基于APOS理論的函數單調性概念教學設計

魏紅

一、APOS的概念教學階段

杜賓斯基認為，學習者在學習數學概念時要進行心理建構，這個建構過程需經歷活動、過程、對象和圖式4個階段.“活動階段”是指將具有內隱性的數學概念通過一系列外顯的探究活動來獲得.在函數單調性概念中，可借助幾何畫板觀察圖像上動點的變化規律，并由此得到概念的雛形.“過程階段” 是對外顯數學活動的進一步思考過程.當學生經過多次重復活動并對其熟悉后，便會在頭腦中抽象出概念的本質特征.“對象階段”是給抽象出的本質特征賦予形式化的定義和符號，使其成為一個具體的對象.“圖式階段”是與其它概念建立聯系，形成知識的綜合圖式，并把這個圖式納入自身的認知結構中，與已有的知識建立新的實質性聯系.

二、“函數單調性概念”教學四階段的設計

1.活動階段

階段目標：直觀感知函數圖像在某區間上的變化趨勢.

教師：引導學生說出函數f（x）=x+1，f（x）=x2，f（x）=x－1的變化趨勢.

學生：不難得出f（x）=x+1在R上呈上升趨勢，如圖1；f（x）=x2在（－∞，0）上呈下降趨勢，在（0，+∞）上呈上升趨勢，如圖2；f（x）=x－1在（－∞，0）上呈下降趨勢，在（0，+∞）上呈下降趨勢，如圖3.

教師：函數圖像是滿足某種規律的點集，所以，我們可以將函數圖像變化趨勢這個問題轉化到圖像上點的變化規律.引導學生思考用點的橫縱坐標變化關系來描述函數f（x）圖像變化趨勢，并借助幾何畫板軟件動態驗證函數圖像上動點A從左到右拖動過程中的坐標變化關系.

學生：通過觀察點A沿著圖像拖動過程中點A坐標的變化.認識到如果函數圖像在區間D上呈上升（下降）趨勢，則在區間D內，從左往右看，y隨x增大而增大（減小），從右往左看y隨x減小而減?。ㄔ龃螅?

教師：提出增減函數的初步認識.如果在區間D上y隨x增大而增大，或y隨x減小而減小，則稱函數f（x）在區間D為增函數，反之，為減函數.函數的這種性質稱之為“單調性”，D為函數f（x）的單調增（減）區間.

2.過程階段

階段目標：從圖形上，我們已感知到到增（減）函數y隨x的增大而增大（y隨x增大而減?。敲丛趺蠢斫鈟隨x的增大而增大（減?。┠?？學生的思維還不夠抽象，在某區間上有限對變量的變化關系都不能反映增函數的本質，通過問題引發學生的思考并意識到x1，x2的任意性，從而進一步引出函數單調性的定義，這是本節課的重難點.

教師：以函數f（x）=x2為例，取x=1，2，3，4，5…相應地，y=1，4，9，16，25…這樣能不能說函數在（0，+∞）上y隨x的增大而增大？

學生：不能，因為只取了自變量在（0，+∞）一些特殊值時，函數值y隨x的增大而增大，這不代表所有，不能說明自變量取在（0，+∞）上其他值時也符合這個規律.

教師：x和y都屬于無限集合，我們不能將有限列舉得到的函數變化規律推廣到自變量在無限區間上，實際上函數圖像上定點不能無限列舉，那我們可以考慮從函數圖像上取動，那么取幾個動點呢？

學生：前面取一個動點，要規定拖動動點的順序，也就是控制動點橫坐標變化前提下，觀察動點的縱坐標變化情況.實際上，可以在函數圖像取兩個動點，因為兩個動點可以比較x和y的增大或減小，從而刻畫它們之間的變化關系.

教師：函數f（x）=x+1，f（x）=x2，f（x）=x－1的任取點A和B，保證點B在點A右邊（或左邊）的前提下，拖動A、B兩點，并用幾何畫板度量點A的坐標變化.

學生：對于函數f（x）=x+1，如果點B在點A右邊，即點B橫坐標大于點A橫坐標前提下，點B縱坐標會一直大于點A縱坐標，如圖4.

教師：對于函數f（x）=x2，f（x）=x－1，有同樣的結論嗎？

學生：要注意單調區間，要控制點A和B在y軸同側，即同在右邊或左邊.

教師：用幾何畫板動態展示點A和B在y軸異側情況下，如圖7，8.

學生：得不到同樣結論，意識到函數單調區間是定義域的子集，

函數在區間具有單調性，不能說明在整個函數定義域也具有單調性.函數單調性只是函數的局部性質.如不能說f（x）=x－1在（－∞，0）∪（0，+∞）上是減函數.

3.對象階段

階段目標：用數學語言描述“增函數”與“減函數”.

三、進一步的思考

本教學設計以“活動——過程——對象——圖式”4個階段展開，環環相扣，循序漸進.在“活動”階段，教師創設問題情境的目的主要在于讓學生理解函數單調性概念的直觀背景和概念間的關系，感知函數變量之間的相互依賴關系.在該階段中獲得了初步感覺印象的基礎上，“過程”階段需對其不斷進行完善，引導學生學生在操作中反思反思，又在思考中操作，這樣得到“函數單調性”概念的認識，并且進入“對象”階段.第三階段是對以上2個階段抽象出的概念所特有的性質賦予形式話的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象.圖式階段是將概念作為一個已知對象應用到它生存的土壤或背景中，促進概念的內化.

簡而言之，APOS理論作為一種數學概念學習論，為我們提供的循環上升的連續的階段，牽引并支持著學生在自己的經驗和數學本質之間不斷對話，在連續性地回顧與反思過程中提升、擴充學生的經驗認識，豐富、深化對數學本質的理解.

參考文獻

［1］ 吳華.GeoGebra環境下基于APOS理論的數學概念教學研究——以導數概念為例［J］.數學教育學報，2013，22（02），87-90.

［2］ 徐玉蓉.基于APOS理論的“函數單調性概念”教學設計［J］.中學教研，2008，（11）.