基于“問題鏈”情境下的習題教學

安徽省碭山中學 (235300) 蓋傳敏 宋永清

在復習備考中,除了復習梳理知識點外,習題教學是必不可少的一個重要環節.在以往的習題教學中,都是老師拼命地講,學生努力地聽,師生彼此陷入了“教師擔心講不到位,學生擔心練不全面”的焦慮之中.如何真正地讓師生從題海中走出來,實現雙減的目標,是筆者一直在思考的問題.在近期的課堂教學中,筆者通過嘗試設置適當的問題鏈,在問題鏈的引領下進行教學,可指導學生進行深度學習.本文結合教學中的典型習題談談基于“問題鏈”情境下如何進行有效教學.

一、通過設置啟發式問題鏈確定解題方法

在習題教學中,當學生遇到解題障礙時,我們教師不應急于給出正確的解題答案,而應從宏觀的角度給學生指明解題方向,可通過設置啟發式問題鏈喚醒學生的已有認知,引導學生確定解題方法,明確解題方向.

例1 (2022年新高考全國Ⅱ卷12題,多選題)對任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析：該題是有關二元變量的取值范圍問題,融基礎性、綜合性和創新性于一體,解法靈活多樣,是很好的一道練習題,可同學們卻在求解時四處碰壁,不知所措,下面通過設置啟啟發誘導形式的問題鏈引導學生從三個不同的角度進行求解.

問題1 能否利用不等式性質建立選項與題設條件之間的聯系?

點評：運用不等式性質求解的關鍵是將已知條件進行適當的配湊,建立已知與未知之間的聯系.

問題2 能否將雙變量問題轉化為單變量問題?

分析：直接消參無從入手,能否利用換元法將雙變量轉化為單變量?

問題3 能否挖掘出該題的幾何背景,利用幾何意義進行求解.

點評：此解法的關鍵是通過換元把已知條件轉化為橢圓標準方程形式,進而借助幾何意義求解,方法快捷有效.

二、設置遞進式問題鏈厘清解題思路

在習題教學中,對于一些難度較大的試題,學生一時很難厘清解題思路,即使聽老師講解也很費力.這時若能根據學生的認知水平,把復雜問題進行分解,通過環環相扣遞進式地設置問題鏈,循序漸進地幫助學生消除思維障礙,這樣學生接受起來較為輕松,同時可消除學生學習數學的畏難心理,增強學生學習數學的信心.

例2 (2020課標Ⅰ理11題)如圖1,已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線1:2x+y+2=0,P為l上的動點.過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為( ).

圖1

A.2x-y-1=0

B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0

D.2x+y+1=0

分析：該題作為高考壓軸題,綜合性強,難度大,學生一時找不到正確的解題思路,但認真思考后會發現,該題可分解成若干個小問題進行求解,通過設置遞進式問題鏈的形式將“大事化小,小事化了”.

問題1|PM|·|AB|的幾何意義?

綜上所述，本施工方案在工期上節省了每道工序的超前管棚施工時間和吊罐出渣時開挖等待時間；在投資上節省了管棚鋼管材料費，且減少了門機、吊罐、門機操作人員、人工開挖人員等的投入；在安全方面，減少了吊裝設備、鋼絲繩等危險源，避免了安全事故的發生。

問題2 如何求解四邊形PAMB的面積SPAMB?

分析：四邊形PAMB是一個不規則的四邊形,在求解四邊形PAMB的面積時,不妨采用分割法,即SPAMB=S△PAM+S△PBM.又因為△PBM?△PAM,所以S△PAM=2S△PAM.

問題3 如何求S△PAM面積的最小值?

問題4 過點P(-1,0)作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B,如何求直線AB的方程?

方法二：(利用同構求解)設A(x1,y1)B(x2,y2),則⊙M在點A處的切線方程為(y-y1)(y1-1)+(x1-1)(x-x1)=0,因為切線過點P(-1,0),將點P(-1,0)代入可得2x1+y1+1=0①,同理可得2x2+y2+1=0②,由①②可得直線AB的方程為2x+y+1=0.

三、設置發散式問題鏈拓展學生思維

例3 (2018年全國Ⅰ卷文20題)設拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.(1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;(2)證明:∠ABM=∠ABN.

分析：本題難度適中,大部分同學能很快得到正確答案.在課堂教學中,如果就題論題,簡單幫助學生厘清思路,給出答案,那就顯得操之過急了.這時如果能夠通過問題鏈的形式將該題進行發散延伸,不僅可幫助同學們理解問題本質,還能促進學生思維的深層發展.類比發現新的問題.

問題3 已知拋物線y2=2px(p>0)上兩點A,B(不關于x軸對稱),點N(-m,0)(m>0),若∠ANO=∠BNO,證明:直線AB恒過定點M(m,0).

結束語問題是數學的心臟,不論是新課講授還是習題教學,我們都可通過設置問題鏈的形式培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.通過問題鏈教學還能激發學生的內驅力,引導學生從“想學”到“學會”,再到“會學”的跨越.除此之外,作為一線教師我們要不斷地探索和創新教學模式,通過我們的努力,讓學生會學數學、熱愛數學,同時感悟數學的科學價值與應用價值.