飽和地基中波阻板遠場被動隔振的二維BEM-FEM耦合分析

時 剛,朱超杰,陳既學

(鄭州大學 土木工程學院,河南 鄭州 450001)

0 引言

進入21世紀,隨著我國城市化進程的加速,交通擁擠等“城市病”頻發。為解決城市交通擁堵問題,各大城市紛紛掀起了高架橋、地下隧道和軌道交通的建設高潮,給人們帶來交通便利的同時也引發了一些負面問題,其中:軌道交通引起的環境振動污染問題備受關注。此外,工程施工(打樁和強夯等)和動力機械運行等也會產生環境振動污染。環境振動污染會影響到周邊居民正常的生活,干擾精密儀器設備的運行[1],嚴重時還會危及建筑結構的安全。國際上已把振動污染列為“七大環境公害”之一,因此,振動污染的防治就成為當前各大城市急需解決的重要課題之一。

振動污染治理方法較多,其中:在地基中設置波阻屏障來切斷振動傳播途徑是實際工程中的一種常用方法[2],工程中常用的連續屏障(空溝和填充溝)和非連續屏障(排孔和排樁)限于設置深度、施工難度和成本等問題,難以對對低頻振動污染進行防治,此時,在振源或被保護結構下一定深度內設置波阻板(WIB)進行隔振是一種優選方案。SCHMID等[3]基于人工基巖理論最早提出了波阻板的概念,并采用BEM分析了波阻板主動和被動隔振問題;PEPLOW等[4]采用邊界積分方程法計算分析了波阻板在二維雙層地基中的主動隔振問題;高廣運等[5-9]采用半解析BEM和模型試驗方法分別研究了不同地基條件下(包括均質地基、層狀地基、非均質地基以及飽和地基)波阻板的隔振問題;時剛等[10]采用BEM研究了均質地基中波阻板的遠場被動隔振問題;針對軌道交通振動污染問題,高廣運等[11-12]采用2.5維FEM分別研究了非均勻彈性地基和飽和地基條件下波阻板對列車誘發振動的隔振效果;CELEBI等[13]采用非線性2D-FEM研究了鐵路道床和被保護建筑下方設置波阻板時的隔振問題,分析了列車運行速度對隔振效果的影響;陳洪運等[14]采用模型試驗方法研究了高速鐵路路堤中波阻板的減振效果;宋永山等[15]采用數值方法研究了準飽和地基上高鐵列車運行誘發振動的波阻板隔振問題;此外,TAKEMIYA[16-17]提出了一種新型波阻板-蜂窩狀波阻板,分析了其對高架橋交通振動的隔振效果;李志江等[18]采用FEM研究了實體波阻板和蜂窩狀波阻板對高速鐵路誘發環境振動的隔振效果;高盟等[19-21]和ZHANG等[20]提出一種新型波阻板系統-Duxseal-WIB,并采用現場試驗方法研究了該隔振系統對豎向荷載和高速列車誘發振動的隔振效果。

上述文獻主要研究了波阻板的主動隔振效果(WIB設置于振源下方),少數文獻雖然也研究了波阻板的被動隔振問題(WIB設置在被保護結構下方),但僅限于單相介質的情況。針對飽和地基中波阻板對入射Rayleigh波的遠場被動隔振問題,建立了飽和土半解析BEM-FEM耦合計算方法,推導了波阻板對入射Rayleigh波隔振的BEM-FEM耦合方程,在此基礎上,計算分析了飽和地基中波阻板的遠場被動隔振效果,初步探討了組合式波阻板(由多種材料組成的波阻板)的隔振效果。

1 波阻板遠場被動隔振的二維BEM-FEM耦合分析

當建筑物距振源較遠時,振源產生彈性波中的體波衰減較快,此時Rayleigh波占主導,因此,屏障遠場隔振通常簡化為對入射Rayleigh波的隔振問題。為減小入射Rayleigh對建筑物的振動影響,可在地基一定深度處設置波阻板(WIB),如圖1(a)所示。由于WIB對土層振動的屏蔽作用,從而使得WIB上方區域的振動大大減弱,從而對屏蔽區域內的被保護建筑產生隔振效果。

圖1 WIB對入射Rayleigh波遠場被動隔振的示意圖Fig. 1 Passive vibration isolation by WIB

本文主要研究二維條件下飽和地基中波阻板遠場被動隔振問題,采用飽和土半解析BEM-FEM耦合方法進行求解,其中,飽和土地基采用飽和土二維半解析BEM進行建模[22],而波阻板則采用FEM進行建模,通過飽和地基-波阻板交接面的相容條件和平衡條件將兩部分模型耦合起來,這樣就形成了飽和土二維半解析BEM-FEM耦合方法。特別是當波阻板由多種不同材料組成時(本文稱為“組合式波阻板”),采用FEM對這種組合式波阻板進行建模非常適合,可以大大降低計算分析的難度。

1.1 飽和地基的二維半解析BEM方程

采用飽和土半解析BEM分析WIB遠場隔振問題時,僅需要在飽和地基-波阻板交界面上劃分邊界單元,如圖1(b)所示。當Rayleigh波入射到WIB表面時,由于WIB材料與周圍土體材料的顯著差異,從而對Rayleigh波產生散射作用,根據波場分解理論,飽和地基中的散射波波場的邊界元方程可表示為[21]:

(1)

1.2 波阻板的FEM方程

WIB采用FEM進行建模,FEM有限元網格如圖1(b)所示。WIB振動的FEM方程可表示為:

(2)

考慮穩態振動問題,為簡化起見,省略e-iωt,并采用瑞利阻尼的形式,則WIB穩態振動的FEM方程可表示為:

(3)

式中:上標“～”表示穩態振動量的幅值,ω為振動圓頻率,α和β分別為瑞利阻尼系數。

為表示方便起見,式(3)經整理后可表示成如下形式:

(4)

式中:Aij=(1-iωβ)Kij-(ω2+iωα)Mij。

1.3 飽和地基-波阻板交接面的相容和平衡條件

對于飽和地基-波阻板交接面,考慮到振動位移量級較小,不考慮交接面的相對滑移和脫開。網格劃分時,飽和地基的邊界元網格節點與WIB的有限元網格節點在交接面上一一對應。因此,飽和地基-波阻板交接面的連續性條件可表示為:

(5)

根據波動理論,地基中的總波場位移為散射波場位移和入射波場位移的相互疊加,有:

(6)

考慮WIB不透水的情況,根據總波場的分解方法,有:

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(9)和式(10)帶入式(8),則可得:

(11)

(12)

對比式(12)和式(11)可得:

(13)

(14)

(15)

式中:Me為單元e的轉換矩陣,可根據形函數按式(13)-式(14)計算得到。

按照上述思路,在全部飽和地基-波阻板交接面邊界單元中計算Me,按照邊界元節點所在位置進行組裝,最終可得到整體轉換矩陣Mg。

應當注意,由于WIB不透水,因此,飽和地基-波阻板交接面的平衡條件表示為:

(16)

根據波場的疊加原理,飽和地基-波阻板交接面的平衡條件最終可表示為:

(17)

1.4 波阻板對入射Rayleigh波散射的半解析BEM-FEM耦合方程

按照上述耦合方法,最終可得WIB對入射Rayleigh波遠場隔振的半解析BEM-FEM耦合方程為:

(18)

式中:0為零子矩陣。

求解式(18)可得到飽和地基-波阻板交接面邊界節點和WIB內部有限元節點對應的量。

為衡量WIB的隔振效果,定義豎向位移振幅衰減系數ARF:

(19)

(20)

式中:x為地基表面計算點的坐標向量,H(x)和G(x)分別為邊界元節點對“內點”的影響系數矩陣。

此外,為評價WIB的整體隔振效果,定義平均豎向位移振幅衰減系數AR如下[24]:

(21)

式中:l′為WIB上方的屏蔽區域寬度,在本文中,屏蔽區域寬度與WIB同寬,即l′=W。

2 程序驗證

為驗證本文所編制程序的正確性,與已有文獻結果進行對比分析。當波阻板的埋置深度D→0時,波阻板遠場隔振問題可等效為填充溝的遠場隔振問題;此外,當n→0和ρf→0時,飽和地基就退化成彈性地基,可與彈性地基相應問題的解答進行對比驗證。

算例1)采用文獻[24]中填充溝對Rayleigh波隔振的算例進行驗證。主要計算參數如下:地基土楊氏模量Es=46.12 MPa,泊松比νs=0.25,密度ρs=1 720 kg/m3;填充溝的楊氏模量Et=34.3Es,泊松比νt=0.25,密度ρt=1.37ρs。采用本文程序對該問題進行計算,對比計算結果如圖2所示。由圖可知:無論是填充溝的前方還是后方,除個別位置外,本文計算結果與文獻結果相差很小,驗證了本文算法的可靠性。

圖2 計算結果對比(無量綱溝深1.0,溝寬0.4)Fig. 2 Comparison between present work and the algorithm of reference[24]

算例2)文獻[22]建立了飽和土二維半解析BEM方法,分別采用文獻[22]方法與本文BEM-FEM耦合方法對飽和地基中WIB的遠場被動隔振問題進行計算,對比結果如圖3所示。其中:飽和土地基的材料參數見表1。波阻板的埋深D=0.2λR,寬度W=4λR,厚度T=0.2λR;波阻板的剪切模量μwib=200μ,密度ρwib=2 400 kg/m3,泊松比νwib=0.22。

表1 飽和土地基的材料參數Table 1 Mechanical parameters of saturated soil

圖3 本文算法與文獻[22]算法的對比Fig. 3 Comparison between present work and the algorithm of reference[22]

由圖3可知:采用文獻[22]建立的飽和土半解析BEM計算波阻板的遠場隔振效果與本文半解析BEM-FEM耦合算法的結果具有較好的一致性,表明本文算法是可靠的。

3 波阻板遠場被動隔振效果分析

采用本文建立的飽和土半解析BEM-FEM耦合方法分析波阻板的遠場被動隔振效果時,選取飽和地基的VR=100 m/s,并考慮對10 Hz的低頻人工振動進行隔振,其中:Rayleigh波波長為λR=10 m。飽和地基的材料參數取表1的數值。

采用飽和地基的Rayleigh波波長λR作為無量綱化條件,其中:波阻板的無量綱埋深D*=D/λR,無量綱寬度W*=W/λR,無量綱厚度T*=T/λR。

本節考慮兩種類型的波阻板:均質波阻板和組合式波阻板。基本分析工況為均質波阻板形式,波阻板的泊松比νwib=0.22,密度ρwib=2 400 kg/m3,剪切模量采用無量綱形式,有G*=μwib/μ;WIB其他計算參數見表2。對于組合式波阻板,波阻板幾何參數與基本分析工況相同,僅考慮組成材料的不同。

表2 基本工況的計算參數Table 2 Parameters of a row of holes

本文研究采用單因素分析法,即考慮波阻板某一種參數的影響時,其他參數保持不變。

3.1 基準工況下均質波阻板的遠場被動隔振效果

基本工況條件下(第2節算例2),均質波阻板對入射Rayleigh波的隔振效果如圖3所示,其中:距WIB中心距離X*為無量綱量,定義為X*=x/λR。由圖可知:當左側入射的Rayleigh波傳播到波阻板位置處,一部分Rayleigh波被波阻板反射回去并與入射波相互疊加,從而在波阻板前方產生振幅放大現象;在波阻板上方的地表處,由于波阻板的截頻效應而降低了該范圍內土層的振動,ARF在0.4左右,具有較好的隔振效果。WIB后方區域,ARF大于1,這表明一部分Rayleigh波繞過WIB后對地表產生較大的振動影響。此外,波阻板上方地表的振動屏蔽區域與波阻板設置范圍基本吻合。

綜上所述,在被保護建筑物下方一定深度處設置波阻板可有效降低被保護建筑的振動響應,有效屏蔽區域位于波阻板寬度范圍內。

3.2 均質波阻板遠場被動隔振的參數分析

參考相關文獻研究,本文主要分析波阻板的埋置深度D、波阻板的寬度W和厚度T及其剪切模量μwib對隔振效果的影響規律,分析時采用單因素分析方法。

1)波阻板埋置深度D的影響

考慮波阻板埋置深度D影響時,WIB無量綱埋深D*分別取0.1～0.6,計算結果如圖4-5所示。

由圖4可知:當WIB埋置深度較小時,例如D*≤0.2,波阻板上方地表區域的隔振效果較好,且屏蔽區域內的豎向位移振幅衰減系數ARF變化較為平緩;隨著埋深D*的增加(D*≥0.3時),波阻板上方屏蔽區域內ARF出現明顯的波動起伏,表明振動波在半空間表面與波阻板之間產生復雜的反射現象;隨著埋深D*進一步增大,屏蔽區域內的隔振效果急劇劣化,特別是當D*=0.6時,WIB完全失去隔振效果,更多的入射Rayleigh波通過地面與波阻板之間的區域透射過去。

圖4 WIB埋深D*不同時ARF隨X*的變化曲線

由圖5可知:WIB的平均豎向位移振幅衰減系數AR呈先減小后增大的現象,即隨著埋深D*的增加,WIB上方屏蔽區域內的隔振效果先變好后逐漸劣化。在本文考慮的工況條件下,D*在0.2～0.4范圍內時隔振效果最佳,過小的埋深并不能獲得更好隔振效果,而過大的埋深導致WIB隔振失效。

圖5 WIB埋深不同時的平均豎向位移振幅衰減系數AR

綜上所述,在飽和地基中采用WIB對入射Rayleigh波進行隔振時,為獲得較好的隔振效果,建議埋深D*取0.2～0.4,過大埋深會導致隔振失效。

2)波阻板厚度T的影響

為分析波阻板厚度T對其隔振效果的影響,WIB無量綱厚度T*分別取0.1～0.5,計算結果如圖6-7所示。

由圖6可知:當WIB無量綱厚度T*較小時,波阻板上方地表區域的隔振效果較差;隨著波阻板厚度T*的增大,屏蔽區域內的ARF逐漸減小,隔振效果逐漸變好。上述結果表明:增大波阻板厚度可有效提高波阻板的隔振效果,但WIB的工程建設費用和施工難度也隨之增加。

amplitudeattenuationratioAR

由圖7可知:WIB的平均豎向位移振幅衰減系數AR隨厚度T*的增大呈單調遞減趨勢,即WIB上方屏蔽區域內的隔振效果隨厚度T*的增加而逐漸變好。此外,當T*≥0.3后,WIB的隔振效果隨厚度增加的幅度逐漸變小。

圖7 WIB厚度T*不同時的平均豎向位移振幅衰減系數AR

綜上所述,在飽和地基中采用WIB對入射Rayleigh波進行隔振時,過大的厚度雖然能夠取得更好的隔振效果,但考慮到成本及施工等問題,建議WIB厚度T*取0.2～0.3。

3)波阻板寬度W的影響

考慮波阻板寬度W的影響時,波阻板無量綱寬度W*分別取1.0～8.0,計算結果如圖8-9所示。

由圖8可知:WIB的寬度W*對屏蔽區域內的隔振效果影響相對較小;屏蔽區域中間位置附近的ARF基本相同,屏蔽區域邊緣(WIB邊緣區域上方地面)處的ARF稍有不同。此外,地面屏蔽區域的范圍與WIB寬度基本對應,WIB的寬度W*越大,地面屏蔽區域范圍就越大。

圖8 WIB寬度W*不同時ARF隨X*的變化曲線Fig. 8 Graph of ARF of WIB for different W*

由圖9可知:除WIB寬度較小的情況(W*=1)外,WIB的寬度W*對屏蔽區域的平均隔振效果影響很小。

圖9 WIB寬度W*不同時的平均豎向位移振幅衰減系數ARFig. 9 Effect ofW*on the average vertical displacement amplitude attenuation ratioAR

綜上所述,實際工程設計時,建議根據被保護建筑的平面尺寸來確定WIB寬度,并使被保護建筑位于波阻板寬度范圍內,過大的寬度并不會帶更好的隔振效果。

4)波阻板剪切模量μwib的影響

考慮波阻板剪切模量μwib的影響時,WIB無量綱剪切模量G*分別取2、20、50、100、200、500和1000,計算結果如圖10-11所示。

由圖10可知:當波阻板無量綱剪切模量G*較小(G*=2)時,波阻板上方地表區域內的隔振效果相對較差,ARF大約在0.75左右;隨著波阻板無量綱剪切模量G*的增加,WIB的隔振效果逐漸提升。

圖10 WIB剪切模量G*不同時ARF隨X*的變化曲線

由圖11可知:WIB的平均豎向位移振幅衰減系數AR隨無量綱剪切模量G*的增大呈單調遞減趨勢,即WIB上方屏蔽區域內的隔振效果隨G*的增加而逐漸變好。

綜上所述,實際工程設計時,建議提高波阻板的剪切模量μwib來提高其隔振效果,可在成本增加不大的情況下獲得更優的隔振效果。

3.3 組合式波阻板的遠場被動隔振分析

常用的波阻板多采用一種材料進行制作,隔振體系的設計也較為單一。馬強等[25]基于功能梯度材料提出一種新型WIB-梯度波阻板,使波阻板的可設計性大大提高。然而在實際工程中,功能梯度材料制作較復雜,難以推廣,將幾種不同材料組合在一起制作波阻板則較容易實現,但目前尚未有學者進行相關研究。本節初步探討采用兩種不同材料制作的組合式WIB,分析不同組合方式對其隔振效果的影響規律,為新型波阻板研發提供參考。

1)水平層狀組合式WIB的隔振效果

圖12 不同形式的水平層狀組合式WIB的示意圖Fig. 12 Schematic of different layered WIB

圖13 不同水平層狀組合式WIB的ARF隨X*變化曲線Fig. 13 Graph of ARF for different layered WIB

由圖13可知:盡管不同形式組合式WIB的兩種組成材料比例相同,但其隔振效果存在較大差異:上軟下硬形式的組合式WIB如圖12(b)所示,隔振效果要好于其他三種;上硬下軟形式的組合式WIB如圖12(a)所示,隔振效果最差,這與功能梯度波阻板的規律基本吻合[25]。此外,與同等厚度均質材料的波阻板相比,層狀WIB隔振效果好于軟質材料(材料1)的波阻板而劣于硬質材料(材料2)的波阻板。

因此,在實際工程中進行波阻板設計和施工時,可根據實際工程需要采用水平層狀組合式WIB以降低工程造價,并建議采用上軟下硬形式來構建組合式波阻板。

2)水平分區組合式WIB的隔振效果

考慮到被保護建筑不同位置的隔振要求不同,可采用水平分區組合式WIB形式,如圖14所示。其中:除不同區域的材料不同外,其他條件與水平層狀組合式WIB相同,此處不再贅述。

圖14 不同形式的水平分區組合式WIB的示意圖Fig. 14 Schematic of combined WIB with different horizontal partitioning

由圖15可知:水平分區組合式WIB的ARF呈現出明顯的規律性:屏蔽區域內地表ARF呈波動起伏狀分布,且與下方WIB材料特性相對應,例如:硬質材料分區上方地表的ARF值與硬質均勻材料WIB對應量基本相等,僅在不同材料分界處存在過渡。

圖15 不同水平分區組合式WIB的ARF隨X*變化曲線Fig. 15 Graph of ARF for different combined WIB with different horizontal partitioning

根據上述分析,實際工程設計時,可根據被保護建筑的實際需求對波阻板進行分區設置,在獲得較好隔振效果的同時降低工程造價。

4 結論

1)飽和地基中,在被保護建筑下方一定深度設置波阻板可有效降低由入射Rayleigh波引起的地表豎向振動,獲得較好的隔振效果;地表屏蔽區域范圍與WIB設置范圍基本吻合。

2)在飽和地基中采用波阻板對入射Rayleigh波進行隔振時,為獲得較好的隔振效果,建議WIB埋深D*取0.2～0.4λR;WIB的隔振效果隨厚度增大而增加,但考慮到成本等問題,建議WIB厚度T*取0.2～0.3λR;WIB寬度對隔振效果影響微弱,建議根據被保護建筑的尺寸來確定合適的WIB寬度。

3)波阻板的隔振效果隨其剪切模量的增大逐漸提高,實際工程設計時,通過提高WIB的剪切模量來提高其隔振效果,可在成本增加不大的情況下獲得更優的隔振效果。

4)波阻板在豎向由多種材料組成時,建議采用上軟下硬方式構建波阻板以獲得更好的隔振效果;而對于水平分區組合式波阻板,地表隔振效果與其下方波阻板的材料性質相對應,實際工程中可根據振動控制要求的不同構建多種材料分區的組合式波阻板,使波阻板更具有可設計性。