數學符號教學：“科學要求”“現實問題”及“優化策略”

李保臻，王芝霖

數學符號教學：“科學要求”“現實問題”及“優化策略”

李保臻，王芝霖

（西北師范大學 教師教育學院，甘肅 蘭州 730070）

基于“精確性與多義性相結合”“具體性與抽象性相統一”“操作性與邏輯性相補充”“文化性與應用性相融通”等數學符號教學的科學要求，探討了數學符號教學的現實問題：內涵理解不精準、書寫格式不規范、表征形式不統一、背景了解不充分、遷移運用不熟練．由此提出了數學符號教學的優化策略：準確理解數學符號內涵，切實感悟數學符號要義；嚴格規范數學符號書寫，全面提高符號學習成效；不斷加強語言互譯訓練，有效建構數學統一表征；適當滲透數學符號文化，助力培養符號學習興趣；靈活運用符號解決問題，充分彰顯符號多元價值．

數學符號教學；科學要求；現實問題；優化策略

1 問題提出

數學符號即表征數學科學的特殊符號，是人們對客觀事物本質屬性及內在規律從空間形式與數量關系等層面思維加工后的認知記號．數學符號源于數學概念的闡釋、數學公式的表達、數學命題的推理及數學結論的歸納等的模型建構過程，是使數學思維過程更加準確、簡明、直觀而形成的含義高度概括、形體高度濃縮的數學語言．因此，養成精準理解數學符號含義、規范表征數學符號形式和積極促進數學符號遷移等良好習慣對學生學好數學非常重要，而如何通過教與學的有效實施來培養學生的數學符號意識顯得更為重要．因為數學符號意識不僅是學生學習數學后早期所形成的一種基本素養，而且也是其后續順利學習其它數學知識的認知前提，因此，數學符號意識便成為義務教育階段學生必備的數學素養．如《義務教育數學課程標準（2022年版）》對小學生應具備的數學符號意識的內涵進行了相應刻畫：能夠感悟符號的數學功能，知道符號表達的現實意義；能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規律；知道用符號表達的運算規律和推理結論具有一般性；初步體會符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式[1]．數學符號具有抽象性、明確性、操作性、簡略性和通用性等特性，數學符號的語言、工具、方法、功能與認識等構成了數學學習的重要內容，這些特性及內容對數學符號的教學提出了一定的科學要求．那么，數學符號教學的科學要求主要表現在哪些方面？中國當前中小學數學符號教學還存在什么問題？應采取哪些優化措施提升數學符號教學的效果？這些問題已成為學者們研究的一個重要領域，同時也取得了一些有價值的研究成果．

如徐品方等著重介紹了一百多個常用數學符號產生、發展的歷史，尤其對歷史上多個民族使用數學符號的源流進行了十分細致地考證[2]；劉云章在詳細描述數學符號內涵的基礎上，按照數學符號的功能將其分為元素符號、關系符號、運算符號和輔助符號四大類[3]；徐美進從數學符號的產生與分類、特點與應用等方面闡述了數學符號在數學中的作用[4]；朱立明將數學符號意識按感知與識別、理解與運算、聯想與推理、抽象與表達4個層次細分為12個操作指標[5]；石志群以“認知的歷史發生原理”為指導，提出了發揮數學符號教學價值的相關建議[6]．可見，學者們關于數學符號的研究主要包括內涵分類、演變歷程、功能作用、操作指標及教學價值等方面，這些成果豐富了該領域的研究內容，拓展了該領域的研究視野．

但整體來看，這些研究比較零散，缺乏系統性與統整性，且多數研究側重對數學符號的理論分析，而對其教學實踐研究的探索較少，尤其對21世紀中國基礎教育數學課程改革背景下中小學數學符號教學的研究更少．隨著數學課程改革的深入推進，數學符號教學中出現的諸多問題不斷引起大家的關注，亟需理論界與實踐界及時做出科學回答．鑒于此，研究在闡析數學符號教學理念要求的基礎上，全面審視中小學數學符號教學存在的問題，最后提出數學符號教學的優化策略，以期為中小學數學教師的數學符號教學提供理論支持與實踐參考．

2 數學符號教學的科學要求

綜合數學科學自身的本質特征、課程標準對數學符號教學的理念規約及學生數學學習的認知特點等要素后認為，中小學數學符號教學應具備以下科學要求：精確性與多義性相結合、具體性與抽象性相統一、邏輯性與操作性相補充、文化性與應用性相融通．

2.1 精確性與多義性相結合

數學符號的精確性是指數學符號在特定知識領域及數學情境中特指的含義，數學符號的多義性是指數學符號在不同知識領域及數學情境中表示兩種或兩種以上的含義，即出現“一符多義”的現象．數學符號的精確性是數學科學的本質要求，體現著數學計算的確定性與數學推理的嚴密性，是學生理解數學、積淀數學與應用數學的基礎；而數學符號的多義性代表了數學抽象的層次性及數學應用的遷移性．數學符號的這二重性決定了數學符號教學應注重精確性與多義性相結合，這就要求教師既要根據具體的數學內容教給特定年齡階段學生精確的數學符號知識，又要隨著知識的拓展及學生認知的發展，讓學生從多個角度、多個層次來闡釋數學符號的含義，從而讓其學習到全面而系統的數學知識．如學習“×”這一符號時，在四則運算中它表示數的乘法運算，但在矢量運算中它表示向量的矢性積運算，就體現了“×”符號在特定運算情境中的精確性及在不同運算情境間的多義性．

2.2 具體性與抽象性相統一

數學符號的具體性是指符號代表對象在特定問題情境中的表現特征，其可以表現為清晰確定的語言陳述，也可以表現為直觀形象的模型呈現；數學符號的抽象性是指符號代表對象體現出來的形式化、結構化、層級高及用途廣等性質，抽象性既表現為直接從現實世界抽象出能用數學符號表示的空間形式和數量關系，又表現為對已有具體數學符號的再抽象．數學符號的具體性與抽象性是對立統一的[7]，具體性是抽象性的素材基礎及認知載體，能夠加深對抽象性的認識并實現符號抽象的意義價值；抽象性又是對具體性的升華與改造，揭示著數學表征對象的普遍規律并促進其不斷豐富與發展[8]．數學符號的這二重性既要求教師需遵循學生一定的認知特點使其精準理解特定數學符號的具體要義，又要隨著學生認知結構的不斷完善學習到抽象度更高、應用性更廣的數學知識，從而幫助學生逐步形成完整的數學知識體系．如在對確定實數參與運算的具體乘法分配算式

2.3 操作性與邏輯性相補充

2.4 文化性與應用性相融通

3 數學符號教學的現實問題

數學符號的科學要求規范了數學符號教學的應然訴求，而受數學教師教育教學理念、數學素養水平、解析教材質量及學生數學學習習慣、數學認知儲備及數學表征能力等因素的影響，數學符號教學還存在諸多問題，以下依據已有相關文獻的研究結論與研究者多次深入一線的課堂觀察、深度訪談等實證調研，就數學符號教學的現實問題進行全面梳理及深入分析．

3.1 數學符號內涵理解不精準

3.2 數學符號書寫格式不規范

3.3 數學符號表征形式不統一

圖1 完全平方和公式的圖形表示

3.4 數學符號背景了解不充分

3.5 數學符號遷移運用不熟練

4 數學符號教學的優化策略

學生在數學符號學習過程中所表現出的諸多問題，反映了部分教師在數學符號教學過程中的現實問題不容樂觀，這就需要教師應在數學符號教學科學要求的指導下，深入析理數學符號教學的諸多影響因素并提出改進的途徑，從而不斷提高數學符號教學的質量及效果．為此，研究提出以下關于數學符號教學的優化策略，以期為一線教師的數學符號有效教學提供參考．

4.1 準確理解數學符號內涵 切實感悟數學符號要義

4.2 嚴格規范數學符號書寫 全面提高符號學習成效

規范數學符號書寫是數學學習最基本的要求，對學生正確理解數學符號所表示對象的內涵及感悟數學符號表征的價值有著重要意義．但由于受多種因素的影響，學生在數學符號學習過程中經常出現符號書寫不規范的現象，這不僅會造成學生對于符號的錯誤認知，而且不利于學生嚴謹學習態度的培養．因此要嚴格規范學生的數學符號書寫，應從以下幾方面做起：首先，教師要提高規范數學符號書寫重要性的認識，切勿養成隨意、不規范乃至錯誤書寫數學符號的不良意識；其次，教師在教學中應起到良好的示范作用，教師無論在板書還是課件上都必須以教材中的要求嚴格規范地書寫數學符號，只有做到自身規范的符號書寫才有助于學生形成規范書寫數學符號的習慣；再次，學生要加強數學符號書寫規范性的訓練，教師應引導學生從邏輯性、順序性、完整性及美觀性等方面有針對性地加強數學符號書寫訓練；最后，教師還需不斷檢測學生數學符號書寫的質量及效果，對學生規范書寫數學符號現象提出表揚，對不規范書寫數學符號現象及時糾正．

4.3 不斷加強語言互譯訓練 有效建構數學統一表征

作為表達數學思想的通用語言和數學思維的最佳載體，文字語言、符號語言及圖形語言等數學語言從不同維度、不同層面、不同視角對數學的本質進行了表征與刻畫，在數學教學中教師若不斷加強3種語言互譯與轉換的訓練，則有助于學生對數學思想的感悟、數學本質的理解與數學觀念的建構等的學習．但由于數學符號的抽象性與多義性等特點，學生在不同語言互譯過程中存在著思維不靈活、視野不開闊、遷移不熟練等問題，直接影響了數學符號學習的質量及效果，也成為數學符號教學的一大難點．為提高學生數學語言互譯能力，教師在教學中應做到以下幾點：首先，教師要引導學生認識到每一種數學語言的表征特性與重要價值，相比而言，符號語言可使問題變得更加清晰簡潔，便于數學推理和運算，文字語言更加明確具體，有利于學生對數學概念的理解與數學結論的記憶，圖形語言更加直觀形象，有助于呈現數學對象的形狀與性質，3種語言在數學表征時既具有相對獨立性又具有相互關聯性；其次，教師在教學中應主動加強3種語言表征形式相互轉化的訓練，引導學生先對文字語言表達素材進行認知理解，再用符號語言表示相關數量關系，后用圖形語言進行直觀解釋，或先用圖形語言進行直觀呈現，再用符號語言表示相關數量關系，后用文字語言進行歸納總結，通過這種相互轉化的針對性訓練，有助于學生對數學統一表征的建構及問題解決能力的培養；最后，教師在教學中要注重信息技術的合理使用，如利用幾何畫板作圖演示及對相關數據進行分析，可以使學生將靜態的文字語言、抽象的符號語言及直觀的圖形語言有效整合，在學到全面數學知識的同時也有助于其數學核心素養的培育[24]．

4.4 適當滲透數學符號文化 助力培養符號學習興趣

4.5 靈活運用符號解決問題 充分彰顯符號多元價值

5 結語

總之，數學符號教學的科學要求為審視符號教學的現實問題與構建符號教學的優化策略提供了學理層面的應然依據；而數學符號教學現實問題的客觀分析是對其科學要求的實然印證，也是積淀其優化策略的事實基礎；數學符號教學的優化策略指出了其科學要求可能實現的有效路徑，也是對其現實問題全面分析之后的改進方案．這3者之間緊密聯系又相互制約，教師只有在數學符號教學科學要求的指導下，辯證審視且不斷解決自身及學生在數學符號教學中存在的各種現實問題，并依據學生實際不斷優化完善自身的教學策略，才能保證數學符號教學過程的順利實施及教學目標的高質量達成．

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Mathematical Symbol Teaching: Scientific Requirements, Practical Problems and Optimization Strategies

LI Bao-zhen, WANG Zhi-lin

(College of Teacher Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Based on the scientific requirements of mathematical symbol teaching, such as “combination of accuracy and ambiguity”, “unity of concreteness and abstractness”, “supplement of operability and logicality” and “integration of culture and application”, the practical problems of mathematical symbol teaching were discussed: inaccurate understanding of connotation, non-standard writing format, inconsistent representation form, insufficient background understanding, and unskilled transfer and application. Therefore, this paper puts forward the optimization strategies of mathematical symbol teaching: accurately understand the connotation of mathematical symbols, and effectively understand the essence of mathematical symbols; strictly standardize the writing of mathematical symbols and comprehensively improve the effect of symbol learning; strengthen the training of language translation continuously and construct the unified representation of mathematics effectively; infiltrate the mathematical symbol culture appropriately to help cultivate the interest in symbol learning; and flexibly use symbols to solve problems and fully demonstrate the multivariate values of symbols.

mathematical symbol teaching; scientific requirements; practical problems; optimization strategies

G622

A

1004–9894（2023）04–0072–06

李保臻，王芝霖．數學符號教學：“科學要求”“現實問題”及“優化策略”[J]．數學教育學報，2023，32（4）：72-77．

2023–02–10

2018年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——西北民族地區農村中小學教師專業成長支持體系研究（18YJA880039）；2021年度甘肅省教育科學“十四五”規劃重點項目——國家通用語言文字普及中民族地區理科教育質量提升機制研究（GS〔2021〕GHBZ131）

李保臻（1972—），男，甘肅莊浪人，教授，博士，博士生導師，主要從事數學課程與教學論、教師教育等研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]