基于加權信息熵的OC曲線性能評價仿真實驗設計

趙嘉琪，徐文浩，樊樹海

（1.南京工業大學工業工程系，南京 210009；2.麻省理工學院信息質量項目數據質量與信息安全實驗室，美國馬薩諸塞州02139）

0 引 言

質量檢驗工作作為對產品質量進行把關、預防、反饋、改進的過程，是全面質量管理的重要組成部分。抽樣特性曲線（Operation Characteristic Curve，OC 曲線）性能分析是質量檢驗的主要分析方法。對OC 曲線性能的研究是質量管理與可靠性課程中的重要內容，也是學生理解與運用質量管理的重要工具之一。對企業而言，研究更先進的抽樣特性評價指標、建立完善的質量評價體系有助于企業降低成本、保障產品質量、提升核心競爭力［1］。國內在質量檢驗評價體系方面尚處在探索階段，缺乏具有科學性的評價標準［2］

在以往對OC曲線的研究中，文獻［3-5］中研究了OC曲線的具體運用，但沒有提出新的判定指標。近年，文獻［6-7］中提出基于截距、斜率的抽樣特性曲線性能評價等方法，來評判OC 曲線性能的優劣。相比傳統方法——先變動抽樣方案的單一參數繪制出OC曲線族，再根據經驗直接對曲線族評判得出判斷結果，用定量度量的方法評判出的結果更加準確、科學［8］。在新的市場需求下，生產的產品趨于多樣化、定制化，產品特性千差萬別，不同產品的生產情況之間存在較大差異。國內現有研究不能適配現今產品多樣化與定制化的生產趨勢，缺乏相應的OC曲線量化評價方法，研究用于教學時也不利學生對OC曲線性能的深入學習與理解。

本文針對以上問題提出了基于加權信息熵的抽樣特性曲線性能評價指標，并以實驗仿真加以說明。結果表明：新的指標與解決辦法是有效可行的。該指標的發現與應用彌補了國內在質量檢驗方面研究的不足。該指標運用在抽樣方案的對比與選取工作時，不僅操作便捷、不受傳統方法的局限，又可以根據不同產品生產的實際情況做出針對性判斷。新的指標與解決辦法運用于教學仿真分析時，能夠幫助學生對于抽樣特性曲線的學習與理解；使學生能體會針對不同生產情況，如何對比選取更好的抽樣方案，以最小的抽檢成本，快速高效地判斷產品批是否合格。通過在傳統實驗方法中引進相應的先進評價指標，目的在于培養學生的發散性思維，提升學生的應用能力，使實驗與學習更具有實際應用價值，提高教學質量。

1 加權信息熵（Weighted Information Entropy）評價指標

1.1 OC曲線分析

OC曲線表示在給定的抽樣方案中，批接收概率與批不合格品率的函數關系［5］。在生產制造業中OC曲線被廣泛用于預估接收批的質量水平、確定批合格概率、幫助確定檢查水平、確定生產方與消費方風險等［9-11］。在質量檢驗工作中，普遍會采用分析OC 曲線作為比較抽樣方案鑒別能力的方法，此過程也是檢驗工作的重要環節之一［12］。分析OC 曲線的傳統方法及步驟：

步驟1固定抽樣方案的其余參數，根據單參數變化的影響規律篩選出較好的參數。

步驟2利用產生的數據繪制出OC 曲線族如圖1 所示。

步驟3直接根據曲線族圖由經驗判斷OC 曲線性能的優劣［13-14］。

該方法的弊端有

（1）對曲線族的對比與選取很大程度上依賴于質量管理人員的經驗，是一種直觀定性的判斷方法，缺少嚴謹與準確的定量分析。

（2）對曲線族的對比，需要建立在僅單參數變化的前提下。在實際生產中，產品種類往往并不單一，特性不盡相同，那么檢驗時所應采取的抽樣方案也會隨產品特性和生產環境的差異而變化。因此無法按照傳統方法——依據變動抽樣方案的單參數產生的一系列數據，來評判OC曲線以及抽樣方案的優劣。

綜上所述，傳統的評價方法不夠嚴謹，在評價時無法根據產品的實際生產情況做出調整，限制條件較多，適用面也較狹隘。這不僅會阻礙實際生產活動中檢驗工作的開展，在運用于教學實驗時也會給學生的理解與運用造成困擾。

1.2 實驗分析

在課堂實驗中，以讓學生掌握如何對比與選取抽樣方案為教學目的。設抽樣方案1 為（50，15，5），抽樣方案2 為（50，8，2）。讓學生以開展對以上兩方案的對比選取工作為例，進行實驗。

步驟1運用Matlab設計2 個方案的信息熵對比實驗，流程如圖2 所示。

圖2 信息熵曲線實驗流程圖

步驟2繼續對2 個方案進行OC曲線的對比，流程如圖3 所示。

圖3 OC曲線實驗流程圖

為使方案之間的對比更加直觀、容易理解，將2 個實驗生成的2 組二維圖像用Matlab 繪制在同一張圖上，如圖4 所示。

圖4 抽樣方案的信息熵、OC曲線對比

圖中藍色曲線為抽樣方案（50，15，5），紅色曲線為抽樣方案（50，8，2）。由結果可見，這兩個方案在2個不同仿真分析中生成的曲線都各自有交點產生。若此時仍按傳統方法由仿真圖像僅憑肉眼或者經驗來選取抽樣方案，將很難對兩個方案進行取舍。這種情況下，傳統方法無法發揮功能。需要研究出能有效解決以上問題、適用面更廣且操作便捷的抽樣特性曲線性能評價指標及實驗方法。

（注：超幾何、二項及泊松分布模塊調用的非連續性導致圖4 中少量鋸齒現象的發生。）

1.3 加權信息熵評價方法

企業所生產的產品數量和種類都隨著人民生活水平的發展與提高而急劇增加［15］。不同產品在生產時，不合格品率也不盡相同。根據5M1E 分析法可知，影響產品質量、造成質量波動的原因主要有：人、機器、材料、方法、測量、環境。在實際生產環境中，在生產完全相同的一批產品時，設備經過一系列精準調試后，生產線會達到高度自動化或高精度水平，以上6 種因素將趨于穩定。若無混流生產需求及其他特殊情況發生，生產狀態將維持較長工作時間。那么，產品的不合格品率也將會逐漸收斂到一個相對穩定的水平p。為方便闡述，當不合格品率為p時，把在OC 曲線上對應的點稱為“收斂點”。

申農（Shannon）在信息論中，提出了信息熵的概念來解決從量的方面描述信息傳輸和提取［16］。信息熵是系統組織程度和有序程度的度量，可用來表征系統的不確定程度［7］。若抽樣方案靈敏度和準確性較高，說明該抽樣方案接收事件具有較小的不確定性。如果“接收”事件的不確定性小，表明接收概率維持在較高或較低值；若“接收”事件的不確定性大，表明接收概率在中等水平。當接收概率為1，表示肯定接收；接收概率為0 時，表示肯定不接收。以上2 種事件均為確定事件，不確定度均為0。

當“接收”事件概率為L（p），則“不接收”事件概率為（1－L（p）），信息熵

按線性關系增加生產活動中出現的“收斂點”及其附近參數的權重，將整合計算后的權重值作為指標的乘數之一。將信息熵值與權重參數進行復合運算后，作為OC曲線的評價指標。

設“收斂點”不合格品率p的值為0.3，那么在計算時，就應將該點所占的權重值W設為最大。整體的權重比例在坐標軸中應表現為“收斂點”的權重值最高，過最高點向x軸兩端延伸的折線——即由“收斂點”為頂點向坐標軸兩端呈直線下降的形式，如圖5所示。

圖5 權重圖

用OC曲線上的每個點的信息熵值乘以每個點對應的權重W，再對該乘積進行積分則得到新的OC 曲線評價指標——加權信息熵評價指標

式中，W為權重值。

在評價抽樣方案時，希望方案有較高的靈敏度、較低的不確定程度——即表現為方案的加權信息熵評價指標值較小。

2 仿真實驗設計與分析

2.1 仿真分析

對加權信息熵評價指標進行仿真分析時有：

式中：Pd為樣本中檢出d個不合格品的概率；N為被檢品的批量；D為被檢批中不合格品總數；n為樣本大小。

在抽樣方案確定、抽樣為計數一次型抽樣確定后，根據加法定理計算接收概率有

式中：c≤n≤N；D應取整數。

又已知加權信息熵評價指標，則實驗中可發現，輸入任意需要的抽樣方案（N，n，c），經過以上的一系列計算，都會得到一個對應的加權信息熵指標值。由Matlab進行仿真（仿真流程見圖6），用仿真結果進行指標的可行性分析。

圖6 實驗仿真流程示意

2.2 仿真實驗結果

經過仿真生成的三維圖如圖7 所示。可見在三維圖中當n＞c時，加權信息熵指標值變小，說明系統的不確定程度在降低，抽樣方案越嚴格，對產品的把關與篩選越嚴苛；反之，加權信息熵指標值增大，說明系統的不確定程度越高，抽樣方案更為松弛；當n＜c時，方案無研究意義，加權信息熵指標值設定為0。仿真結果顯示，該指標系統符合抽樣方案的不確定性程度的變化規律。

圖7 加權信息熵仿真結果

當利用觀察OC 曲線族對比抽樣方案時，上述仿真的結果則呈現為：當樣本量n固定時，c的取值減小時，OC曲線傾斜程度越小，抽樣方案越嚴格；當c固定時，n的取值增大，OC曲線傾斜程度越小，抽樣方案越嚴格。此變化結果符合OC曲線的規律。那么上述一系列的仿真則可以表明，以加權信息熵為指標的抽樣特性曲線性能評價方法是可行且有效的。

將驗證可行后的新評價指標用于解決前文2.2 節中出現的學生仿真實驗未能解決的2 個抽樣方案選取問題時（收斂點設為0.3），運行以加權信息熵為指標的抽樣特性曲線性能評價仿真實驗的程序后有——方案1 的加權信息熵指標值為0.215 4；方案2 的加權信息熵指標值為0.275 7。結果見表1。

表1 實驗參數及權重信息熵值對比

權重信息熵指標值越小，證明系統的不確定性程度越低，系統越穩定。由此根據實驗結果則可判斷應選取方案1（50，15，5）作為抽樣方案。

3 結 語

本文面向以實際生產情況為背景進行教學實驗時所遇到的問題，提出了全新的抽樣特性曲線性能評價指標。經過一系列仿真，結果顯示以加權信息熵為指標的評價方法是正確且可行的。

加權信息熵評價指標在運用于抽樣特性曲線性能評價時，操作便捷，輸入抽樣方案的3 個參數即可輸出結果；直接對比待選抽樣方案的加權信息熵評價指標值的大小，即可快速對抽樣方案進行評價與選取；此方法可以不受依靠單參數變化，繪制OC曲線族進行比較的傳統研究方法的局限；實驗篩選出較好的抽樣方案，降低了抽樣檢驗的成本，質量檢驗工作得以優化；面對產品多樣化與定制化的生產趨勢，幫助檢驗人員針對不同產品特性及實際生產情況進行區別研究，達到更加精準科學評價抽樣特性曲線性能的效果。

對教學而言，相較于傳統的理論教學，以實際生產情況為背景的探究式學習，更能激發學生的學習熱情，知識點的詮釋也更為直觀與生動。此外，學生對問題的發現、研究與解決能力在過程中得以培養與提高，也為將來的研究與工作的創新奠定了良好的基礎。