高中古典概型的課題式教學

張 敏

高中古典概型的課題式教學

張 敏

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

依托作為高中概率教學基礎和難點之一的古典概型，基于對數學知識的有限再創造思想，運用課題式教學法，通過梳理古典概型的發展歷程、挖掘古典概型的核心思想，重構高中古典概型課堂教學．在引導學生對概率知識“再發現”從而形成正確概率觀念的同時，為高中概率教學提供一種新的思路和嘗試．

課題式教學；概率教學；古典概型；再創造

1 問題提出

課題式教學法最初應用于大學課堂教學，是為解決大學課程課時數不足而課程內容較多之間的矛盾而提出的一種既能有效解決學時不足，又能突出創新能力的教學法[1]．課題式教學法的涵義是：教師把學科當成一個大課題，從宏觀上把握學科的整體結構及發展歷程，把各章節作為環環相扣的子課題；微觀上，在教師的講授引領下，學生通過問題驅動的方法對每個子課題進行學習，經歷問題發現、問題分析及問題解決的全過程，學生由此親身體會知識的再發現，從而實現對理論及學科思想更深刻地領悟．課堂上問題的設計密切圍繞以下4個問題[2]：產生知識的背后問題是什么？這些問題的重要性與教學價值體現在哪？教學中這些問題的關鍵和解決辦法是什么？問題的解決生成哪些重要概念與原理，形成哪些重要思想與方法？完成了課題研究，對應的教學任務隨之完成，相應的知識體系也就建構起來了．整個過程遵循課題探索的研究范式，因而有利于培養學生的創新意識．

中學數學教學學時數與內容相對固定，不存在課時不足的問題，但是課題式教學法的教學理念和教學價值卻對中學數學教學有著重要的啟示作用，近年來國內已經有研究把課題式教學法應用于中學課堂[2-3]．事實上，中小學數學教育的目標早已從素質教育升華到與國際接軌的素養教育．但目標的實現有賴于教材、課堂、教師及學生的共同作用，其中課堂教學是重中之重，數學核心素養最終要靠一線課堂來落實．僅以知識汲取為目標的講授式課堂教學雖然高效，但容易壓抑學生探索、思考的積極性，也制約了創新能力的提升．以學生為主體的建構主義式的教學模式，如討論式教學模式、活動式教學模式、探究式教學模式、發現式教學模式等[4]．由于過于強調學生的主體性而又容易走向極端，出現課堂節奏不好把握，討論提問時滿堂問，探究活動意義不明確等情形．這類教學模式更多地偏重解決“如何教”的問題．而課題式教學法則更強調“教什么”，在引導學生經歷數學再發現，實現數學再創造時仍然以教師為主導，教師在掌握數學知識的產生和發展的前因后果及相關理論整體基礎上，通過驅動問題引導學生完成“要做什么”“為什么要做”“怎么做”，由于整個課堂主導權在老師，從而能實現更有效的再創造學習．

概率在2000年后才進入中學數學課程．從近幾年高考的考題趨勢來看，學科對概率的要求越來越高．但是概率是研究隨機性問題的學科，而“隨機性”本身就沒有令人信服的數學解釋．周芳芳曾研究高中生對概率基本概念的理解，發現接近一半的學生對古典概型的實質不理解，其中“等可能偏見”錯誤仍舊廣泛存在[5]．李霞對浙江與上海近八百名高中生的概率錯誤進行研究，發現學生對概率的理解存在11類錯誤，過分注重外延的高中概率教學，使學生對概念的理解并不透徹[6]．可見，概率教與學一直存在著巨大的挑戰[7-8]．根據課題式教學法的再創造學習理論，在引導學生對概率知識進行“再發現”的同時，能更有效地形成正確的概率觀念，因此探討課題式教學法在高中概率課堂教學的應用對概率教學無疑是一種有意義的嘗試．

高中階段的概率教學，按照課題式教學法，在宏觀設計階段可劃分為隨機事件、古典概型、頻率估計概率、隨機變量等子課題．其中，古典概型是高中概率課程中非常重要的內容．從概率的發展歷史看，古典概型是人們探索隨機世界的敲門磚，正是隨著對古典概型所蘊含的概率思想的不斷深入研究，概率論被推廣到賭場以外的情形，成為當今數學學科中最有前途的分支之一．就中學階段的概率內容來說，古典概型是條件概率、全概率公式、離散型隨機變量分布列的基礎．二項分布和超幾何分布等重要的離散型隨機變量的分布計算均依賴于古典概型．所以，古典概型是高中階段概率學習的奠基石，其內容貫穿于整個高中概率課程．

下面以古典概型教學為例，聚焦于課題式教學法的兩個關鍵過程．（1）如何通過古典概型的歷史了解概率知識產生的背景、意義和價值，把握概率知識產生和發展過程中的關鍵問題；（2）如何在概率教學中進行課題式微觀設計．

2 古典概型的發展史與啟示

概率論始于對古典概型的研究．1654年，關于“分賭注問題”的劃時代的通信交流標志著概率論的產生．投骰子游戲已經有幾千年的歷史，而數學作為一門有組織的、獨立的和理性的學科也至少有兩千多年的歷史，但是在15世紀前卻一直沒有跡象表明人們會利用數學方法獲取賭博的勝利．一方面，缺少完美均勻對稱的骰子，被現代史學家認為是概率思想無法萌芽的一個重要的客觀因素，因為不均勻的骰子會使骰子點數的規律不易被發現．另一方面，人們對序列的模糊認識也被認為是阻礙概率思想出現的一個重要原因．早在約公元960年時，懷博爾德（Wibold）大主教已經意識到擲2枚和3枚骰子能分別列舉出21種和56種不同的組合數[9]．然而，各組合之間卻不滿足“等可能性”，因此沒能引起對概率思想的正確思考．15世紀后期和16世紀早期，隨著對稱的隨機發生器的日益完善，“等可能性”才被賭徒們在大量實踐中所感知．一些意大利數學家開始發現在包括擲骰子在內的賭博游戲中，可以將所有結果分解成一些等可能的情況，再考慮各種存在結果的比率，就可以確定特定結果的勝率[9]．

在“分賭注問題”問世后，很多學者對概率表現出極大的興趣，但是當時人們對于概率的具體含義的認識還是很模糊．1657年，惠更斯提出：“雖然不能確定運氣游戲中的結果，但是勝負的可能性卻是確定的．”[9]1678年萊布尼茲在其備忘錄中明確“概率是可能性的度量”．同時，他提出能反映等可能性本質的著名的“中立原則”——在沒有明確的證據表明這個事件比那個事件更應該發生時，這些事件就被認為是等可能的．在該原則下，萊布尼茲把概率定義為有利事件數與所有事件總數的比，伯努利和棣莫弗也認同這個定義．1785年，孔多塞再次提出概率是等可能的組合之比[10]．

在已有研究的基礎上，1814年，拉普拉斯在其著作《分析概率論》中給出了古典概率的經典定義：“當沒有理由令我們相信某個事件比其它事件更可能發生時，各個事件都必須看成是等可能的．機會理論就是把所有事件歸約成若干個等可能情況，進而確定欲求概率的事件的有利的可能情況數目．后者和前者的比率就是概率的測度．”[11]當前中學教科書仍沿用這一定義．

當然，古典概率定義具有明顯的缺陷——只能適用于等可能隨機結果的情形．伯努利很早就指出，依據先驗的等可能假設構造的古典概型具有極大的局限性，恐怕只能用于賭博問題，更多的其它場合，則必須另選路徑，并據此提出由客觀的頻率解釋概率的方法．遺憾的是，頻率解釋概率在數學上也存在局限性，尤其是邏輯上不能自洽，因而無法作為概率的一般定義．直到1933年，柯爾莫哥洛夫制定了概率的公理化體系，才解決了因為對概率本質理解的不同而造成定義無法統一的難題．

綜上，古典概型的基本特征是樣本空間的有限性和等可能性，其中等可能性思想是古典概型學習的核心思想，且不易掌握．作為最簡單直觀的概率模型，古典概型的思想也需要經過長時間的沉淀才得以形成．根據歷史的提示，只有在對稱的賭具出現后，賭徒們才能從大量的賭博游戲中感悟出解決特定隨機問題的等可能性思想．因此，等可能性并不是人們簡單的主觀假定，而更可能是一種統計經驗．憑人們現有的經驗，簡單情形下的等可能性不難感知，比如拋擲1枚均勻骰子，從裝有若干個球的盒子中隨機抽取1個球等隨機試驗中蘊含的等可能性．但是當拋擲2枚及以上的均勻骰子時，由于次序的影響，問題就變得復雜，具有等可能樣本點的樣本空間的構造是解決古典概型問題的重點和難點．

3 古典概型課題式教學的微觀設計

在古典概型的課題式教學法的微觀設計上，應以感悟古典概型、探索古典概率、強化等可能性思想、根據所求隨機事件合理構造古典概型并計算概率為設計路線，以問題驅動教學方式[12-14]進行教學．

首先，教師需要從宏觀上引導學生分析古典概型所代表的一類概率問題及其意義，這就好比研究者在進行項目申報時，需要闡明立項依據及其意義．具體的教學過程中不妨從下面問題開始．

【問題情境1】日常生活中，投骰子是很常見的，你覺得投擲骰子時出現哪個面朝上的可能性最大？你覺得這類問題有什么現實意義？

學生不難回答出現每個面的可能性是相同的，關于這類問題的現實意義，學生的回答可能是五花八門的，通過學生的回答可以總結出古典概型的基本特征以及研究這類問題的現實意義．例如，體育競賽中誰先發球問題就是通過類似方法處理的．產品的抽檢也是建立在抽到每件商品的可能性相同這個基本假設上．但是還有一個問題沒有解決，這就是樣本空間的容量問題，因為幾何概型也是建立在等可能性基礎上，所以還需要進一步辨析．

【問題情境2】如果不考慮選手的射擊水平（例如新手練習），理論上選手射中靶子上每一點的可能性有沒有差異？這類問題與前面所研究的擲骰子等問題有什么不同？

上述問題情境將古典概型與幾何概型區分了開來，在初步辨析了古典概型之后，下一步則是具體研究了．研究是圍繞著問題展開的，通過對問題的層層發現與分析，找到解決問題的合適方案，從而建立概念與相關的理論．

問題1：連續拋擲一枚均勻硬幣兩次，這個隨機試驗的樣本空間是什么？同時拋擲兩枚均勻硬幣，其樣本空間又是什么？

古典概型源于賭博問題，拋硬幣和投骰子等機會游戲是最能反映古典概型特征的隨機試驗之一．連續拋擲一枚硬幣兩次，由于有明確的次序特征，只要學生能意識到樣本空間的每個樣本點都是由硬幣的兩次狀態（正面或者反面）組成，就能容易正確寫出各個樣本點均等可能出現的樣本空間．而同時拋擲兩枚硬幣時，由于次序特征隱蔽，學生可能寫出的樣本空間僅包含3個樣本點：兩個正面，兩個反面，一個正面一個反面．此時，需要跟學生討論等可能性的問題．特別是對于某些隨機試驗，樣本空間可能并不唯一，但是有些樣本空間的樣本點不具備等可能性．

問題2：綜合前面的分析，你認為該如何定義古典概型？

通過對上述兩個情境問題的討論，學生深入了解了古典概型的兩個基本特征——等可能性和樣本空間有限．由此可引出古典概型的定義．

給出了古典概型的定義后，接下來的一系列問題將引導學生探索概率的古典定義．

問題3：箱子里有10個球，其中1～3號球是白球，4～10號球是黑球，現從中隨機抽取一球，觀察抽球的號碼．這是一個古典概型嗎？抽取到白球的可能性與抽取到黑球的可能性一樣嗎？

接下來討論在更復雜的情形下，隨機事件可能性計算的通用方法，繼續探索古典概率定義，并引導學生進一步明確應根據什么原則確定樣本空間以及確定樣本空間對于概率計算的重要性．

問題4：如果同時拋擲兩枚骰子，以每次拋擲后兩枚骰子朝上那面的數字作為試驗的結果，樣本空間是什么？樣本點是等可能的嗎？為什么？

當給兩枚骰子編號（1號和2號）后，可以寫出有36個樣本點的樣本空間，如表1．

表1 樣本空間1

若觀察的結果只側重哪兩個數字朝上而不考慮次序問題時，樣本空間則有21個樣本點，如表2．

表2 樣本空間2

僅從樣本空間的角度來說，這兩個空間都是可行的．但是，需要和學生討論樣本點的等可能性情況，讓學生理解只有第一個樣本空間符合古典概型的特征，而第二個樣本空間并不滿足要求．

問題5：拋擲兩枚質地均勻的骰子，拋出點數和為6的結果有多少種？

接下來繼續引導學生探索古典概率定義．確定合適的樣本空間后，還需要計算隨機事件包含的樣本點數．如果按照樣本空間1，拋出點數和為6的結果有5種：(1, 5)，(2, 4)，(3, 3)，(4, 2)，(5, 1)．而假如按照樣本空間2，則拋出點數和為6的結果有3種：(1, 5)，(2, 4)，(3, 3)．

問題6：拋擲兩枚質地均勻的骰子，拋出點數和為6的可能性是多少？

有了前面幾個問題做鋪墊，目標事件的可能性計算將水到渠成．如果按樣本空間1計算，根據相應的比值思想，可以計算得出可能性大小值為5/36．至此，應結合問題3引導學生共同思考，明確提出古典概率定義．需要注意的是，若按上面的樣本空間2進行計算，將得到錯誤結果．由此可讓學生展開討論，進一步明確等可能性概念的重要性，若等可能性條件不滿足，則不能利用古典概率公式解決問題．

至此，通過對問題3～6的討論，學生經歷了探索古典概率定義以及求解古典概型問題的全過程．當有了對古典概型及古典概率的初步了解，接下來不妨更深入一些．事實上，除了拋擲問題，抽球試驗也是古典概型中必須掌握的重要隨機試驗．

問題7：箱子里裝有2個白球、3個黑球，先從箱子里抽取出一球，然后把球放回去，再重新從箱子里抽出一球，這個隨機試驗的樣本空間是什么？抽出的兩個球中恰好有1個黑球的概率是多少？

此題的抽球過程也有明確的次序性，再次引導學生在構造樣本空間時對球進行編號（編號法是古典概型概率計算的常用技巧），注意到球是有放回的，因此可以寫出具有25個樣本點的等可能樣本空間，再利用公式求解概率．

問題8：箱子里裝有2個白球、3個黑球，先從箱子里抽取出一球，球不再放回箱子中，然后再從箱子里抽出一球，這個隨機試驗的樣本空間是什么？抽出的兩個球中恰好有1個黑球的概率是多少？

若把問題7理解為是有放回抽球的話，那么問題8就是無放回抽球問題，必須注意兩者的區別．由于抽出的球不再放回，故此樣本空間只含有20個樣本點．值得注意的是，由于所求的隨機事件不涉及次序問題，故也可以構造只有10個樣本點的樣本空間，即所謂的“組合問題”，而之前構造的具有20個樣本點的樣本空間則是按排列思想構造．學生通過枚舉并計算，可發現利用兩種樣本空間計算得到的概率值是相同的．此時可再次向學生明確在概率計算中確定樣本空間的依據．

問題7～8是古典概型中重要的兩類抽球模型，本質上都是機會游戲，而這兩類模型可以轉化為很多其它問題．如正次品率問題，抽簽問題等．

問題9：辦公室安裝空調時商家送了1張電影票，但辦公室有4名辦公人員，他們決定用抽簽的方法決定誰可以拿到電影票．于是他們拿了4張紙，其中1張寫著“電影票”3個字，另3張紙空白，把紙張折好隨機放在桌子上．大家輪流隨機抽取一張紙，抽取后拿在手上，等最后一個人拿完后同時打開紙張，看誰“中獎”了．試問第幾個人抽到電影票的概率最大？

這是大家熟悉的抽簽問題，也是古典概型的一個經典應用．抽簽時容易產生一個錯覺：先抽的人占便宜，最后抽的人吃虧，由此令人懷疑抽簽的公平性．這里，不妨把4個簽進行編號，其中1號簽為電影票．引導學生思考如何數學化這個抽簽過程．事實上，此時每一個試驗結果可看成簽號的一個排序（全排列），因此樣本空間共有24（4！）個樣本點．隨機事件“第個人抽到電影票”等價于“1號簽在第個位置出現”（=1, 2, 3, 4），易知這4個隨機事件所包含的樣本點數均為6個，因此這4個隨機事件的概率都是相等的，即抽簽是公平的．利用抽球模型解決抽簽問題時，能讓學生感悟到概率中的反直覺問題廣泛存在，只有運用正確的概率方法求解問題，才能消除錯覺．

問題10：對于拋擲一枚不均勻的硬幣，如何計算每一面出現的概率？

實際教學過程中可以針對這個問題組織學生深入討論，通過學生的探討與分析，可以更透徹地理解古典概型只能解決一類滿足等可能性且樣本空間有限的隨機問題，但是實際生活中，等可能性條件要求太高，絕對的等可能性甚至很難實現．于是新的隨機性問題出現了：如果等可能性滿足不了，如何計算概率問題？顯然，古典概型不適用于此種情況，此時需要尋求別的方法來求解概率，為下一節的頻率估計概率內容做好鋪墊．

問題11：根據古典概型的特征，你認為這類概率模型可以用來解決現實中哪些類型的概率問題？

上述問題既是回顧，也是對古典概型的升華，通過上述問題最終使學生明白，諸如拋硬幣、摸球等問題不過是古典概率模型的實際情境，它可以被替換成現實中的各種問題，例如產品的抽檢問題與不放回抽球本質上是同一類問題．通過這個問題的分析讓學生意識到，一個實際問題情境中可能蘊藏著一大類問題．同學們需要善于觀察，觸類旁通，從不同的情境中發現共同的特征，提煉出普適的解決方案．

4 回顧與反思

正如弗賴登塔爾所說“數學教育是數學的再創造”[15]，作為教育形態的數學，應該強調課堂的啟發性與思辨性，在思辨的過程中提升數學思維能力．傳統講授式教學注重的是概念與方法的掌握，忽視了概念為什么而生，如何尋找到解決問題的恰當方法？新課標強調數學素養的提升，問題是在實際教學過程中如何實現這種提升？合適的途徑是什么？這是值得思考的問題．問題解決是目前大家廣為談及的話題，但什么樣的問題才是引發學生思考、激發學生創造能力的合適問題？這是需要認真思考、仔細斟酌的重要課題．

古典概型課題式教學的本質是通過促使概念產生的本原性問題[16]引導學生“再發現”古典概率的產生及其蘊含的思想與價值，實現對教學內容的有限“再創造”，同時，通過一系列具有代表性的問題層層剖析，深入思考，逐步提煉出古典概型及古典概率的本質特征，并通過這些問題引發學生反思古典概型適用于現實中的哪些問題以及如何通過確定合適的樣本空間進行概率計算．

高中數學課程重在以學生發展為本，培育學生的創新意識，繼而提升數學學科核心素養．課題式教學這種符合科學研究的基本范式又充分體現數學的“再創造”的教學模式，不但能為高中概率教學提供一種新的思路，也為其它數學學科模塊的教學提供可行性高的嘗試．

[1] 曹廣福，劉丹．課題式教學法探析[J]．數學教育學報，2020，29（3）：32-36．

[2] 王海青，曹廣福．從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究[J]．數學教育學報，2021，30（5）：39-46．

[3] 沈威，曹廣福．初中統計內容課題式教學設計研究[J]．數學教育學報，2022，31（3）：45-49．

[4] 張奠宙，宋乃慶．數學教育概論[M]．北京：高等教育出版社，2009：96-100．

[5] 周芳芳．新課程背景下高中生對概率基本概念理解的研究[D]．長春：東北師范大學，2012：9-29．

[6] 李霞．中學生對概率的錯誤理解：HPM的視角[D]．上海：華東師范大學，2018：76-106．

[7] 張敏，何小亞．貝特朗悖論之爭的終結[J]．數學教育學報，2015，24（3）：51-54．

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[9] 徐傳勝．從博弈問題到方法論學科[M]．北京：科學出版社，2010：3，5，19．

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[14] 王海青，曹廣福．高中圓錐曲線的概念教學重構[J]．數學教育學報，2022，31（4）：7-13．

[15] 弗賴登塔爾．作為教育任務的數學[M]．陳昌平，唐瑞芬，譯．上海：上海教育出版社，1995：3．

[16] 曹廣福，張蜀青．問題驅動的中學數學課堂教學[M]．北京：清華大學出版社，2018：8．

Project-Based Instruction in High School Classical Probability Model

ZHANG Min

(School of Mathematics Science, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Relying on the classical probability model as one of the foundations and difficulties in probability teaching in high school, based on the idea of limited re-creation of mathematical knowledge, the project-based instruction is used to reconstruct the classroom teaching of classical probability model in high school by sorting out the development history of classical probability model and excavating the core ideas of classical probability model. While guiding students to “rediscover” the probability knowledge to form a correct concept of probability, it also provides a new idea and attempt for probability teaching in high school.

project-based instruction; probability teaching; classical probability model; recreation

G632

A

1004–9894（2023）04–0001–04

張敏．高中古典概型的課題式教學[J]．數學教育學報，2023，32（4）：1-4．

2023–02–13

國家教育考試科研規劃2021年度重點課題——面向教考銜接的新時代高考數學內容改革研究（GJK2021008）；廣東省高等教育教學改革項目——新師范課程《數學解題研究》線上線下混合教學設計研究（粵教高函〔2020〕20號）；廣東省“十三五”教育規劃項目——粵港澳大灣區數學教師教育的合作與交流：基礎、挑戰與發展（2020GXJK100）

張敏（1977—），女，廣東陸豐人，講師，博士生，主要從事數學素養與概率統計教學研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]