小周期結構磁-力-電耦合問題的高階雙尺度漸近分析

劉宇銘,馮永平

(廣州大學 數學與信息科學學院,廣東 廣州 510006)

0 引 言

磁-力-電耦合行為普遍存在于壓磁材料、壓電材料以及人工智能材料中,在多物理場作用下,新材料就會表現出復合材料特有的磁-力-電耦合效應。這些磁-力-電耦合材料已經在航天、人工智能等領域中得到了廣泛的應用。早期已有很多學者對相關材料屬性進行了研究,Suchtelen[1]研究發現壓磁與壓電復合材料中會產生磁電耦合行為;Qing等[2]得到了三維磁-力-電耦合問題的Hellinger-Reissner變分原理;Lee[3]和He[4]先后分別構造了一些不同的泛函變分描述熱-磁-力-電耦合行為。對于求解耦合問題的解中,Pan等[5-6]、Jiang等[7]得到了多層功能梯度矩形板和含二維多邊形夾雜的各向異性磁-電耦合的解析解。磁-力-電復合材料在宏觀結構上有非絕對均勻性,對磁-力-電耦合問題進行多尺度分析具有重要的理論意義及應用前景。本文將用高階雙尺度方法分析滿足第一類邊界條件的小周期結構中磁-力-電耦合問題的漸近行為及均勻化行為。

現在,用雙尺度方法解決耦合問題已經越來越廣泛。文獻[8]中用新型的高階多尺度漸近法分析了具有周期孔洞結構的復合材料問題,給出相應的均勻化方程和均勻化常數以及有限元算法;文獻[9]中對復合材料用有限元方法進行數值計算時計算量龐大,在已有的雙尺度分析與有限元分析的基礎上,給出了構建邊界層和周期單胞的雙尺度有限元計算方法;文獻[10]構建了新型雙尺度有限元方法,利用匹配邊界層分析,得到位移和電勢的相互耦合關系,最后分析其雙尺度有限元解的漸近估計誤差,并通過數值計算檢驗其方法的有效性;文獻[11]在構造的邊界層上,運用多尺度有限元方法解決復合材料中具有周期震蕩系數的熱傳導問題,并給出其多尺度截斷誤差估計,且用三維數值案例驗證其算法的正確性與有效性;文獻[12]通過構造帶有周期阻尼結構耦合問題的L-階雙尺度漸近解,運用雙尺度展開方法求解,最后得到其L-階雙尺度有限元解的漸近誤差估計。

數學上,第一類邊界條件下小周期性區域中的磁-力-電耦合問題可用以下偏微分方程組的邊值問題來表述[13]:

(1)

其中:

(ⅱ)Ω是有界的小周期閉區域且滿足Lipschitz邊界條件;

cijkl(ξ)是有界可測函數

其中,{η}為任意實對稱矩陣,γ1,γ2是與ε無關且大于 0 的常數。

類似地,κil(ξ)是有界可測函數:

其中,{ρ}為任意實對稱向量,λ1,λ2是與ε無關且大于 0 的常數。

考慮如下偏微分方程組:

(2)

其中,Fj(ξ),Uj(ξ),j=0,1,2,…,是關于ξ為1-周期的向量函數或標量函數,且Fj(ξ),Uj(ξ),∈L2(Q),W=(W1,W2,…,Wn)T,Q為小周期單胞。

1 uε(x),ψε(x),φε(x)雙尺度形式漸近展開式

假設uε(x),ψε(x),φε(x)具有如下的漸近展開形式:

(3)

(4)

(5)

其中,Mα(ξ),Nα(ξ),Pα(ξ),Eα(ξ),Rα(ξ),Sα(ξ),Tα(ξ),Fα(ξ),Gα(ξ)為周期單胞Q上待定的周期單胞函數;Mα(ξ)為待定的函數矩陣;Nα(ξ),Pα(ξ),Eα(ξ),Rα(ξ)為待定的向量函數;Sα(ξ),Tα(ξ),Fα(ξ),Gα(ξ)為待定的標量函數;u0(x),ψ0(x),φ0(x)為待定的均勻化解。

將方程(3)、(4)、(5)代入方程組(1)并通過整理合并,對比等式兩端ε-1同次冪的系數,可得到以下求解待定單胞函數組的3個方程組:

(6)

(7)

(8)

對比等式兩端ε0同次冪的系數,并在Q上作關于ξ積分,得到以下形式等式:

fi(x), inΩ;

inΩ;

inΩ。

由以上3式,問題(1)的均勻化解組(u0(x),ψ0(x),φ0(x))可由以下均勻化方程組定解:

(9)

(10-1)

(10-2)

(10-3)

(10-4)

(10-5)

(10-6)

而(Mα1α2m,Eα1α2m,Rα1α2m),(Nα1α2,Fα1α2,Sα1α2),(Pα1α2,Gα1α2,Tα1α2),可分別在Q上由以下方程組定解。

(11)

(12)

(13)

當l≥2時,通過比較方程兩端ε1,ε2,ε3,…,所有待定單胞函數可以類似遞推定解。

注2:由 Korn 不等式及 Lax-Milgram 引理易證方程組(6)、(7)、(8)、(9)、(11)、(12)及(13)在相應函數空間中存在唯一弱解組。

定理1若be(x),bm(x),fi(x),u0(x),φ0(x),ψ0(x)在Ω內足夠光滑,則

(ⅰ)方程組(1)有(3)、(4)、(5)的漸近展開形式;

(ⅳ)均勻化解u0(x),ψ0(x),φ0(x),由方程組(9)定解;

2 雙尺度漸近解誤差估計

在實際的數值計算中,通常用二階雙尺度近似解計算解組(uε(x),ψε(x),φε(x)):

(14)

(15)

(16)

定理2 設(uε(x),ψε(x),φε(x))為方程組(1)的弱解組,設fi(x)∈H2(Ω),be(x)∈H2(Ω),bm(x)∈H2(Ω),u0(x)∈H4(Ω),φ0(x)∈H4(Ω),ψ0(x)∈H4(Ω),則有如下漸近估計:

其中,C1,C2,C3是與fi(x),be(x),bm(x),u0(x),φ0(x),ψ0(x)無關的正常數。

注3:在一般區域中,磁-力-電耦合材料的等效性能可用匹配的邊界層問題展開相關問題研究。

注4:本文利用邊界值為0的第一類邊界條件定義周期單胞函數,在實際問題中,當對材料問題做適當對稱性假設后可使用周期性邊界條件定解單胞函數,并且可證明這兩種定義方式定解是同一個唯一解。

3 小 結

本文通過雙尺度方法分析了第一類邊界條件小周期區域內磁-力-電耦合問題的高階雙尺度漸近解,并得到了其均勻化常數與均勻化解,最后證明了其二階雙尺度解的漸近誤差估計。文中的雙尺度方法對求類似問題的漸近解提供了可行的算法,也為進一步求數值解提供了理論基礎。