研史究本·重構推進：數學史重構式學習路徑的研究
——以“百分數的意義”一課為例

浙江杭州市臨平區星橋第一小學（311100） 付榮玲

浙江杭州市臨平區育才實驗映荷小學（311100） 李慶海

一、問題的提出

數學史與數學教育的關系，最明顯的呈現就是數學教材介紹了一些我國古代的數學成就，意在激發學生的民族自信以及對數學學習的興趣。諸多專家學者的研究成果證明數學史對數學教學有積極作用，引發了部分教師探索運用數學史的教學方式。比如，有的教師在課堂上用圖片或數學故事激發學生興趣。這種“附加式”的數學史進課堂，沒有把數學的歷史順序、知識的邏輯順序、學生的認知順序有機地整合在一起，沒有充分發揮數學史的作用。

布魯納認為，以理解為目的，兒童應該向學科專家一樣去學習。現在的學生對某些數學概念的認識與古代數學家的認識相似，在認識某些概念的過程中遇到的問題也與歷史上數學家探究時遇到的問題一致。因此，在數學教學中深入研究某些概念的數學史，依目標重構數學史，再現數學家式的研究，可以讓學生更好地學習數學、認識數學知識的本質。

二、數學史重構式學習的概念及路徑

數學史重構式學習是指依據數學知識的發展歷史，重構數學知識的發生、發展過程，設計相應的探究任務，使學生經歷數學知識的發展過程，體驗古人的思考過程，從而感受數學的魅力。

數學史重構式學習路徑如下。

1.挖掘內容主題背后的數學史

數學史重構式學習最難的是找到知識背后的數學史，挖掘內容主題背后的數學文化，找到與所學內容相關的數學知識發展脈絡、數學家的探索精神。

2.將數學史的價值融入教學目標

將數學史引入課堂，對教學內容進行重構，要對數學史的教育價值進行合理定位。教師要了解數學史，明確教學目標，設定的教學目標要體現數學核心素養的關鍵能力。

3.依據學習目標設計學習任務

數學史重構式學習需要將數學史的核心要素進行分析，依據《義務教育數學課程標準（2022 年版）》的評價目標，結合學習內容，設計核心學習任務，引導學生深度學習，參與數學史的探究活動，開啟數學家式的發現之旅。

4.實施深度教學，開展學習評價

數學史重構式學習，重構內容，滲透數學史，教師對學生的學習評價也要相應重構。學生走進傳統數學文化，了解數學史，嘗試用古人的方式解決問題，古今對照，感受數學史的魅力，從而體會所學內容的價值，更好地學習數學。

三、數學史重構式學習的探索

下面以“百分數的意義”一課為例，說明如何研究數學史，并將其融入教學內容，進行重構式教學，讓學生在了解數學知識發展歷史的同時進行深度學習。

1.研史究本，發掘百分數背后的數學史

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》將百分數的內容從“數與代數”板塊移到了“統計與概率”板塊。這一轉移，體現了百分數的發展是動態的，事實上，它表示的意義也是不斷變化的。

（1）百分數源于商業的需要

據《算術珍本》記載，公元前300 年的古印度商人以100 為基礎進行放貸，古羅馬商人用百分數來表示相對于100 的盈利與虧損。可見，當時的百分數只是作為參照數據。

（2）百分數成為一般概念

我國古代，人們進行糧食交易時用到了比例。如《九章算術》第二章《粟米》（原題略），這道題的解法“50∶30=10∶x”流傳到歐洲。文藝復興時期，有數學家發現，如果將“粟米與糲米”的比改為100∶60更好計算，因此產生了百分比。

（3）百分數被廣泛應用于統計領域

19 世紀初，為了方便對比，有著基準功能的百分數再次被數學家應用——用百分數表示部分與整體的關系，還出現了比“1”大的百分數（與分率、倍比相似）。百分數的統計功能被廣泛應用于商業。進入現代，百分數與大數據、決策緊密聯系，引發數學家對百分數在統計領域表示隨機性的價值產生新的思考。或許是基于這個原因，百分數的內容由“數與代數”板塊移到了“統計與概率”板塊。

教學中如何讓學生從數學史的角度來學習百分數呢？如果能重構學習內容，讓學生與百分數產生“同頻共振”，則能讓學生了解百分數的產生，感受到百分數的重要意義，體會到百分數產生的必然性及其獨特的價值。

2.三序融合，百分數歷史融入學習活動目標

美國數學家喬治·波利亞認為，只有看到數學的產生、按照數學發展的歷史順序或親自從事數學活動發現時，才能最好地理解數學。將數學史融入百分數的概念教學時，要將知識的歷史順序、知識間的邏輯順序、學生的認知順序融入“百分數的意義”這一主題教學。

（1）教材掃描：確定教學重點

小學階段，“百分數的意義”教學是在學生學習了“倍”“分數”“比”后進行的，分為“初步認識百分數”和“百分率（用百分數表示率）”兩個階段。

比較北師大版教材和人教版教材中的“百分數”單元（如圖1、圖2），發現：北師大版教材編排了“比較誰的命中率高”這一具體生活情境，學生在解決問題中發現，將多個異分母分數進行通分后再比大小較麻煩，由此想到把分數化為分母為100 后再比大小；人教版教材則是出示多個生活中的例子，讓學生基于已學過的分數的意義進行遷移、類比，理解百分數的含義，感受百分數的意義。兩個版本的教材都比較注重百分數的統計意義，其中，北師大版教材中的情境體現了《義務教育數學課程標準（2022年版）》提倡的百分數“隨機性”的統計意義。

圖1 北師大版教材的相關內容

圖2 人教版教材的相關內容

（2）學情掃描：找準學習起點

為了解學生的學習起點，筆者結合百分數的數學史，設計了5 道與百分數知識相關的前測題（如圖3），讓90名學生完成。

圖3 前測題

前測結束后，筆者對學生的完成情況進行分析。

問題1，大部分學生在生活中見過百分數，并能舉出正確的例子。

問題2，100%的學生能讀寫百分數，83.3%的學生能說出百分數表示的意思，這說明他們對百分數與分數的關系掌握得較好。

問題3，表示方法有三種：格子圖、線段圖、文字說明。學生畫格子圖時，均是用涂了100 格中的80 格來表示80%；小部分學生用線段圖表示80%；文字舉例的情況與問題1的相似。

問題4，83.3%的學生不能聯想到比1大的百分數，這說明“比1 大的百分數”的意義對學生來說有一定的難度。

問題5，學生的回答各不相同，體現了學生對新概念的好奇，好奇心為學生探索新的概念打開了一扇窗。

通過前測可以知道，學生對于百分數的讀寫有一些經驗，教學時要突出百分數的關系的表達，特別是大于1 的百分數的意義，同時還要按照《義務教育數學課程標準（2022 年版）》的要求設計一些表示隨機關系的情境。

（3）教法掃描：理順教學脈絡

筆者在維普期刊網查閱了關于百分數教學課例的文章共26 篇，文章中的教學案例多是設計以下四個環節。

環節一：聯系生活實際，尋找生活中的百分數。

環節二：遷移分數經驗，解釋生活中的百分數。

環節三：辨析概念意義，溝通百分數與分數的關聯。

環節四：應用新學概念，內化百分數的意義（例子里有統計素材，體現百分數的統計意義）。

26 篇文章中的教學案例以百分數的傳統意義為主，即百分數表示一個數是另一個數的百分之幾。

結合上述分析，筆者將數學史融入百分數的重構式學習目標確定為：

目標1：能在數學史的情境中經歷百分數的演變過程，認識并會讀寫百分數，體會百分數產生的必要性；

目標2：了解百分數與日常生活的密切聯系，在整理、分析數據并做出判斷的過程中，初步感悟數據的隨機性，逐步形成數據意識，在應用中理解百分數的統計意義；

目標3：了解不同時代的人對百分數的發展做出的貢獻，讀懂百分數的數學史，感受數學的魅力。

3.單元統整，重構數學史學習路徑

丹麥學者Jank vist 將數學史的教育價值分為兩類——工具和目標，前者把數學史當作數學學習的認知工具，后者把數學史看成數學的一部分。教學時，可將單元作為基本單位，融入數學史，進行單元整合重構設計，發揮數學史的工具和目標的價值。

（1）梳理所教內容的主題歷史

目前教材缺乏配套的數學史料，需要教師自己梳理。梳理有兩個角度：一是以時間為序梳理專題知識脈絡，比如，百分數經歷了商業活動中以100為基礎的標準、作為數量比較的百分比、作為統計量的不同階段；二是展現知識的發生、發展過程，比如，百分數與分數一脈相承，因其便于比較而在生活中應用很廣。教師要梳理出所教內容的歷史，幫助學生理解百分數的本質、發展過程等。

（2）整理知識發展的要素

數學史融入小學數學教學的目的不是還原數學史，而是發揮學習主題的價值。可先從歷史上數學家遇到的困難、處理困難和解決困難的歷程出發，再從數學知識和認知障礙兩個方面著手，找出關于百分數的要素。比如，在“百分數的意義”這一主題里，至少有下面幾個要素：一是100 作為基礎的比較標準；二是百分數的產生及百分號的由來；三是百分數表示兩個量之間的關系；四是百分數表示確定數量與不確定數量之間的關系。

（3）從單元視角設計學習活動

單元整體設計是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》提出的要求，也是數學史融入數學教學的應然選擇。首先要制作教材單元知識地圖，根據課標目標、評價目標將單元知識進行整合，依據單元內容設計相應的學習任務。人教版教材的“百分數”單元設計了“百分數的認識”“百分率”“問題解決”等課時，目標是“結合具體情境，理解百分數的意義；進行小數、分數和百分數的轉化；解決簡單的實際問題”。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》則在此基礎上提出“感受百分數的統計意義”“形成數據意識”。因此，從單元視角明確教學目標，將該單元設計為數學史視角下的百分數、生活中的百分率（合格率、成活率等）、用百分數解決問題等，讓學生理解百分數的統計意義。

“百分數的意義”這節課融入了數學史，可設計下面幾個學習任務。

①重構歷史，將100 作為比較標準：古巴比倫的一個商人需要借一筆錢，在哪一家公司借錢更劃算？（把本金都換算成100，方便比較）

②再現歷史，了解百分號的產生歷程和百分號的演化過程（如圖4）。

圖4 百分號的演化

③鏈接經驗，多元表征百分數的本質意義。請學生畫圖表示80%后再分析比較，在比較兩個量之間的關系中理解百分數大于1的情況。

④應用概念，感悟百分數在做判斷、做決策時的價值。基于“網店的好評率”，讓學生選擇在哪一家網店購物，從而感悟百分數的獨特價值。

上述幾個環節在操作時是非線性的，如果發現偏差則需要修改和調整，以達到預設目標。教學設計及實施流程如圖5所示。

圖5 單元視角下數學史重構的學習設計流程圖

4.設計量表，科學開展數學史融入教學的評價

數學史與數學教學理論指導下的課堂教學，需要重點關注學生的學習情況。

（1）立體研讀課標，明確評價標準

教師首先要閱讀《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中與百分數相關的“學習內容、學業要求、教學提示”三個部分及案例，理解目標要求，明確評價標準。“百分數的認識”這節課的學習目標與學業表現見表1。

表1 “百分數的認識”學習目標與學業表現

（2）擬定評估量表，規范教學評價

依據學習目標與學業表現，“百分數的認識”這節課的學習結果表現為知道百分數是兩個數的關系，了解百分數對隨機數據的刻畫與表達，初步應用百分數做判斷與預測。對此，教師可利用評估內容（如圖6）和評估標準（見表2），對學生的學習效果進行評價，以此了解學生對知識的掌握情況。

表2 評估標準

圖6 評估內容

目前，《義務教育數學課程標準（2022 年版）》高度關注“數學文化”，已經引發了很多教師對數學史融入教學的研究。“百分數的認識”這一課例告訴我們，小學數學教學中運用數學史重構教學應遵循數學知識的發展，充分挖掘數學史背后的價值，融合知識順序、歷史順序、學習順序，將數學知識的發生、發展融入學習目標，按照單元視角進行統整，設計重構數學史的學習路徑，依據“教學評一體化”的要求制訂評價標準，從而真正發揮數學史的作用，讓學生感受數學的魅力，提高學生的數學素養，促進學生數學思維的發展。