聚焦主線選編問題　開放留白變式追問

葛蔚果

等腰直角三角形是一類重要的基礎圖形，在不少地區的中考幾何綜合題中都少不了它的身影．開展中考幾何專題復習時，以等腰直角三角形為背景的補圖問題是一類重要專題，值得安排專題復習課.近期筆者在學校備課組內開設一節“等腰直角三角形補圖問題”專題復習課，取得較好的教學效果，本文整理該課教學設計，并跟進教學思考，提供研討．

一、“等腰直角三角形補圖問題”專題教學設計

活動1 等腰直角三角形補圖問題與中點探究

問題1 如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．D為AC延長線上一點，連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉90°得到線段DE，過點EH⊥AC，垂足為H，連接AE．

（1）補全圖形后提出一個問題并解決；

（2）連接BE，M為BE的中點，連接CM，用等式表示線段CD，CM，BC之間的數量關系，并證明．

教學預設：先安排學生獨立補出圖2，然后安排開放式提問，教師要充分預設學生可能的設問，比如求證△BCD≌△DHE，△AEH是等腰直角三角形，再比如求證AH＝CD，等；進一步探究第（2）問時，也要先安排學生補出圖3，結合BE中點為M的條件，可以連接HM并延長交BC于點G，證出△EHM≌△BGM，得出M也為GH的中點，BG＝EH，進而等量代換出AH＝BG，CG＝CH，于是△CGH是等腰直角三角形，CH＝2CM．進而根據CD＋CH＝AH＋CH＝AC＝BC，可得CD＋2CM＝BC．

活動2 等腰直角三角形問題與一題多證

問題2 如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2．將△ABC繞點B逆時針旋轉α（90°≤α≤120°）得到△A′BC′，點A，點C旋轉后的對應點分別為點A′，點C′．設線段AA′與線段CC′相交于點D．

（1）在圖4中補全圖形，并求證點D為AA′的中點；

（2）連接BD，請分析BD的長的取值范圍．

教學預設：第（1）問先安排學生補全圖形，如圖5，作AE//A′C′交CD于點E．進一步證明的關鍵是攻克“AE＝A′C′”．可設∠BCC′＝β，由BC＝BC′，可得∠BC′C＝β，于是∠A′C′C＝90°＋β，由AE//A′C′，得∠AEC′＝∠A′C′C＝90°＋β，根據鄰補角性質可得∠AEC＝90°-β，而∠ACE＝90-β，所以∠ACE＝∠AEC，可得AE＝AC，于是代換出AE＝A′C′，可證△ADE≌△A′DC′，得出D為AA′的中點．另外，如果著眼于△ABA′是等腰三角形，如果能攻克BD⊥AA′，也能得到D為AA′的中點．沿著這個思路，可先證出△CBD∽△ABA′，可得∠DAB＝∠DCB，進一步得到∠ADC＝∠ABC＝45°．也可發現四點A，C，B，D共圓，從而得出∠ADB＝90°，實現問題解決．

第（2）問，在以上分析的基礎上，想清直角三角形ABD中，∠ABD的大小影響著BD的大小．在等腰三角形ABA′中，由“三線合一”可得∠ABD的范圍是45°≤∠ABD≤60°，于是當∠ABD＝60°時，BD取得最小值2/2；當∠ABD＝45°時，BD取得最大值1；即BD的長的取值范圍2/2≤∠ABD≤1．

活動3 等腰直角三角形與正方形的聯系

問題3 如圖6，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，直線l是過點B的一條動直線（不與直線AB，BC重合），且45°＜∠ABD＜90°，分別過點A，C作直線l的垂線，垂足為D，E．連接AE，過點D作DG⊥AE于G，過點A作AH∥BC交DG的延長線于點H．

（1）補全圖形，求證AH＝BC；

（2）用等式表示線段DH，BE，DE的數量關系，并證明．

教學預設：第（1）問先由學生獨立補出圖7，并想清待證的“AH＝BC”的等價結論可以是四邊形ABCH是正方形，或者DH＝AE，或者△ABE≌△HAD．在此基礎上，第（2）問中待分析的三條線段DH，BE，DE的數量關系，可以代換、轉化到直角三角形ADE中思考，結合勾股定理得出它們之間的平方關系．講評之后，可以將問題逆向設問，安排學生變式再練．

變式問題 如圖7，正方形ABCH中，過點B在正方形內部的作射線l，AD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D，E．連接DH，AE，求證AE＝DH．

變式意圖 學生證明的關鍵仍然是△ABE≌△HAD．全等判定的依據是“SAS”．

活動4 課堂小結

小結問題1 在求解與等腰直角三角形問題有關的補圖問題時，正確補全圖形是后續解題成功的關鍵，你在補圖過程中積累了哪些經驗？

小結問題2 本課中有不少設問需要用等式表示兩條或三條線段之間的數量關系，這類問題常常要將其中一條或兩條線段進行等量轉換，給你留下較深印象的是哪個問題？舉例說說．

小結問題3 等腰直角三角形與正方形聯系密切，本課中的“問題3”就是一例．你能將“問題3”再以正方形為背景，改編出一道新的問題嗎？

設計意圖：通過以上3個小結問引導學生對本課所學進行回顧反思，既要學會梳理解題經驗，又要學會辨別關鍵步驟或積累深刻印象的問題，同時對典型問題或基本圖形要能繼續設計出新的問題，這樣就追求了理解的深度．

二、關于幾何專題教學的進一步思考

1.聚焦主線選編問題，留白追問漸次呈現

幾何專題教學的關鍵在于課前的精心備課，特別是聚焦主線的選編同類問題，對這些問題進行必要的改編、刪減、變式、拓展，以適合不同教學環節的教學運用．此外，為了充分發揮學生主體地位，可以在課堂教學中運用留白藝術，這就需要教師在“備課時就應根據課型、教學內容、學生情況等因素對課堂留白進行預設．”［1］具體來說，當某個問題的題干呈現之后，教師不要急于提出系列問題，先將問題留白，引導學生參與設計問題、小組交流、大組展示，如果備課時準備好的類似問題已被學生提到，則在后續出示時就不必詳細討論，這樣的開放式教學，留白追問可以促進更多學生的思維充分卷入課堂，激發學生學習興趣和數學信心．

2.變換角度一題多解，變式設問多題歸一

幾何專題教學時選題不宜太多，一般來說，全課安排3～4個主問題即可，在每個主問題之下可以跟進系列小問，系列小問3～4個為宜．在總題量控制之后，教學重點可花在引導學生開展一題多解，從不同角度進行思路突破，這樣可以對不同數學分支進行復習、鞏固．當然，一題多解也要防范另一個極端，就是偏向“一題濫解”，比如對有些問題開展所謂“一題十解”“一題二十解”之類的展示，在專題教學課中就不太合適，畢竟教學時間寶貴，筆者以為一題給3～4種典型解法即可．另外，除了一題多解之外，教學點評或反思回顧環節，可以安排變式追問，促進學生從“一題多解”走向“多解歸一”，讓學生學會識別“等價問題”［2］，以達到“做一題，會一類，通一片”解題目標．

3.精心預設小結問題，引導學生回顧反思

專題教學課要留出時間進行課堂小結，教師在課前就要精心預設小結問題，小結問題可聚焦本課主題，從所學習題的題型、解法、關鍵步驟、易錯點等帶領學生進行小結．當然，除了課前精心預設的小結問題之外，教師還可根據課堂生成進行小結，比如在課堂中有學生提出了一個精彩解法、獨特思路，超出了教師課前預設，這時教師可以在小結時特別提出來，讓其他學生復述或學習；再如，課堂解題進程或板演中，出現一些典型錯漏，在小結時也可以進行再回顧，引導學生注意汲取教訓．

參考文獻

［1］蔡甜甜，劉國祥，寧連華．數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］．數學教育學報．2018（6）：29～32．

［2］韓秀琴．設計同類跟進，揭示等價問題——從一道較難題的教學實錄談起［J］．初中數學教與學．2021（12）：30～32．