小題大做 深度探索
——基于一道習題的挖掘談深度學習

浙江杭州市蕭山區北干小學（311200） 倪銀萍

深度學習是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創造性，又有合作精神、基礎扎實的優秀學習者，成為未來社會歷史實踐的主人。

習題是教學的重要資源，它不僅承載著練習鞏固、拓展應用的功能，還是啟迪思維、發展數學核心素養的重要載體。許多習題看似簡單，實則有著豐富的思維含量，教師要深入鉆研教材，深刻領悟編者的編寫意圖，有效開發和利用習題資源，從而讓習題的價值得到最大化的發揮。

基于以上思考，筆者以三年級下冊一道練習題為例，提出“小題大做、深度探索”的觀點，從教材、學生、習題三個方面進行思考和探索，旨在根據教學目標和教材特點，重構習題，引導學生深入挖掘習題的價值，培養學生的深度學習能力。

一、解讀教材——讓深度學習紙上開花

學生要對概念形成深層次的理解。這里的理解不僅僅是字面上的知道、了解、明白之意，它更強調一種深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗證、應用等更難、更復雜和更具綜合性的學習。

教師對教材理解的深度影響著課堂教學的深度，教師在設計練習題時必須深入研究教材，以求通聯：了解知識的來龍去脈，明白每個知識點所要傳遞的思想方法以及情感態度，理解每道習題要培養學生怎樣的能力。

例如，周長是指封閉圖形一周的長度。對此，教師要引導學生注意：不封閉的圖形沒有周長，封閉圖形一周的長度不包括里面的線段，一周的長度包括線段和曲線和長度。這些也是學生容易出錯的地方。教師要關注學生對知識的理解過程，預想學生容易出錯的地方，在恰當的時間進行提醒。其實像圖1 這類從一個大圖形中剪掉一個小圖形的習題，在三年級上冊“長方形和正方形的周長”課后練習中也曾出現過。

圖1

在圖1 這道練習題中，每組圖形是以左右兩個圖形同時呈現，讓學生比較左右兩個圖形的周長。這兩組圖都需要學生先描出兩個圖形的周長，在頭腦中將這兩個圖形進行重疊，找出不同的部分，再根據長方形對邊相等的特征去比較。圖（1）中，因為兩個圖形剛好是長與長、寬與寬分別相等，所以兩個圖形的周長相等。圖（2）中，因為右邊的圖形比左邊的圖形多了兩條線段，所以兩個圖形的周長不相等。由此可見，這兩幅圖需要學生在空間想象的基礎上實現圖形的比較。

這道題與人教版教材三年級下冊練習十五第10題（如圖2）有異曲同工之處。可以看出，圖2中，三個圖形均是以虛線的形式表示被剪掉的部分，這有助于學生還原本來的正方形紙，以及看清楚被剪掉的小長方形的形狀和特征。在這樣的虛線圖上，學生可以更清晰地找到相等的邊，并通過平移的方式，發現第一個圖形新增加的4 和6 兩條邊相當于被剪掉的兩條邊，剛好可以轉化成一個完整的正方形的周長；第二個圖形，6 這條邊平移上去后正好能夠拼成一個正方形，只是還多兩條4 的邊；第三個圖形則是平移4這條邊，拼成正方形，還多兩條6的邊。由此，求出這三個圖形的周長。

圖2

二、研讀學生——讓深度學習深入人心

學生是學習的主體，學生的年齡特征、已有的知識基礎、個性發展需求，是教學需要考慮的重要因素。要想真正讀懂學生，就需要直面學生的學習現狀，研究學生的實際學習需要。

1.關注學生興趣

數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握合適的數學學習方法。

在多次解決同類問題之后，學生對問題的新鮮感會下降，分析問題的敏感度也會下降，甚至會形成思維定式，并把這種思維定式用在后面遇到的問題中，即使問題的條件有所改變，學生也無法進行正確思考。由此可見，在練習中，教師也要給學生設置一些問題性情境，讓學生能跟著情境分析思考，保持思維的敏銳度，提高學生解決問題的興趣。

2.關注學生思維

小學生的思維處于具體形象階段，邏輯抽象思維和知識遷移能力不足。學生在學習周長后，明白封閉圖形一周的長度叫作周長，了解了長方形和正方形周長的計算方法。在此基礎上，教師應增加相應的變式練習，讓學生在比較辨析的過程中深入思考，真正理解概念的本質，同時培養學生的知識遷移能力，提升抽象思維能力。

學生對一般圖形的周長都能正確做出判斷和計算，但是對一些不是長方形或正方形的圖形的周長，比如像圖2 這類題，就會存在較多疑問。三年級學生對空間圖形本質的理解和概念的掌握存在一定的困難，對圖形的聯想和想象能力較弱，阻礙了他們對實際問題的解決和空間觀念的形成。

三、深挖習題——讓深度學習落地生根

學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。數學的學習不能僅僅通過機械記憶與簡單模仿來進行，教師要想培養學生深度學習數學的能力和習慣，深度教學必不可少。

數學學習的現實意義在于運用數學知識解決實際問題，因此，教師可以利用多樣化的練習促進學生的深度學習，引發學生進行深層次思考，激發學生的探究欲望，讓學生真正在理解中學習數學。

1.立足目標——活用教材

數學教學是以理解為基礎的教學，教師要深入研究、思考教材和教法。同時，教師在制訂教學目標時除關注要求達成的知識目標外，還要注重能力目標的設定。

例如，像圖2 求不規則圖形的周長這類問題，即便從三年級上冊學到三年級下冊，有的學生仍然不理解。筆者認為可能是學生對圖形的周長認知不到位，也可能是學生不會運用長方形和正方形邊的特征來解題。對此，筆者引導學生用筆描出這些變異圖形完整的周長，將之與常規圖形比較，看看是哪些地方變了，在變化處觀察周長有沒有變化。為了便于學生比較，教師可以把原來的圖形畫成方格圖（如圖3）。在方格圖中，由于每個格子邊長一樣，此時再來觀察原來的長方形或正方形就會發現，對應邊相等的特征會更加明顯。教師還可以給每一個方格標上序號（如圖3），以便后續操作。

圖3

這樣一個由12 個小正方形組成的長方形，不管剪掉幾個小正方形，比較剩下部分的周長都會更容易。

2.根據學情——整合教材

教師可以把如圖3 所示的方格圖進行拆分，得到12 個小正方形，讓學生擺成其他圖形，并思考：假設小正方形的邊長為1，怎樣擺周長最長？怎樣擺周長最短？學生的擺法如下。

第一種擺法：長12寬1（如圖4）

圖4

這個長方形的周長為（12+1）×2=26。

第二種擺法：長6寬2（如圖5）

圖5

這個長方形的周長為（6+2）×2=16。

第三種擺法：長4寬3（如圖6）

圖6

這個長方形的周長為（4+3）×2=14。

教材中也有類似的例題。例如，三年級上冊教材第86 頁的例題：“用16 張邊長是1 分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼才能使拼成的圖形周長最短？”在最后的回顧與反思中，小精靈問：“只有這三種拼法嗎？”

如果一定要拼成長方形或者正方形，根據16=16×1=8×2=4×4，確實只有三種拼法，但如果不要求拼成長方形或者正方形，就還可以拼出很多種組合圖形。就像三年級上冊教材第87 頁第4 題：“把18幅繪畫作品貼在一起，做一個‘繪畫園地’。要在‘繪畫園地’的四周貼上花邊。每幅作品都是正方形，邊長都是2 分米。怎樣設計‘繪畫園地’，才能使貼的花邊最少？”這道題目沒有像第86 頁的例題那樣要求拼成長方形或者正方形，因此學生的思維能有很大的發散空間。

學生通常對長方形和正方形的周長掌握得較好，對不規則圖形的周長掌握得不到位。那么，教師可以整合習題與例題，讓學生用12 個小正方形拼圖形。除前面三種拼法外，學生其他拼法如下。

①周長不變

在第一種拼法（如圖4）的基礎上，從第一行拿1 個小正方形放到第二行，圖形周長沒有變化，因為第12 個小正方形之前是與第11 個小正方形有1條邊重合，現在是跟第1個小正方形有1條邊重合。圖4 可以通過平移轉化成比11×1 的長方形多2 條邊的圖形（如圖7）。

圖7

周長為（11+1）×2+2=26。

②周長變短

如果再從第一行移1 個小正方形到第二行，會發現，第二行的第2 個小正方形與周圍的2 條邊重合，比之前的拼法少了2條邊。此時圖形可以通過平移轉化成比10×1的長方形多2條邊的圖形（如圖8）。

圖8

周長為（10+1）×2+2=24。

如果將3 個小正方形放到第二行，又會少2 條邊。以此類推，每從第一行移一個小正方形到第二行，周長都會少2，一直到兩行的小正方形數量相等（如圖9）。

圖9

如果第二行中的小正方形是分開不連續的，周長的變化情況就會更多（如圖10），也更能鍛煉學生對周長的分析思考能力。

圖10

教材是以靜態的文本、圖畫將知識展現出來，而數學反映的是客觀事物的發展變化規律，因此教師要采用各種手段來展現數學動態變化的過程，使學生感受其中的變化關系，從而達成教學目標。

3.適度延展——開發教材

教材只是課程資源的一部分，教師是課程資源的開發者，要想在課堂教學中真正體現以學生發展為本的教育理念，就要對教材進行二次開發，創造性地使用教材。

（1）優化教材

教師在教學中重新整合教學內容，通過聯系實際、化靜為動、提煉總結等策略，更好地組織和引導學生進行學習活動；創設問題情境，留給學生一定的思維空間；改善學習方式，多為學生提供參與數學實踐活動的機會。

例如，教師對圖3 這個方格圖進行二次開發：“可以去掉最外圈的哪個小正方形，使周長不變？”引導學生從變化中發現不變。教師可以先去掉一個小正方形，引導學生發現：這個長方形最外圈一共有10 個小正方形，如果去掉一個小正方形就一共有10 種方法；在這10 種方法中，周長不變的有4種（如圖11），去掉的都是長方形四個角上的小正方形。

圖11

另外6 種方法都會使周長變大，因為增加了2條邊（如圖12）。

圖12

學生仔細觀察這些去掉的小正方形的位置，就會發現它們都不是長方形四個角上的小正方形，此時周長會增加2條邊。

由此可見，如果接下來去掉的小正方形是前面4 種類型之一，那么不管去掉幾個，周長都不變；如果去掉的小正方形既有4 種類型里的，又有6 種類型里的，則圖形周長的變化情況就比較復雜，要根據實際情況討論；如果都是6 種類型里的，那么圖形的周長會變大。

（2）拓展教材

拓展延伸就是以教材習題為藍本，分析習題的知識結構鏈，在學生的認知范圍內，適度拓展習題的知識鏈，適度豐富習題內涵，合理拓展習題外延，有效發揮習題功能價值，拓寬學生的視野。教師要在深入鉆研教材和研究習題的基礎上，結合學情進行拓展創編。

例如，教師可以讓學生從變化的圖形中尋找不變的周長，或者從變化的圖形中尋找變化的周長，也可以讓學生探究“要使周長不變，最多可以去掉幾個小正方形”的問題。這些都是學生感興趣的內容，學生的探究欲望會被調動起來?！耙怪荛L不變，最多可以去掉幾個小正方形呢？”在這樣富有挑戰性的互動中，學生迫不及待地去尋找答案，最終他們可能會找到下面這些方法（如圖13）。

圖13

一眼看去，剩下的小正方形似乎雜亂無章，但如果按照橫行縱行的順序依次來看，就會發現其實每一橫行或者縱行都至少留下了一個小正方形，最后一個小正方形的作用在于連接邊與邊，所以最多可以去掉6 個小正方形。在嘗試操作的過程中，每操作一次就相當于算了一次組合圖形的周長，這樣經過多次的操作，學生就能加深對組合圖形周長的理解，提高計算能力。

縱向拓展延伸，就是在縱深上對習題進行開發與設計，目的是將同一習題（或同一類習題）深挖，拓寬學生視野。一個好的問題可以持續地引發學生的思考，促使其對原有的知識進行重組構建，這樣學生對知識的理解才會更深刻、更牢固。教師在平時的教學中積極對習題進行深加工和延伸拓展，并進行創造性的改編，衍生出一些新的問題和結論，將會大大提高教師理解和使用教材的能力，提升課堂教學的有效性，促進學生實現深度學習。期待深度學習可以從紙上開花到落地生根，再到開花結果，真正走入廣大師生的心中。