重視數(shù)學探究活動 發(fā)展學生核心素養(yǎng)*
——以“探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例

姜尚鵬

數(shù)學探究是指圍繞某個具體的數(shù)學問題的活動，學生開展自主探究、合作研究并最終解決問題，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論。數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容。

一、教學過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，抽象函數(shù)

我校科技館要制作一個占地32m2的圍欄保護孔子像。如下頁圖1 所示，設(shè)圍欄的邊長AD為xm，因場地限制要求AD不超過3m，圍欄總長為ym。你能幫忙設(shè)計圍欄的長和寬，使圍欄用料最省嗎？

（圖1）

學生自主構(gòu)建函數(shù)模型，尋找求解最值的方法，教師引導學生進一步研究函數(shù)的單調(diào)性，并引導學生將函數(shù)一般化，擴充研究范圍，拋出研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

【設(shè)計意圖】借助實際生活情境，讓學生構(gòu)建相應函數(shù)模型，發(fā)展學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模核心素養(yǎng)。由于基本不等式解決不了問題，產(chǎn)生思維沖突，激發(fā)學生思考需要進一步研究一個新函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

2.復習舊知，回憶經(jīng)驗

3.研制策略，優(yōu)化方案

問題1：類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應該按照怎樣的思路研究函數(shù)（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)？

生：先對a，b進行討論，可以分成（a＞0，b＞0）、（a＞0，b＜0）、（a＜0，b＜0）、（a＜0，b＞0）四類函數(shù)。

師：需要對這四類函數(shù)一一進行討論嗎？

生：第三類和第四類函數(shù)的圖象可以通過將第一類和第二類函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱得到，所以只需要研究第一類和第二類函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可。

【設(shè)計意圖】教師讓學生自主分析函數(shù)y=的圖象與性質(zhì)的研究思路，體現(xiàn)了先整體架構(gòu)研究框架，再逐個擊破的研究方法，能夠培養(yǎng)學生邏輯推理等核心素養(yǎng)。

4.小組合作，感悟路徑

問題2：每個小組選擇一類函數(shù)，你們能給出幾種研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的路徑？

小組代表1：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+，研究路徑是從圖象到性質(zhì)。不妨令a=1，研究b對函數(shù)圖象的影響。借助GeoGebra 軟件，可以發(fā)現(xiàn)b影響了函數(shù)在x∈（0，+∞）上圖象的最低點和x∈（-∞，0）上圖象的最高點。（見圖2）同理可以得到a影響了函數(shù)圖象的開口，也就是漸近線，最后我們可以觀察函數(shù)的圖象得到它的性質(zhì)。（見圖3）

（圖2）

（圖3）

師：你能用總結(jié)的性質(zhì)解決“圍欄”問題嗎？

師：還有其他的研究路徑嗎？

小組代表2：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+，研究路徑是從性質(zhì)到圖象。首先研究函數(shù)的定義域，易得。接 下 來研究奇偶性，由奇偶性的定義易證這是一個奇函數(shù)。再研究它的單調(diào)性，我們借助基本不等式可以得到這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為并可得函數(shù)的值域為。接下來研究漸近線，當x→0 時ax→0，函數(shù)趨向于，所以一條漸近線是y軸，當x→+∞時，函數(shù)趨向于y=ax，所以另一條漸近線為y=ax。最后通過性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，并借助GeoGebra軟件作圖驗證。

小組代表3：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+，研究路徑是從圖象到性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)它是由我們熟悉的函數(shù)y=ax和相加得到的，所以我們先借助GeoGebra 軟件作出y=x和的圖象，在x軸上取一點，過這點作垂直于x軸的直線，與y=x和的圖象分別交于一點，再通過軟件的平移功能，得到剛才兩個交點縱坐標和對應的點，移動垂線，得到該點的軌跡就是所求函數(shù)圖象。通過觀察容易發(fā)現(xiàn)，它的定義域，在（-∞，0），（0，+∞）上分別單調(diào)遞增，關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)，值域為R。下面我們固定a=1，改變b的值，發(fā)現(xiàn)圖象對應的性質(zhì)未發(fā)生改變。我們又固定b=-1，改變a的值，發(fā)現(xiàn)漸近線一直隨著變化，也就是說a影響了函數(shù)圖象的漸近線。

小組代表4：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+，研究路徑是從性質(zhì)到圖象：先研究兩個熟悉函數(shù)y=ax和的性質(zhì)，合成y=的性質(zhì)。比如，y=ax是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，其他性質(zhì)也可以同理推出，最后再畫出函數(shù)的圖象，并通過GeoGebra軟件作圖驗證。

師：這樣我們就得到了兩類函數(shù)的圖象與性質(zhì)，他們分別叫“對號函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”。（見圖4，圖5）同時我們還得到多種研究路徑：一是把函數(shù)看成一個整體，然后既可以從“形”出發(fā)，由圖象研究性質(zhì)，也可以從“數(shù)”出發(fā)，由性質(zhì)研究圖象。二是分解函數(shù)，把函數(shù)看成兩個函數(shù)經(jīng)過運算得到的，同樣既可以從“形”出發(fā)，由兩個函數(shù)的圖象合成研究一個函數(shù)的圖象，進而通過圖象研究性質(zhì)，也可以從“數(shù)”出發(fā)，由兩個函數(shù)的性質(zhì)合成研究一個函數(shù)的性質(zhì)，進而通過性質(zhì)研究圖象。

（圖4）

（圖5）

【設(shè)計意圖】通過讓學生分組研究，避免了同時研究兩類相似的函數(shù)而浪費時間。此外，小組合作還培養(yǎng)了學生的交流合作能力。教師收集每個小組的研究路徑，進行匯總和結(jié)構(gòu)化梳理，引導學生梳理研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法，有利于學生的數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

5.獨立思考，內(nèi)化路徑

問題3：通過今天的學習，你認為還能研究哪些函數(shù)的圖象與性質(zhì)？給出函數(shù)并嘗試研究它的圖象與性質(zhì)。（開放題）

學生先獨立思考，之后通過小組合作，討論交流選擇函數(shù)，并借助GeoGebra 軟件研究它的圖象與性質(zhì)。筆者收集學生研究的函數(shù)類型有（a≠0，b≠0），y=a｜x｜+ax2（a＞0），y=2x2sinx等。

對于函數(shù)y=a∣x∣+ax2（a＞0）的圖象與性質(zhì)，展示小組是先從整體研究性質(zhì)再畫圖象的路徑進行的研究，因為學生發(fā)現(xiàn)從代數(shù)角度很容易研究這個解析式的性質(zhì)，并且由于兩個部分有同一個參數(shù)a，不適合分解研究。

對于函數(shù)y=2x2sinx的圖象與性質(zhì)，教師引導學生不僅可以研究由基本初等函數(shù)加減得到的函數(shù)，也可以是乘除得到的函數(shù)。當然，學生還給出了很多其他的函數(shù)類型，由于時間關(guān)系，課堂上沒有一一展示。

【設(shè)計意圖】對于本節(jié)課研究的函數(shù)y=ax+的圖象與性質(zhì)知識層面的鞏固放到課后，研究路徑的鞏固放到課上。通過開放式問題激發(fā)學生思考，讓學生自己構(gòu)造研究的函數(shù)。借助小組代表展示，教師了解學生構(gòu)造的函數(shù)以及研究思路，并及時進行挑選和梳理，與學生一起分析如何根據(jù)函數(shù)解析式的特征挑選合適的研究路徑，并將研究的函數(shù)的類型的范圍進行推廣，可以是含有兩個參數(shù)的函數(shù)，也可以是含有同一個參數(shù)兩次的函數(shù)，還可以是沒有參數(shù)但變成兩個基本初等函數(shù)乘除的函數(shù)。這樣，學生既鞏固了新知，又在新知學習的基礎(chǔ)上拓寬了思維與視野，數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。

二、教學思考

1.數(shù)學探究活動內(nèi)容選擇要恰當

2.數(shù)學探究活動應合理使用信息技術(shù)

教材中信息技術(shù)與數(shù)學內(nèi)容的融合情況既影響教師的教也影響學生的學。［1］描點作圖法適合學生剛學習某個函數(shù)時應用。當學生有了一定的知識儲備后，要對函數(shù)進行深度探究時，GeoGebra 軟件是非常方便的。一是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)作圖的功能。可以迅速作出函數(shù)的圖象，方便學生根據(jù)圖象猜測性質(zhì)，進而通過代數(shù)方法說明。二是GeoGebra 軟件具有呈現(xiàn)動態(tài)軌跡的功能。學生描點作出的函數(shù)圖象畢竟是有限的且靜止的，但是通過GeoGebra 軟件調(diào)動參數(shù)的變化，跟蹤函數(shù)圖象軌跡可以讓學生看到若干函數(shù)圖象的變化趨勢，從而總結(jié)性質(zhì)，加深對知識的理解。三是GeoGebra 軟件操作與數(shù)學知識的融合功能。學生在研究y=ax+的圖象與性質(zhì)時，分解成y=ax（a＞0）和的圖象，之后借助GeoGebra 軟件作圖的平移功能，通過跟蹤軌跡得到（a＞0，b＜0）的圖象，這樣的作圖需要學生深刻理解數(shù)學知識才能畫出函數(shù)的圖象。這樣得到的函數(shù)圖象比直接輸入函數(shù)解析式得到圖象更加形象，也更能鍛煉學生的數(shù)學實踐能力。

3.數(shù)學探究活動要“收放有度”