借“數(shù)直線”之形 促概念深度建構(gòu)
——以“在直線上表示分?jǐn)?shù)”為例

文|魏燕紅

數(shù)軸是小學(xué)課堂常用的基本的數(shù)學(xué)工具之一。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中并沒有揭示數(shù)軸的概念，而是以“數(shù)直線”這一方式加以替代。“數(shù)直線”作為一種數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)工具，是帶給學(xué)生解決問題的方法和思路最直觀而有效的方式。在數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中靈活應(yīng)用“數(shù)直線”，能起到化繁為簡、事半功倍的效果。

教材在分?jǐn)?shù)教學(xué)中編排“數(shù)直線”，其編排意圖十分明顯，教材中的每一條數(shù)直線都承載著提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用。教師要充分挖掘數(shù)直線的使用價(jià)值，將數(shù)直線這一工具有意識(shí)地向?qū)W生逐步滲透，幫助學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知，提升品質(zhì)。

一、“1”“1”對(duì)應(yīng)，開拓思維，正確理解數(shù)直線上的“單位”

單位“1”和分?jǐn)?shù)單位，“單位”是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的核心詞，單位的重要作用體現(xiàn)在能計(jì)量上。在數(shù)直線上表示分?jǐn)?shù)，最關(guān)鍵的就是找到數(shù)直線中的單位“1”。因此，在教學(xué)中幫助學(xué)生理解單位“1”或分?jǐn)?shù)單位在數(shù)直線上的表示方法，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)先分后數(shù)的過程，是策略的核心。

1.溝通各類分?jǐn)?shù)模型，正確認(rèn)識(shí)數(shù)直線上的單位“1”

生活中一個(gè)圖形、一個(gè)物體、一個(gè)整體都可以看作單位“1”，在數(shù)直線上的單位“1”是舍棄了生活中形形色色的事物非本質(zhì)屬性后高度抽象的結(jié)果，各種各樣的單位“1”在數(shù)直線上都只是0 到1這一段。更明確地說，在數(shù)直線上，單位“1”只有一個(gè)，具有唯一性，否則就會(huì)與一一對(duì)應(yīng)的法則沖突，從而產(chǎn)生混亂。

教學(xué)中第一次使用應(yīng)該出現(xiàn)在分?jǐn)?shù)的意義第二課時(shí)，在圖畫寫出分?jǐn)?shù)說出意義的基礎(chǔ)上，通過對(duì)圖中的實(shí)物模型（一個(gè)蛋糕）、面積模型（一個(gè)圖形）、集合模型（20 顆糖）等抽象，讓學(xué)生概括出可以看作一個(gè)整體用自然數(shù)1 來表示，對(duì)應(yīng)到數(shù)直線上的“1”，將學(xué)生的認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到數(shù)直線上的1，能涵蓋的是生活中所有可以用“1”表示的事物，進(jìn)一步讓學(xué)生明晰，生活中眾多的“1”都可以用數(shù)直線上的0 到1 這一段統(tǒng)一的單位長度來表示，可以把它們統(tǒng)稱為單位“1”。數(shù)直線上也可以表示各種分?jǐn)?shù)，比如。把數(shù)直線上0～1 這段看作單位1，平均分成4 份，一份就是可以用數(shù)直線上的這個(gè)點(diǎn)表示。同理也可以找到

2.先分后數(shù)，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)單位的計(jì)量過程，理解本質(zhì)

分?jǐn)?shù)是先分后數(shù)的一個(gè)數(shù)，單位“1”平均分成了幾份，其中的一份就是分?jǐn)?shù)單位。數(shù)直線上的分?jǐn)?shù)直觀地展現(xiàn)了分?jǐn)?shù)單位的計(jì)量功能，先分知道了是什么分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)才知道有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位，就是幾分之幾。教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生先確定分?jǐn)?shù)單位，再根據(jù)分?jǐn)?shù)單位的累加功能尋找到分?jǐn)?shù)在數(shù)直線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

3.經(jīng)歷單位累加，動(dòng)態(tài)演繹區(qū)間定位

突出0～1 和1～2 區(qū)間的銜接。分?jǐn)?shù)超過1，標(biāo)在什么位置，是在數(shù)直線上表示分?jǐn)?shù)的困難所在。突破這個(gè)難點(diǎn)，一定要突出“0～1”“1～2”之間的銜接。這個(gè)銜接延伸的過程是教學(xué)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的最直觀的載體。

在學(xué)習(xí)《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》時(shí)，先出示0～1 的數(shù)直線，標(biāo)出，接下去表示出，然后問這個(gè)點(diǎn)應(yīng)該在哪里？學(xué)生能找到就是1 的位置，1 后面還有分?jǐn)?shù)嗎？再繼續(xù)問在哪里？給學(xué)生思考的空間，經(jīng)歷把目光從0～1的區(qū)間跨越到1～2 這個(gè)區(qū)間的過程，動(dòng)態(tài)演繹數(shù)直線向右延伸的過程。兩個(gè)單位“1”累加，就是2，用自然數(shù)2 表示。思考：為什么在1 的位置，而必須在1～2 這個(gè)區(qū)間呢？學(xué)生會(huì)知道它比多一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，應(yīng)該在，也就是1 的右邊一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的位置。再找出和。

這里有兩個(gè)目的：一是在數(shù)直線上找分?jǐn)?shù)，親身經(jīng)歷把數(shù)直線從一個(gè)單位延長到兩個(gè)單位、三個(gè)單位；二是隨著數(shù)直線的延長，豐富分?jǐn)?shù)的范圍，為分?jǐn)?shù)的分類做好鋪墊。

理解數(shù)直線上的整數(shù)是單位“1”的累加。在數(shù)直線上不僅分?jǐn)?shù)單位可以累加，單位“1”也可以累加。兩個(gè)單位“1”累加，就用相應(yīng)的整數(shù)2 表示，以此類推。數(shù)直線上相應(yīng)的整數(shù)就是單位“1”的相應(yīng)的累積，經(jīng)歷數(shù)直線上的單位“1”的計(jì)量過程，溝通有幾個(gè)單位“1”就與數(shù)直線上整數(shù)幾對(duì)應(yīng)，真正夯實(shí)學(xué)生對(duì)于數(shù)直線上的單位“1”的本質(zhì)理解。

學(xué)了假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)的互化之后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生先把假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)再來看。

通過讓學(xué)生經(jīng)歷0～1 與1～2的銜接過程，養(yǎng)成把分?jǐn)?shù)按所在區(qū)間進(jìn)行分類的習(xí)慣，一連串的強(qiáng)化訓(xùn)練后就能突破難點(diǎn)，從而有效降低錯(cuò)誤率。

4.借助等價(jià)分?jǐn)?shù)，化繁為簡

例如：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之后，有這樣一道習(xí)題：

二、挖掘內(nèi)涵，凸顯價(jià)值，構(gòu)建數(shù)的集合

1.以數(shù)直線強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的意義在“數(shù)”上的拓展

分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，同時(shí)也可以表示一個(gè)具體的數(shù)值。我們需要幫助學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的稠密性。

教師出示幾個(gè)真分?jǐn)?shù)，上面這些分?jǐn)?shù)分別是將單位“1”平均分成幾份，表示這樣的幾份，你能在數(shù)直線上找出這些分?jǐn)?shù)的位置，并和大家說說你是怎么想的嗎？學(xué)生在說的過程中，課件出示這些分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，適時(shí)追問：在這條數(shù)直線上，除剛才這些分?jǐn)?shù)以外，你還能找到其他的分?jǐn)?shù)嗎？說說這個(gè)分?jǐn)?shù)的含義并找到數(shù)直線上的大致位置范圍，像這樣的分?jǐn)?shù)你找得完嗎？

通過以上的活動(dòng)延伸，就可以讓學(xué)生比較深入地感知分?jǐn)?shù)的稠密性，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的無限延伸。每個(gè)分?jǐn)?shù)在數(shù)直線上都有相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，最初局限在0 到1 之間，在學(xué)生建立分?jǐn)?shù)概念時(shí)，需要將學(xué)生的思維進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由臁?/p>

學(xué)生根據(jù)以前的學(xué)習(xí)探究，已經(jīng)能把真分?jǐn)?shù)與數(shù)直線上的點(diǎn)進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)了，但是由于學(xué)生之前沒有接觸過假分?jǐn)?shù)，因此存在思維定勢(shì)。教學(xué)中憑借數(shù)直線無限延伸的特征，讓學(xué)生及時(shí)打破思維定勢(shì)，憑著整數(shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，感知在1 后面還有無限多個(gè)分?jǐn)?shù)，并且這些分?jǐn)?shù)都比1 大。通過這個(gè)過程也可以讓學(xué)生更好地理解整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的聯(lián)系。

2.在數(shù)直線上感受累加思想，建構(gòu)分?jǐn)?shù)集合

人教版教材提供《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》的例題，從圓形的分割引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)以及帶分?jǐn)?shù)。在學(xué)習(xí)的過程中，無論從假分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，假分?jǐn)?shù)的理解，帶分?jǐn)?shù)的引入以及分?jǐn)?shù)的分類，數(shù)直線都要比圓形面積分割更直觀、更自然。數(shù)直線是從原點(diǎn)出發(fā)向一個(gè)方向不斷增加或減少的，這個(gè)過程能讓學(xué)生體會(huì)并最大限度地感受累加的思想。所以我們把例題的思維載體改成數(shù)直線，為學(xué)生分?jǐn)?shù)集合的建構(gòu)提供更適合的思維支撐。

在多次試教中采用數(shù)直線作為學(xué)習(xí)材料，提供圖形表象支撐，并讓學(xué)生充分感受分?jǐn)?shù)單位累加過程。學(xué)生不僅能很快找到分?jǐn)?shù)單位，而且能在找的過程中真實(shí)地感受到假分?jǐn)?shù)比1 大，位于1的右邊, 對(duì)建立假分?jǐn)?shù)大于等于1 的表象，起到了形象支撐的作用。同時(shí)也讓學(xué)生直觀地感知到，分?jǐn)?shù)以1 為分界線，分為兩大類：小于1 的是真分?jǐn)?shù)，大于等于1 的是假分?jǐn)?shù)，從而正確構(gòu)建分?jǐn)?shù)集合。

3.溝通數(shù)系之間的聯(lián)系，形成整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)

（1）形成分?jǐn)?shù)和整數(shù)序列，順應(yīng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

課本中在直線上面填假分?jǐn)?shù)，下面填帶分?jǐn)?shù)的練習(xí)。

通過練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，分子是分母的倍數(shù)的分?jǐn)?shù)能化成整數(shù)，相鄰兩個(gè)整數(shù)之間再平均分可以細(xì)分出分?jǐn)?shù)，而且存在無數(shù)種分法，感悟在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間有無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)建構(gòu)，把分?jǐn)?shù)作為新數(shù)填充在整數(shù)之間，形成分?jǐn)?shù)和整數(shù)的序列，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)通過順應(yīng)達(dá)到新的平衡。

（2）溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)直線的形象支撐，可以幫助學(xué)生理清各種數(shù)概念的意義、計(jì)數(shù)方法、表示方法和分類等，進(jìn)行比較思辨。整數(shù)的基本計(jì)數(shù)單位是自然數(shù)1，整數(shù)其他計(jì)數(shù)單位按十進(jìn)制的規(guī)則生成。而分?jǐn)?shù)是先確定單位“1”，再根據(jù)平均分的份數(shù)確定分?jǐn)?shù)單位，平均分的份數(shù)不同，分?jǐn)?shù)單位也不同。數(shù)直線借助圖形表征數(shù)概念，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)的形象感知，引導(dǎo)學(xué)生在整體建構(gòu)層面上理解和把握數(shù)的概念，進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

我們要深入理解數(shù)直線的內(nèi)涵，挖掘其教學(xué)價(jià)值，拓展其應(yīng)用范圍，發(fā)揮數(shù)直線的作用與功能，幫助學(xué)生建立大數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。