一道解析幾何動點軌跡方程問題的變式與推廣

華南師范大學數學科學學院(510631) 李崇榆 蔣旺旺

1 試題呈現與解答

題目(2023 屆廣州高三零模卷第21 題) 已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2,圓M與y軸相切,且圓心M與拋物線C的焦點重合.

(1)求拋物線C和圓M的方程;

(2)設P(x0,y0)(x0?=2)為圓M外一點,過點P作圓M的兩條切線,分別交拋物線C于兩個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2)和點Q(x3,y3),R(x4,y4).且y1y2y3y4=16,證明: 點P在一條定曲線上.

該題是以直線與拋物線和圓的位置關系為命題背景,求解動點的軌跡方程問題.動點的軌跡方程問題是解析幾何的重要知識點,也是高考數學中的常見題型.

解答第(1)問考查拋物線和圓的基本求法,易得拋物線C:y2=4x,圓M:(x?1)2+y2=1.

第(2)問思路一點P在一條定曲線上等價于點P關于x0,y0的軌跡方程無參數.那么如何消去參數得到P的軌跡方程呢? 觀察等式y1y2y3y4=16,y1y2和y3y4可通過分別聯立切線AB和切線QR與拋物線C的方程得到.那么怎么設切線的方程? 根據題意可知,切線的斜率存在且不為0,可設其方程為y?y0=k(x?x0)或x=m(y?y0)+x0.

圖1

若設切線AB和切線QR的斜率分別為k1,k2,利用韋達定理可用x0,y0,k1,k2表示

那么下一步只需消去k1+k2,k1k2可得關于x0,y0的方程.注意到,利用直線與圓相切的性質可列出關于k的一元二次方程,根據韋達定理可用x0,y0表示k1+k2,k1k2,代入即可求證.

通過消元可獲得關于y1y2的一元二次方程方程.類似地,由于直線CD與直線AB有相同的位置關系,即“形似”,則可以得到關于y3y4的同構方程,進而使用韋達定理表示y1y2·y3y4.這使用了”同構法”.

解法2由于過點P(x0,y0)(x0?=2)所作圓M的兩條切線,分別交拋物線C于兩個不同的點,則x0?=0,y0?=±1,則切線斜率存在且不為0,設直線

即直線AB: 4x?(y1+y2)y+y1y2=0.由于直線AB過點P且與圓M相切,則在 ②中消去y1+y2,整理得:(y20?1)(y1y2)2+8(y20?x0)y1y2?16x20=0.同理,由于直線QR與直線AB具有相同的特征,則(y20?1)(y3y4)2+8(y02?x0)y3y4?16x20=0.因此y1y2,y3y4為關于x的一元二次方程(y02?1)x2+8(y02?x0)x?16x20=0 的兩個實根,則y1y2y3y4=(y1y2)(y3y4)==16,即x20+y20=1.所以點P在圓x2+y2=1 上.

評注2在解法2 中,利用直線CD與直線AB的“形似”——過定點P且與圓M相切,得到關于y1y2和y3y4的一元二次方程是思路二的關鍵! 對比通法,同構法未引入新“元”,而是對整體y1+y2,y1y2或y3+y4,y3y4進行操作,不僅大大地減少了運算量,也彰顯了思維的整體性與靈活性.在解析幾何問題中,常有一些點、線具有相同的特征,如二次曲線上的兩個點在同一條直線上、兩個點在同一條二次曲線上、兩條直線與二次曲線有相同位置關系、兩條直線過同一個點,將這些“形”的共性坐標化,得到的代數式結構也相同,這也為“同構法”的使用提供了可能[1].

2 試題追溯與變式推廣

追根溯源,與這道模擬題類似的高考題曾出現在2012年高考湖南卷(理科)第21 題中.

溯源(2012 年高考湖南卷(理科)第21 題)在直角坐標系xOy中,曲線C1上的點均在C2: (x?5)2+y2=9 外,且對C1上任意一點M,M到直線x=?2 的距離等于該點與圓C2上的點的距離的最小值.

(1)求曲線C1的方程;

(2)設P(x0,y0)(y0?=±3)為圓C2外一點,過點P作圓C2的兩條切線,分別與曲線C1相交于點A,B和C,D,

證明: 當P在直線x=?4 上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值.

答案(1)曲線C1:y2=20x.(2)當P在直線x=?4上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值6400.細節從略.

追尋動態變化中的不變一直是解析幾何的研究熱點.從這兩道題我們可以提出一些疑問: 若將拋物線一般化為C1:y2=2px(p>0),將圓一般化為C2: (x?)2+y2=r2(r >0),設P(x0,y0)(y0?=±r)為圓C2外一點,過點P作圓C2的兩條切線,分別與拋物線C1相交于兩個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3),D(x4,y4).任給一實數q,若y1y2y3y4=q時,P(x0,y0)是否在定曲線上? 若在,曲線的方程是什么? 這兩個條件是否等價?

2)切線AB和切線CD的斜率都存在

由于A,B,C,D在拋物線C1:y2=2px上,故直線

即2px?(y1+y2)y+y1y2=0.由于直線AB過點P且與圓M相切,則

消去y1+y2,整理得:

同理,由于直線CD與直線AB具有相同的特征,則

因此,y1y2與y3y4是關于x的一元二次方程

的兩個根,則?≥0?(x?)2+y2?r2≥0,

即4p2r2x20+(q+4p2r2?p4)y20=r2q.由此,我們得到以下結論:

命題1已知拋物線C1:y2=2px(p>0),圓C2: (x?)2+y2=r2(r >0).設P(x0,y0)(y0?=±r)為圓C2外一點,過點P作圓C2的兩條切線,分別與拋物線C1相交于兩個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3),D(x4,y4).任給一實數q,若曲線方程有解且曲線不在C2內,則y1y2y3y4=q?點P在定曲線上且曲線方程為4p2r2x2+(q+4p2r2?p4)y2=r2q.

表1 當y1y2y3y4=q 時定值q 與曲線的關系

評注3由命題1 知,2023 屆廣州市零模第21 題中第(2)問的條件“x0?=2”的有無不影響結論,但作為解析幾何試題,其避免了對切線斜率不存在的討論,降低了題目的難度.

我們還可以類比上述推廣過程進行如下變式探究:

探究1 保持命題1 中其他條件不變,將條件y1y2y3y4=q改為y1y2+y3y4=q.

1)切線AB或切線CD的斜率不存在的情形:

命題2保持命題1 中其他條件不變,則y1y2+y3y4=q?點P在定曲線上且曲線方程為(q+2p2)y2=4pr2x+qr2.

表2 當y1y2+y3y4=q 時定值q 與曲線的關系

探究2 保持命題1 中其他條件不變,將條件y1y2y3y4=q改為(y1+y2)(y3+y4)=q”或“y1+y2+y3+y4=q.

表3 當y1+y2+y3+y4=q 時定值q 與曲線的關系

命題4保持命題1 中其他條件不變,則y1+y2+y3+y4=q?點P在定曲線上且曲線方程為

觀察到式⑦含有交叉項x0y0,僅通過平移是無法消去的.在高等數學中,二次曲線方程中的交叉項總可以通過轉軸變換消去(在平面直角坐標系中,不改變原點的位置和坐標軸的長度單位,將兩坐標軸按同一方向繞原點旋轉同一角度的坐標變換叫做坐標軸的旋轉,簡稱轉軸).下面,我們引入高等數學知識,了解消去交叉項的方法并判斷命題4 中曲線的形狀,相關細節可參見[2].

引理1 (轉軸公式)設坐標軸的旋轉角為θ,P是平面的任意一點,在原坐標系xOy的坐標為(x,y),在新坐標系x′Oy′的坐標為(x′,y′),則

叫做坐標軸的旋轉公式,簡稱轉軸公式.

引理2 在二次曲線方程

來判定S為何種曲線的條件是:

I1I3<0橢圓I2 >0 I3=0點I1I3 >0虛橢圓I2<0 I3 ?=0雙曲線I3=0相交直線I3 ?=0拋物線I2=0 I3=0,K1<0平行直線I3=0,K1=0重合直線I3=0,K1 >0 虛平行直線

表4 當y1y2+y3y4=q 時定值q 與曲線的關系

評注4經驗證,若保持命題1 中其他條件不變,將條件“y1y2y3y4=q”改為“y1+y2+y3y4=q”或“(y1+y2)y3y4=q”,點P軌跡不能類似得到上述結論.將命題1 中的圓C2一般化為(x?a)2+(y?b)2=r2,還可以得到以下更加一般的命題:

命題5已知拋物線C1:y2=2px(p>0),圓C2:(x?a)2+(y?b)2=r2(r >0),設點P(x0,y0)(y0?=b±r)為圓C2外一點,過點P作圓C2的兩條切線,分別與拋物線C1相交于兩個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3),D(x4,y4).任給一實數q,若曲線方程有解且曲線不在C2內,則

(1)y1y2y3y4=q?點P在定曲線上且曲線方程為

4p2(b2?r2)x2?8p2abxy

+[4p2(a2?r2)?q]y2+2qby+q(r2?b2)=0.

(2)y1y2+y3y4=q?點P在定曲線上且曲線方程為

(4pa+q)y2?4pbxy+4p(b2?r2)x

?2b(2pa+q)y+q(b2?r2)=0.

(3)y1+y2+y3+y4=q?點P在定曲線上且曲線方程為

qy2?4pxy+4pbx+2(2pa?qb)y+q(b2?r2)?4pab=0.

(4)(y1+y2)(y3+y4)=q?點P在定曲線上且曲線方程為

4p2x2?qy2?8p2ax+2qby+4p2(a2?r2)+q(r2?b2)=0.

4 命制新試題

試題設P(x0,y0)(x0?=1 或3)為圓C2: (x?2)2+y2=1 外一點,過點P作圓C2的兩條切線,分別與曲線C1:y2=8x相交于點A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3),D(x4,y4).在①y1y2y3y4=400,②y1y2+y3y4=32,③(y1+y2)(y3+y4)=64,④y1+y2+y3+y4=0,這四個條件中選一個作為已知條件,證明: 點P在定曲線上.

解由題意知,p=4,r=1.若選條件1,則由命題1 知點P在橢圓4x2+13y2=25 上.若選條件2,則由命題2 知點P在拋物線y2=上.若選條件3,則由命題3 知點P在過點(2,0)的兩條直線(x?2)2?y2=0 上.若選條件4,則由命題4 知點P在過點(2,0)的兩條直線y=0 或x=2 上.