將兩粗糙接觸面簡化為一剛性平面與柔性粗糙平面接觸問題，如圖1所示。

1.2 粗糙輪廓表面分形函數

粗糙表面輪廓曲線可近似為無數個余弦函數的疊加，是一個處處連續的函數，可由W-M函數表示：

(1)

式中：ZS(X)表示粗糙峰隨機高度；G表示金屬加工表面粗糙度幅值；D表示分形維數，與加工表面精度有關；ls表示樣本取樣長度；-ls/2

圖2 單個粗糙峰函數圖像

金屬加工表面粗糙度幅值G與表面粗糙度Ra的關系：

G=10-5.26/Ra0.042

(2)

分形維數D與表面粗糙度Ra的關系：

(3)

1.3 圓柱面泄漏通道分布函數

金屬加工表面并非理想光整平面或曲面，M-B模型是以分形參數的尺度獨立性建立粗糙表面的彈塑性接觸模型，適用于低維平面副。文獻[8]根據該模型推導了圓柱面微凸體接觸面積分布公式，如公式(4)所示：

(4)

式中：al表示微凸峰接觸變形最大面積；a表示任意微凸峰接觸面積；λC為圓柱面接觸系數，其計算公式為

λC=

(5)

(6)

式中：B為圓柱面接觸寬度；E為接觸面綜合彈性模量，與兩接觸面彈性模量關系如公式(6)所示，E1和E2分別表示兩接觸體的彈性模量，ν1與ν2分別表示兩接觸體的泊松比；R1、R2分別表示兩圓柱面曲率半徑(假設R1>R2，“+”表示兩圓柱面外接觸；“-”表示兩圓柱面內接觸)。根據文獻[11]將式中al、a替換為alX、aX可得到圓柱接觸面泄漏通道分布公式：

(7)

式中：alX表示最大泄漏通道面積；aX表示任意泄漏通道面積。

2 圓柱面密封泄漏模型推導

對于金屬硬密封、面密封，其密封機制為給予初始密封力或過盈裝配，密封接觸面產生初始擠壓力，微觀粗糙表面粗糙峰發生彈塑性變形，減小兩接觸面之間的空腔區域以限制介質穿過密封界面，達到密封要求，所以兩密封接觸面存在硬度差。根據文獻[5]，為建立基于分形理論的泄漏模型，有以下幾點假設：

(1)流體經過密封界面微小孔隙，可視為不可壓縮黏性層流流動；

(2)密封接觸界面可以視作粗糙表面與光滑表面接觸。泄漏通道大小不一，在接觸界面上呈隨機分布；

(3)表面分形特征在統計上具有統一性，不考慮相鄰接觸點接觸過程中的交互作用；

(4)忽略密封面上單位載荷和摩擦磨損對泄漏通道分布的影響；

(5)忽略流體流動過程中黏度的改變。

根據Navier-Stokes方程，密封介質流經單個泄漏通道的泄漏量q：

(8)

式中：vr表示沿密封柱面周向的流動速度；η表示密封介質的黏度；dp/dr表示密封柱面周向壓力梯度；l1表示機械密封端面單個泄漏通道的底邊長度，且l1=aX0.5。

則在整個圓柱面上的泄漏量可表示為

(9)

將式(7)(8)代入式(9)中可得密封介質在兩圓柱接觸密封界面的泄漏量：

(10)

式中：與平面接觸密封不同，加入了接觸系數λC，修正兩異徑圓柱曲面上接觸微凸體分布函數，當R1=R2時，λC實際上趨近于1。其中，分形維度D和粗糙度幅值G與表面粗糙度Ra有直接關系，如公式(2)(3)所示。即該公式反映了圓柱接觸密封面泄漏量與粗糙度、最大泄漏通道的關系。

柔性接觸面上微凸體與剛性圓柱面接觸，實際上是微凸體與理想曲面的接觸，所有微凸體接觸變形面積的總和為兩圓柱面真實接觸面積Ar。則泄漏孔隙總面積AS與真實接觸面積Ar的關系：

AS=Aa-Ar

(11)

式中：Aa為兩圓柱面理論接觸面積，Aa=2πRL，L為圓柱母線長度。

接觸面單個微凸體接觸點的最大接觸面積與真實接觸面積存在以下關系[12]：

(12)

式中：al表示微凸體接觸點最大面積；φ為分形區域擴展系數，與分形維數D有關，φ=5.453·exp(-D/0.628)+1.499(1

將式(11)(12)代入式(10)中可得泄漏量Q與真實接觸面積Ar的關系：

(13)

根據文獻[13-14]，真實接觸面積Ar與密封接觸面端面比載荷存在以下關系：

Ar=f(Aa,pg,H,K,l,D,G)

(14)

式中：pg為密封接觸面端面比載荷；H為柔性材料的硬度；K為硬度系數，與材料泊松比ν有關，K=0.454+0.41ν。

在具體圓柱面接觸模型下，真實接觸面積僅與密封接觸面端面比載荷pg有關，其來源為密封件的過盈配合。參考文獻[15]，得到實心軸與軸套過盈配合下，接觸面間壓力pg：

(15)

式中：Δf表示過盈量；d為軸套內徑；D為軸套外徑；k為比例系數，與(D2-d2)/(D2d)近似線性關系。

3 圓柱面接觸密封泄漏模型參數分析

由公式(10)可知：兩圓柱面接觸模型一旦確定，泄漏量Q與圓柱面接觸系數λC、密封介質穿過密封界面形成的壓力梯度dp/dr與成正比，與介質動力黏度η成反比，符合實際工程問題。

假設分析模型材料參數及工況參數如表1所示，根據公式(10)分析接觸模型特征參數及材料力學參數對泄漏量Q的影響。

表1 材料參數及工況參數

3.1 表面粗糙度Ra對泄漏量Q的影響

公式(2)(3)反映了分形維數D、粗糙度幅值G與表面粗糙度Ra的關系。如圖3所示：分形維數D與表面粗糙度Ra成反比；粗糙度幅值G與表面粗糙度Ra成正比。表面粗糙度Ra越大，分形維數D越小，粗糙峰存在形式越復雜；單個粗糙峰幅值G越大，兩接觸密封面越容易產生泄漏孔隙。

圖3 表面粗糙度Ra與分形維數D、粗糙度幅值G的關系

根據公式(15)，計算模型尺寸參數(D2-d2)/(D2d)=0.011，通過插值運算取接觸壓力比例系數k=0.99。假設密封接觸面過盈量Δf=0.01 mm，并根據公式(15)計算接觸面壓力pg=15 631 110 Pa，分別取柔性接觸面粗糙度Ra(0.05、0.1、0.2、0.4、0.8、1.6、3.2、6.3、12.5 μm)，根據公式(13)計算出不同密封介質壓力下表面粗糙度Ra對泄漏量Q的影響，如圖4所示：真實接觸面積Ar會受到表面粗糙度影響，當Ra=0.05 μm時有最大接觸面積Ar=632.388 mm2，隨著Ra的增加，真實接觸面積逐漸減小，當Ra≥1.6 μm時，真實接觸面積基本穩定在613.5 mm2；泄漏量Q與密封介質壓力成正比且隨粗糙度Ra的增加呈指數增長。介質壓力為50 MPa時，當Ra=0.05 μm有最小泄漏量Q=1.599×10-6L/min，當Ra=12.5 μm有最大泄漏量Q=742.585 L/min，此時已喪失密封性能。對比不同密封介質壓力梯度下泄漏量大小，表面粗糙度Ra≤1.6 μm(Q=0.14 L/min)時，改變密封介質壓力對泄漏量影響不大。

圖4 不同密封介質壓力下表面粗糙度Ra對泄漏量 Q的影響

3.2 接觸系數λC對泄漏量Q的影響

圖5所示為粗糙度Ra=1.6 μm、過盈量Δf=0.01 mm的情況下，接觸系數λC與泄漏量Q的關系。接觸系數λC實際上反映兩圓柱面接觸程度，而接觸微凸體在粗糙表面服從正態分布，故泄漏量與接觸系數λC呈線性趨勢。接觸系數由0增加到1的過程，泄漏量從0 L/min增加到0.061 6 L/min。接觸系數λC=0時，即內接觸圓柱面為一條直線，兩圓柱面的接觸變為直線與面的接觸，其密封形式為線密封，幾乎沒有泄漏量；當0<λC<1，內接觸圓柱直徑逐漸變大，接觸形式逐漸由線密封擴展為面密封；λC=1時，為兩等徑圓柱面的完全接觸，泄漏量達到最大值。接觸面積的增大，導致密封接觸表面微凸體接觸數目增加，表面泄漏孔隙增多，泄漏量增大。

圖5 接觸系數λC對泄漏量Q的影響

3.3 過盈量Δf及綜合彈性模量E對泄漏量Q的影響

真實接觸面積Ar是影響泄漏量Q的重要參數。綜合彈性模量E與過盈量Δf通過影響圓柱接觸面間壓力pg間接改變真實接觸面積。硬質軸材料彈性模量E1=210 GPa，柔性材料彈性模量E2分別取120、140、160、190、210 GPa，表面粗糙度Ra=0.8 μm，H=300 N/mm2，密封介質壓力p=50 MPa。根據公式(14)計算不同綜合彈性模量及過盈量下真實接觸面積Ar，如圖6所示。真實接觸面積與過盈量呈線性關系，與綜合彈性模量成正比。隨著過盈量的增加，密封接觸面間接觸壓力pg逐漸增大，粗糙表面微凸體接觸面積變大，表面接觸造成的空腔區域變小，泄漏量Q減小；彈性模量是衡量材料抵抗變形的參數，軟質材料整體彈性模量越大，接觸面壓力pg越大，微凸體承受負載增加，真實接觸面積增大。

圖6 不同綜合彈性模量E下過盈量Δf對真實接觸 面積Ar影響

將真實接觸面積Ar代入公式(13)得到過盈量Δf及綜合彈性模量E對泄漏量Q的影響，如圖7所示，泄漏量Q隨過盈量Δf增加呈線性下降趨勢，隨柔性密封件彈性模量的增加減小。過盈量從0.002 mm增加到0.026 mm過程中，當E2=120 GPa時，泄漏量由0.063 L/min減小到0.059 L/min；當E2=210 GPa時，泄漏量由0.06 L/min減小到0.023 8 L/min。因此增大綜合彈性模量會擴大過盈量對泄漏量的影響效果，且以軟質密封件彈性模量超過190 GPa時影響更顯著，如圖8所示。選擇密封件材料及過盈配合大小時，在保證材料未發生塑性變形失去回彈能力的前提下，可增大綜合彈性模量和過盈量以減小泄漏量。

圖7 不同綜合彈性模量E下過盈量Δf對泄漏量 Q的影響

圖8 軟質密封件彈性模量E2對泄漏量Q的影響

3.4 軟質密封件布氏硬度H對泄漏量Q的影響

對于接觸動密封，表面硬化處理是保證機械密封使用壽命的重要工序。旋塞閥是使用圓柱接觸動密封最典型的密封構件。圖9描述了軟質密封件表面硬度H與泄漏量Q的關系，當H1=100 N/mm2時，有最大接觸面積Ar1=1 225.69 mm2，此時對應最小泄漏量Q1=0.051 6 L/min，當H由100 N/mm2增加到300 N/mm2時，真實接觸面積Ar由1 225.69 mm2快速減小到408.031 mm2，泄漏量Q由0.051 6 L/min急劇上升為0.059 3 L/min，該過程中在滿足磨損要求的情況下，適當減小表面硬度，可快速減小泄漏量。當H≥300 N/mm2時，繼續增加表面硬度，真實接觸面積進一步減小，泄漏量持續上升，但作用效果較前一階段逐漸衰減。

圖9 軟質密封件表面硬度H對泄漏量Q的影響

3.5 最大泄漏孔隙面積alX對泄漏量Q的影響

由圖10可知：當最大泄漏孔隙面積為0 mm2時，圓柱密封界面無泄漏；隨著最大泄漏孔隙面積的增大，泄漏量非線性增長；當最大孔隙面積超過0.75 mm2時，泄漏量呈線性增長，且增長速率大于前一階段。理想接觸密封面使用過程中若出現少許泄漏，證明接觸面上出現了泄漏通道。從微觀角度來說，泄漏是流體或氣體分子之間的作用力作用于密封接觸面，將介質作用力與密封接觸面初始比壓力和密封構件材料作用反力的合力作比較，當介質作用力大于總阻力時，密封介質滲入，依次對泄漏通道上介質作用力與總阻力對比，即可得到總的泄漏途徑。當初始泄漏孔徑較大時，泄漏流體在該通道有更多的泄漏方向和更大的作用力，致使泄漏量急劇增加。同時，密封介質中的雜質也會進入密封界面，加速密封界面的磨損、沖蝕。這也是密封件一旦出現少許泄漏后，使用較短時間就會出現大泄漏甚至完全失效的原因。

圖10 最大泄漏孔隙面積與泄漏量的關系

4 結論

(1)密封構件表面粗糙度是影響圓柱面接觸密封的主要參數，通過數值模擬發現：在足夠初始密封預緊力下，表面粗糙度小于1.6 μm時，改變密封介質壓力對泄漏量影響甚微，可保證密封要求；

(2)綜合彈性模量及過盈量均與泄漏量成反比。增大綜合彈性模量可提高過盈量對密封面泄漏量的敏感性，擴大過盈量對泄漏量的調控范圍；

(3)軟質密封件表面布氏硬度小于300 N/mm2時，合理減小表面硬度可有效減小泄漏量；當表面硬度大于300 N/mm2時，減小硬度對泄漏量影響并不明顯，應先考慮接觸磨損；

(4)最大泄漏孔隙是描述密封件使用壽命的重要參數，尤其是密封介質含有硬顆粒雜質，減小最大泄漏孔隙可提高密封件使用壽命。