運輸包裝隨機振動的加速度響應譜分析

楊松平, 王志偉

(1. 暨南大學 包裝工程學院 包裝工程研究所,廣東 珠海 519070;2. 暨南大學 力學與建筑工程學院 重大工程災害與控制教育部重點實驗室,廣州 510632;3. 暨南大學 產品包裝與物流廣東普通高校重點實驗室,廣東 珠海 519070)

運輸包裝件在物流過程中遭受外界振動作用發生損傷或失效[1],為評估產品運輸包裝的有效和適度性,數學建模和理論分析成為了必要手段。通常將運輸包裝件模型化為單自由度質量-彈簧-阻尼模型,為預測產品主體響應,包裝優化設計提供了理論依據[2]。然而,產品關鍵部件與主體連接的疊加結構,會激發關鍵件比產品主體更大的響應。另外,產品主體有較大的脆值,而產品內部關鍵部件的脆值相對較小,關鍵件功能往往先受到破壞,以至于產品失效。為了合理優化包裝設計,需要分析外界激勵、產品主體和關鍵件相互作用機理,重點評價產品關鍵件的安全程度。

由于很大一部分包裝材料在一定變形范圍內符合正切型本構關系,通常用兩自由度正切型的質量-彈簧-阻尼模型來表征運輸包裝件[3],該系統的破損邊界理論研究取得了很好的進展[4]。Wang等[5-9]研究了該系統在脈沖激勵下的破損邊界曲面(曲線),重點討論系統參數(阻尼比、頻率比、質量比)對于破損邊界的影響。盧富德等[10-11]建立了正切型兩自由度包裝系統在矩形加速度脈沖激勵下的沖擊響應譜曲面及破損邊界曲面。郭蓓蓓等[12]、霍銀磊等[13]分別采用同倫法、攝動法得到了正切型非線性包裝系統跌落沖擊響應的近似解析解,上述方法也可用來解決高維非線性包裝系統的沖擊響應問題[14]。以往研究主要集中在正切型非線性包裝系統沖擊破損邊界理論方面。

在包裝隨機振動領域,金瀟明[15]分析了隨機振動激勵下考慮易損件的兩自由度產品包裝系統的動力學響應,基于線性累積理論分析了易損件疲勞損傷概率。湯伯森等[16]研究了兩自由度線性包裝系統在振動脈沖激勵下的產品易損件的加速度響應均方差等統計參數,分析了振動環境因素對于系統響應的影響。Rouillard[17]研究了堆疊包裝單元遭受車輛垂直振動下的動態行為,介紹了一種用于預測堆疊式包裝系統動態響應的數值模型。徐偉民等[18-19]建立了路面加速度、位移和脈沖聯合激勵下車輛-運輸包裝件耦合多自由度系統模型,獲取了產品加速度響應數值解。李曉剛[20]構建了白噪聲激勵下多自由度車輛包裝件耦合系統,給出了易損件及產品響應時域和頻域數值功率譜。杜恒[21]進行了隨機激勵下堆碼包裝系統的仿真分析,獲得系統的加速度響應。王志偉等[22]建立堆碼包裝試驗模型,試驗研究了系統的加速度響應及包裝容器間動壓響應,發現加速度響應的峰值分布及動壓力的力水平穿越分布均接近韋伯分布,并分析了包裝件跳起對于響應的影響。朱大鵬[23]在考慮了真實隨機振動激勵的功率譜特征基礎上提出了包裝件失效概率分析方法,并以三次非線性包裝件為例數值分析了關鍵部件在隨機振動激勵下首次穿越損壞概率。上述研究主要通過數值和實際試驗來獲取含關鍵件的非線性包裝件的加速度響應譜,而且以往研究主要集中在正切型包裝系統沖擊破損邊界理論,正切型包裝系統隨機振動研究幾乎空白,而且尚未建立非線性包裝系統加速度響應譜理論,然而產品的加速度響應是評價產品包裝有效性的關鍵指標。因此,本文將探索兩自由度運輸包裝正切型系統的加速度響應譜相關理論,嘗試建立系統的加速度響應譜理論,并指出所提理論的適用范圍,同時采用數值模擬的方法驗證了理論的有效性,并進一步分析了加速度響應譜對于系統參數的敏感性,探析系統的非線性效應。文中方法不僅能夠有效的預測產品主體和關鍵件的響應,也為包裝防護優化設計提供理論依據。

1 考慮關鍵部件的運輸包裝件動力學模型

考慮關鍵部件的運輸包裝件以兩自由度非線性剛度的質量-彈簧-阻尼模型來描述,如圖1所示。

圖1中:mp和m1分別為產品主體和關鍵件的質量;F(δ)和cp分別為緩沖包裝材料的非線性恢復力和阻尼;k1和c1分別為關鍵件與產品主體連接部的等效剛度和阻尼;y為外部位移隨機激勵;xp為產品主體的位移響應;x1為產品關鍵部分的位移響應。

許多緩沖包裝材料的非線性恢復力F(δ)與變形δ關系遵循正切型力-位移關系,如圖2所示。可通過式(2)進行描述

圖2 正切型緩沖材料力-位移關系Fig.2 Force-displacement relationship of tangential packaging material

(1)

式中:kp為正切型緩沖材料的初始線彈性系數;db為正切型材料的變形極限。

緩沖系統的恢復力F(δ) 考慮為正切型非線性恢復力,材料的阻尼假設為線性的,將關鍵件的連接部分作線性化假設,即k1和c1視為線性剛度和線性阻尼。因此,可以建立考慮關鍵件的運輸包裝系統的動力學方程

(2)

令xp-y=δp,x1-xp=δ1,則有

(3)

在此基礎上,可進一步寫出考慮關鍵件的正切型運輸包裝系統相對位移形式的動力學方程

(4)

產品主體及關鍵件的加速度響應是重點,可以通過式(5)進行求解

(5)

2 考慮關鍵部件的運輸包裝系統加速度響應譜理論

由于非線性因素,暫無法求解該類系統的精確平穩解[24]。為了求解兩自由度正切型包裝系統的加速度響應近似解析解,需引入等效線性化方法[25]先對原始系統動力學方程作處理,然后再利用累積量截斷法[26]求解等效線性系統的相對加速度響應近似解析解,再通過相對加速度與絕對加速度關系式,得到產品主體及關鍵件的加速度響應譜近似解析解。同時,等效線性系統的剛度系數也可以通過該方法給出。為了驗證所提方法的正確性,進行了考慮關鍵件的兩自由度正切型產品包裝系統的加速度響應譜數值模擬,結果與理論推導進行了對比,討論了方法適用的工程條件及范圍。

2.1 系統加速度響應譜理論

關鍵件-產品兩自由度正切型包裝系統的加速度響應理論譜可通過以下步驟建立:

步驟1系統的動力學方程式(4)用以下等效線性系統進行替換

(6)

式中,ae為等效剛度系數,根據等效系統與原始系統差最小原理,可得

(7)

結合正切函數的泰勒展示式

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

式中,m4000和m2000分別為四階和二階累積量,忽略四階以上的累積量,即高于四階累積量為0。

(10)

(11)

利用Mathematica工具,可求解上述方程中的各階矩,具體步驟如下:

首先,從上述方程組提取出統計矩的矩前系數,組成Q矩陣,用方程組中的常量組成F矩陣;其次,將提取好的Q矩陣以及O矩陣按照矩陣格式輸入軟件中,其中所有變量均用符號進行表示。引用Inverse[Q]命令直接輸出Q的逆矩陣Q-1;由于無法直接通過命令Dot[-Q-1,F]得出點積的結果,所以通過觀察F矩陣的結構,將Q-1在運算過程中與F中非零項相關的列向量單獨提取出來,與F中非零項的相反數單獨相乘,得到與-Q-1×F相同的運算結果。由此可得到所有統計矩的符號表達式,參數具體賦值便可得到各階矩。

注意到m1100=m0011=0。因為等效線性化參數ae與二階m2000和四階矩m4000有關,考慮二階以上截斷方法時,需用迭代方法確定等效線性化參數。

步驟4在Ito方程式(11)兩邊同時乘以X1(t)和X3(t),并作集合平均,則有

(12)

(13)

式中,Rij(τ)為相關函數,Rij(τ)=E[Xi(t)Xj(t-τ)]。

步驟5根據積分變換規則,轉變為頻域方程

(14)

(15)

求解上述方程,可得

(16)

圖3 正切型系統的加速度響應理論譜與數值解比較Fig.3 Compare of theoretical and numerical acceleration response spectrum for tangent system

正切型系統關鍵件及產品主體的響應加速度理論譜與數值模擬結果匹配較好,驗證了方法有效性。產品主體主要受一階共振頻率控制,二階共振處峰值較小,關鍵件的加速度響應表現為由一階、二階共振頻率控制,產品主體的加速度響應明顯小于產品關鍵件的響應。

2.2 系統加速度響應譜理論適用范圍

3 系統加速度響應譜參數研究

為了進一步研究系統參數和外界激勵對于加速度非線性響應的規律,通過數值模擬的方式給出了在不同參數和激勵水平條件下考慮關鍵件的正切型包裝系統的加速度響應數值譜。

3.1 不同激勵水平對于加速度響應譜的影響

為了考察外界激勵水平對于兩自由度正切型包裝系統的加速度響應影響。首先,假設產品關鍵件對產品的質量比a1為1/20,關鍵件與產品主體的連接部具有與緩沖材料相同阻尼比0.05,且連接系統頻率參數為ω1=50,而緩沖系統初始頻率參數ωp=30,特征參數β=30。圖4給出了5個激勵等級下(K=0.001 g2/Hz,K=0.004 g2/Hz,K=0.008 g2/Hz,K=0.010 g2/Hz,K=0.020 g2/Hz)產品主體與關鍵件的加速度響應譜。

圖4 不同激勵水平下正切型系統加速度響應數值結果Fig.4 Numerical acceleration responses of the tangent system under different excitation levels

圖4展示了不同激勵水平下產品主體及關鍵件加速度響應數值結果。從圖4可以看出,產品主體及關鍵件加速度響應均隨著激勵水平的提高而逐漸增大,同一激勵等級下,關鍵件加速度響應明顯高于產品主體的響應,被一階、二階共振頻率控制,而產品主體加速度響應主要被一階共振頻率影響,一階共振處響應明顯遠大于二階共振處響應。隨著激勵等級的提高,正切型彈簧的“硬化”非線性作用愈加明顯,使得產品主體的一階響應峰值點頻率及關鍵件一階、二階響應峰值點頻率向右邊偏移逐漸增大,而產品主體二階響應峰值量級較小,未激發出正切型彈簧的非線性效應,保持較為一致的共振頻率。

3.2 非線性特征參數對于加速度響應譜的影響

從式(4)動力學方程可以看出,兩自由度線性系統與兩自由度正切型非線性系統,主要差別體現在非線性剛度上,假設其具有相同的頻率參數ωp,最大的差異便是正切型彈簧具有非線性特征參數β,鎖定激勵等級K=0.001 g2/Hz,除了非線性特征參數β,其他參數與上文相同,圖5數值模擬探索了不同正切型緩沖材料特征參數(β=3,β=90,β=270)的產品主體及關鍵件加速度響應譜。

圖5 不同緩沖材料非線性特征參數的系統加速度響應數值譜Fig.5 Numerical acceleration response spectrums of system for different cushion material characteristic coefficients

此外,產品關鍵件響應對于非線性特征參數較為敏感,尤其是二階共振處峰值及一階共振頻率會隨著特征參數出現較為單一規律的敏感變化,而對于一階共振處峰值影響規律不單一。產品主體的二階共振響應遠小于一階共振處響應,所以對于產品主體而言,只需關注非線性特征參數對于其產生一階共振調頻作用。

鑒于此,在用正切型緩沖材料包裝產品時,要想得到較好的減振效果,需適當選擇合理的特征參數β,存在一個最佳的緩沖材料特征參數β*,使得關鍵件的一階響應峰值最小。另外,特征參數β通過調節峰值點間頻率帶寬的作用,也存在一個使關鍵件加速度響應總體能量最低的最佳值。

3.3 關鍵件與產品主體質量比對于加速度響應譜的影響

設K=0.001 g2/Hz,ω1=50,ωp=50,ξ1=0.05,ξ2=0.05,β=30,圖6描繪了不同質量比a1(1/40, 1/30, 1/20,1/10,1/5)非線性特征參數β=30條件下產品及關鍵件加速度響應數值結果,質量比對產品及關鍵件的加速度響應影響顯著。在產品主體質量一定的情況下,產品關鍵件質量的下降使得產品及關鍵件加速度一階響應峰值點頻率左移變小,卻使兩者二階峰值點頻率右移變大,起到“調頻調節峰值點間頻率帶寬”作用,能夠有效的增加產品主體及其自身響應峰值頻率范圍。關鍵件質量的變化影響著產品主體的響應,相當于關鍵件起到了調諧減震器的作用,對于調諧減震器而言,質量比是減振效果的關鍵參數,也對敏感頻率處(緩沖材料及連接件頻率附近)有調節峰值作用[28]。

圖6 不同質量比的正切型系統加速度響應數值結果Fig.6 Numerical acceleration responses of tangent system with different mass ratios

3.4 對緩沖系統頻率參數及連接系統頻率參數敏感性

令K=0.001 g2/Hz,a1=1/20,ω1=50,ξ1=0.05,ξ2=0.05,β=30,圖7給出了不同緩沖系統頻率參數(ωp=10,ωp=20,ωp=30,ωp=40,ωp=50,ωp=60)對于產品及關鍵件加速度響應影響的數值分析結果,緩沖系統頻率參數對于產品主體及關鍵件響應頻帶具有十分明顯的調節作用,當其他參數一定的情況下,產品主體一階響應峰值主要受緩沖系統頻率參數控制,當緩沖系統頻率參數接近連接件的頻率參數時,即頻率比接近于1,使得產品主體的響應最小,此時關鍵件響應最大,該結論與兩自由度調諧減振器相同[29]。隨著頻率參數的升高產品主體的二階響應峰值逐漸增大。

圖7 不同緩沖系統頻率參數的正切型系統加速度響應數值譜Fig.7 Numerical spectrums of tangent system acceleration response with different cushion system frequency parameters

緩沖系統頻率參數對于產品關鍵件響應峰值點及峰值點頻率影響規律較為單一,當其小于連接件頻率參數時,隨著緩沖系統頻率參數的升高產品關鍵件的一階、二階峰值逐漸增大,產品關鍵件的一階響應主要受緩沖系統頻率參數影響,而二階響應受連接系統頻率參數作用。當大于連接件頻率參數,則出現相反的規律。

所以在包裝優化設計過程中,適當選擇具有相對較小頻率參數的緩沖材料,遠離連接件的頻率參數,對于關鍵件的保護能起到的作用,而對產品主體影響不大。同時還需兼顧考慮,較小頻率參數的緩沖材料也比較“軟”,是否對產品達到了固定和支撐作用。

鎖定ωp=30,其他參數保持不變,圖8給出了不同連接系統頻率參數(ω1=30,ω1=40,ω1=50,ω1=60,ω1=70)對于產品及關鍵件加速度響應數值結果變化趨勢,連接部分頻率參數對于產品主體及關鍵件響應峰值影響規律較為單一,隨著剛度的升高產品關鍵件的一階、二階共振峰值先增大后減小,產品主體的一階共振峰值逐漸變大,二階共振處峰值逐漸變小,當ω1=30 即與緩沖材料頻率比接近于1時,有最大的一階、二階共振峰值,此時關鍵件吸收能量最大。按照Den Hartog模型固定點理論[30],此時產品主體的響應最小。

圖8 不同連接系統頻率參數正切型系統加速度響應數值結果Fig.8 Numerical results of tangent system acceleration response under different connected system frequency parameters

同時,隨著ω1的升高產品主體及關鍵件的一階、二階共振峰值點頻率均逐漸減小,使得共振區域先變窄后變寬,起到“調頻調節峰值點帶寬”的作用。當ω1與ωp相差較大時,產品主體及關鍵件的一階響應主要受緩沖系統頻率參數影響,而二階響應受連接系統頻率參數控制,在它們相接近區域,產品主體及關鍵件的一階、二階響應由它們共同控制。

在包裝優化設計過程中,要合理設計或者選擇一定連接部分頻率參數的緩沖材料,應當使關鍵件的響應峰值最小或者響應整體能量最小。

3.5 緩沖系統及連接系統阻尼比的影響

圖9展示了不同緩沖系統阻尼比(0.02, 0.05, 0.10, 0.20, 0.30)的產品及關鍵件加速度響應數值模擬結果。從圖9可以看出,產品及關鍵件加速度主要響應隨著緩沖系統阻尼比的增加而逐漸減小(若轉為線性坐標,二階響應遠小于一階共振響應,此時主要考慮對主要響應也就是一階共振響應的影響),兩者有著較為一致的一階共振頻率和二階共振頻率,所以緩沖材料能夠有效降低產品主體及關鍵件的響應,這也說明產品包裝防護的意義。同時,同一阻尼比下,關鍵件加速度響應明顯高于產品主體的響應。

圖9 不同緩沖系統阻尼比的正切型系統加速度響應模擬結果Fig.9 Simulation results of acceleration responses of tangent system except different in the damping ratios of cushion system

圖10畫出了不同連接部分等效阻尼比(0.02, 0.05, 0.10, 0.20, 0.30)的產品及關鍵件加速度響應數值模擬結果。從圖10可以看出,關鍵件加速度響應及產品主體的加速度響應譜均隨著連接部分等效阻尼比的減低而逐漸增大,雖然兩者有著較為一致的一階共振頻率和二階共振頻率。產品主體的二階響應遠小于一階共振響應,若轉為線性坐標,幾乎無法觀察到二階響應,此時產品主體主要考慮對主要響應也就是一階共振響應的影響,而產品關鍵件有著十分明顯的一階、二階共振響應,同時,同一阻尼比下,關鍵件加速度響應明顯高于產品主體的響應。

圖10 不同連接系統阻尼比的正切型系統加速度響應模擬結果Fig.10 Simulation results of acceleration responses of tangent system with different damping ratios of connected system

4 結 論

本文將考慮產品關鍵部件的產品包裝件建模為兩自由度正切型運輸包裝系統,建立了系統的加速度響應譜理論,同時采用數值模擬的方法驗證了理論的有效性,給出了理論工程適用范圍,并分析了系統參數和外激強度對于加速度響應譜的影響。研究發現,系統的加速度響應譜對隨機激勵強度、緩沖材料特征參數、系統阻尼比、頻率比及關鍵件與產品質量比十分敏感,主要結論如下:

(1) 隨著激勵水平提高,考慮關鍵件的兩自由度正切型運輸包裝系統的響應均顯著增強。正切型系統彈簧的“硬化”非線性作用愈加明顯,從而使產品主體的一階響應峰值點頻率及關鍵件一階、二階響應峰值點頻率向右邊偏移逐漸增大。

(2) 正切型緩沖材料的特征參數β對于產品關鍵件加速度響應具有明顯的“一階調頻,二階調諧減振”的作用,產品關鍵件對于特征參數較為敏感,尤其是二階共振處峰值及一階共振頻率會隨著特征參數出現較為單一規律的敏感變化。對于產品主體而言,只需關注特征參數對于其產生一階共振調頻作用。存在一個最佳的緩沖材料特征參數β*,使得關鍵件的一階響應峰值最小,也存在另一個最佳特征參數,通過調節響應峰值點帶寬的作用,使響應總體能量最小。

(3) 關鍵件與產品質量比是調節系統響應的關鍵參數,其升高使得系統產品及關鍵件加速度一階響應峰值點頻率右移增大,卻使兩者二階峰值點頻率左移變小,能夠有效的降低產品主體及其自身響應峰值頻率范圍,起到“調頻調節峰值點頻率帶寬”作用。

(4) 緩沖材料和連接體的頻率參數對于產品主體及關鍵件響應頻帶具有十分明顯的調節作用,當兩者相接近時,即頻率比接近于1,使得產品主體的響應最小,此時關鍵件響應最大,該結論與單個調諧質量阻尼器響應機制類似。適當提高緩沖材料和連接體阻尼比可以有效減低系統的響應,緩沖材料的阻尼比對緩沖系統頻率參數附近的響應有更好的控制效果。