數學文化融入試題的路徑

浙江省象山縣第二中學 (315731) 林 琪

《普通高中數學課程標準(2020年修訂)》,明確指出數學文化應融入數學教學活動,在教學活動中,教師應有意識地結合相應的教學內容,將數學文化滲透在日常教學中,引導學生了解數學的發展歷程,認識數學在科學技術、社會發展中的作用.根據數學文化試題背景與數學知識的關聯程度,將試題中數學文化的融入方式分為復制式、順應式和重構式三大類.縱觀近年高考,可以發現,數學文化類試題比重逐漸增加,而且每年的高考文化題都充滿“數學味”.因此教師應在平時的教學中讓學生逐步接觸文化類試題,并掌握命題思路.本文以數列為例,論述數學文化融入試題中的路徑.

例1 (2022屆云南師大附中適應性考試)《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數學著作,書中第三章“衰分”有如下問題:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共出百錢.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次變低)5個人共出100錢,按照爵位從高到低每人所出錢數成遞增等差數列,這5個人各出多少錢?”在這個問題中,若不更出17錢,則公士出的錢數為( ).

A.10 B.14 C.23 D.26

解析：設大夫、不更、簪裹、上造、公士所出錢數構成遞增等差數列{an},公差為d,由題意可知a2=17,S5=5a3=100,∴a3=20,d=a3-a2=3,所以公士出的錢數為a5=a2+3d=26.故選D.

評注：本題以古代數學名著《九章算術》中提出的問題為背景,考查了等差數列基本量的關系式,本題注重考查考生的閱讀理解、提取信息、數學建模以及通過計算解決問題的能力,屬于基礎題.

筆者仿照例1,選取等比數列求某項為知識點,尋找素材,以“畢達哥拉斯樹”為背景,嘗試命題如下:

例2 畢達哥拉斯樹是據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形,如圖1所示.因為形狀好似一棵樹,被稱為畢達哥拉斯樹,也叫“勾股樹”.畢達哥拉斯樹以如下方式生長:以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊,向外作等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形,得到2個新的小正方形,實現了一次生長;再將這兩個小正方形各按照上述方式生長,如此重復下去.則經過10次生長,可形成新小正方形個數為( ).

圖1

A.128 B.256 C.1024 D.2048

解析：由題意得an+1=2an且a1=2,所以,數列{an}為等比數列,且該數列的首項和公比均為2,因此,an=2n,因此,則經過10次生長,可形成an=210=1024個新小正方形.故選C.

評注：復制式命制試題往往難度較低,前半部分一般都是以論述的形式,給出背景,對之后的解題影響不大,學生很容易找到數學本質,進行求解.

例3(2022長沙市模擬,多選題)對于正整數n,φ(n)是小于或等于n的正整數中與n互質的數的數目.函數φ(n)以其首名研究者歐拉命名,稱為歐拉函數,例如φ(9)=6(1,2,4,5,7,8與9互質),則( ).

A. 若n為質數,則φ(n)=n-1

B.數列{φ(n)}單調遞增

D.數列{φ(3n)}為等比數列

評注：本題以數學文化“歐拉函數”為背景,考查數列的通項及求和、判斷數列的單調性、等比數列的判斷方法等,考查考生的運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.且此題為多選題,考察學生考慮問題的全面性和周全性,選項的設置更是引導考生由淺入深考慮問題.另外,多選題考察的知識點更多,更難,學生不易得全分,這也體現了數學的選拔功能.

筆者仿照例3,選取“冰雹猜想”為背景,考察學生對分段數列求值問題,嘗試命題如下:

例4 任取一個正整數,若是奇數,就將該數乘3再加上1;若是偶數,就將該數除以2,反復進行上述兩種運算,經過有限次步驟后,必進入循環圈1→4→2→1.這就是數學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”),若取正整數m=5,根據上述運算法則得出5→16→8→4→2→1共需經過5個步驟變成1(簡稱為5步“雹程”)則( ).

A.若m=17,則需要12步“雹程”.

C.若對于正整數m,共需8個步驟變成1,則滿足條件的所有m構成的集合為{20,128}.

D.存在連續的兩個正整數m1,m2,使得兩者的“雹程”一樣.

解析：對于A,若m=17,則上述運算法則得出17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共需經過12個步驟變成1.對于B,根據題意,顯然正確.對于C,可采用逆向思維,所有m構成的集合為{128,21,20,3},如圖2.

圖2

對于D,由C可知存在連續的兩個正整數,m1=20,m2=21使得兩者的“雹程”都是8.因此選ABD.

評注：順應式命制試題往往難度中等,是某一知識點的性質和應用,往往既考察知識點,也考察建模能力,往往比較靈活,學生也容易失分.

例5 (2020·臨沂三模)意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2),(n≥3,n∈N+),此數列在現代物理、化學等方面都有著廣泛的應用.若此數列被2除后的余數構成一個新數列{an},則數列{an}的前2019項的和為( ).

A.672 B.673 C.1346 D.2019

評注：本題以“斐波那契”數列為背景,考察周期函數求和.考察學生閱讀理解、數學模型能力,學生需要脫去背景,找到實質是利用斐波那契數列的各項除以2的余數特征,得出新數列的周期性,進而求出結果.屬于中檔題.另外,此題以著名的“斐波那契”數列為背景,增強了學生對數學史的理解,擴寬了學生的眼界.

筆者仿照例5,在斐波那契數列的基礎上加以延伸,以“黃金螺線”為背景,結合扇形的弧長公式,嘗試命題如下:

圖3

共有7個扇形組成,則整個黃金螺線長度為.

評注：重構式命制試題往往難度較高,是某一知識點或者方法的遷移,常涉及多個知識點,能較好考察學生閱讀理解能力、建模能力.

綜上分析可見,文化類試題更多考察到學生的閱讀理解能力,無論那種命題方式,都應該學會脫去背景,尋找文化背景后的數學考點.教師應在日常教學中經常滲透此類題,讓學生更好的經歷數學歷程、理解數學知識、感受數學思維、體會數學精神.同時,亦可引導學生關注我國社會的進步與發展,增強民族自豪感,增強愛國情懷,培育和踐行社會主義核心價值觀,實現數學“以德樹人”的教育宗旨.