關(guān)于一道向量試題的變式探究

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) (528303) 馬崇元

平面向量兼具代數(shù)與幾何的信息,所以在求解時(shí)可分別從數(shù)與形的角度思考.因?yàn)橄蛄康某橄笮?學(xué)生在面對(duì)向量問(wèn)題時(shí)常常無(wú)法發(fā)現(xiàn)解題的突破口.特別是當(dāng)向量與其他知識(shí)相融合時(shí),該現(xiàn)象更加明顯.筆者以一道向量模擬試題為例,研究其解題過(guò)程,分析其命制方式,并據(jù)此構(gòu)造出多個(gè)變式供讀者參考.

一、題目及分析

二、解法呈現(xiàn)

圖1

反思：該解法的核心突破口在于研究了點(diǎn)M的軌跡,如何想到研究該點(diǎn)的軌跡則顯得較為突兀.為了自然的聯(lián)想到該結(jié)論,其本質(zhì)在于對(duì)三角形中線公式的理解.

現(xiàn)利用該結(jié)論研究原問(wèn)題,可得如下的解法:

圖2

三、變式探究

原問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)換為以圓為背景的最值問(wèn)題,我們可從這一方向,設(shè)計(jì)出如下的變式供大家練習(xí).

答案：上述兩個(gè)變式的答案同變式1.

在上述解答中,原問(wèn)題在于探究AB中點(diǎn)E的軌跡,我們還可考慮通過(guò)構(gòu)造AB的三等點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)變式.在構(gòu)造之前,我們先研究一下三等分線的相關(guān)公式.

類比上文中變式1-變式4的構(gòu)造方法,也可將變式5進(jìn)行相應(yīng)的改編.在變式5中,筆者構(gòu)造了三等分點(diǎn)的命題方式,我們也可命制出其他等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的試題.