一道自主招生試題的簡證及變式
2023-08-26 03:43:00湖南省桃江縣第一中學413400胡芳舉
中學數(shù)學研究(江西) 2023年9期
湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉
該題是一道自主招生試題形式優(yōu)美,但證明較難,搜遍全網(wǎng),只找到了一個解答(這個解答非常繁瑣,見文[1]),本文將給出這個不等式的一個簡證以及幾個變式.
一、簡證
要證原不等式,等價于證9∑cosA≤2∑sin2A+9=∑(1-cos2A)+9=12-∑cos2A?
二、變式
變式3 設ΔABC的內切圓半徑為r,外接圓半徑為R,三邊長分別為a,b,c,則∑a2≥18Rr.
注：由正弦定理及變式2可得.
變式4 設ΔABC的內切圓半徑為r,外接圓半徑為R,外心與重心的距離為d,則R2-2Rr≥d2.
圖1
變式5 已知正實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2+2xyz=1,則9(x+y+z)-4xyz≤13.
