局部有限壽命疲勞約束條件下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法

江旭東, 武子旺, 滕曉艷

(1. 哈爾濱理工大學(xué) 機(jī)械動力工程學(xué)院,哈爾濱 150080;2. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

面向金屬增材制造的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)極大地豐富了工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計空間,兼顧了復(fù)雜結(jié)構(gòu)和高性能構(gòu)件成形需求,在航空、航天、交通、核電等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景和發(fā)展空間[1-2]。目前,多數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化研究工作專注于體積約束下的結(jié)構(gòu)剛度最大化問題,而工程結(jié)構(gòu)往往服役于交變載荷作用的工作環(huán)境,剛度最優(yōu)的設(shè)計一般不能完全滿足抗疲勞要求,從而嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)在全壽命周期內(nèi)運(yùn)行的可靠性。為此,在結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計中考慮疲勞性能約束,對豐富工程結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計理論、提高服役性能有著重要的科學(xué)價值和工程意義。

為了抑制應(yīng)力集中和高應(yīng)力值引起的結(jié)構(gòu)斷裂,應(yīng)力約束下的拓?fù)鋬?yōu)化問題引起了高度的關(guān)注。應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的難點(diǎn)在于大量局部約束增加了敏度分析的計算代價。為了減少應(yīng)力約束數(shù)量,一般采用P范數(shù)[3-5]和K-S函數(shù)[6]等凝聚方法將局部應(yīng)力約束轉(zhuǎn)化為一個全局約束。為了保持應(yīng)力約束的局部性本質(zhì),代替上述函數(shù)凝聚技術(shù),Silva等[7-9]利用增廣拉格朗日方法,將多約束問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束子問題,求解了局部應(yīng)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化問題。最近,Oliver等[10]將非結(jié)構(gòu)化多邊形網(wǎng)格技術(shù)[11]與增廣拉格朗日方法相融合,提出了適用于復(fù)雜邊界工程結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。與應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問題不同,疲勞失效與加載歷史具有強(qiáng)相關(guān)性,局部特征更為顯著,導(dǎo)致疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化問題呈現(xiàn)高度非線性,因而相關(guān)研究工作相對較少。研究學(xué)者利用Palmgren-Miner[12-14]、修正的Goodman[15-16]、Sines[17]及考慮初始缺陷的Murakami[18]等疲勞失效準(zhǔn)則,結(jié)合準(zhǔn)靜態(tài)分析法[19-20]、頻域[21-23]或時域等效靜載荷等動態(tài)分析法[24-25]預(yù)測結(jié)構(gòu)疲勞損傷,通過P范數(shù)方法凝聚疲勞約束,初步提出了考慮疲勞性能的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。盡管P范數(shù)方法能夠大幅減少疲勞約束及其敏度分析的計算成本,但是其近似屬性并不能精確地控制疲勞約束。

由此,本文基于增廣拉格朗日方法提出局部疲勞約束問題的拓?fù)鋬?yōu)化框架。考慮變幅比例載荷作用,通過Palmgren-Miner疲勞準(zhǔn)則評定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷,以材料用量為目標(biāo)函數(shù),以疲勞性能為約束條件,提出基于局部疲勞約束的結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計方法。此外,將非結(jié)構(gòu)化多邊形網(wǎng)格技術(shù)融入到拓?fù)鋬?yōu)化模型,實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何邊界結(jié)構(gòu)的抗疲勞拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。對比現(xiàn)有P范數(shù)方法的優(yōu)化結(jié)果,驗(yàn)證提出的非凝聚方法處理疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化問題的有效性。

1 優(yōu)化模型

在本文提出的拓?fù)鋬?yōu)化框架內(nèi),以結(jié)構(gòu)輕量化為目標(biāo),分別求解非凝聚的局部疲勞約束問題(Q1)和P范數(shù)凝聚的全局疲勞約束問題(Q2),對比分析兩個問題的優(yōu)化解,驗(yàn)證提出方法的有效性。

(1)

1.1 疲勞失效分析

為了估計變幅比例載荷作用下結(jié)構(gòu)的高周疲勞損傷,本文通過雨流計數(shù)法確定多軸應(yīng)力狀態(tài)下的平均應(yīng)力和應(yīng)力幅,采用Sines準(zhǔn)則評估疲勞等效應(yīng)力,最后基于Palmgren-Miner線性累積損傷模型評估結(jié)構(gòu)的疲勞失效。工程結(jié)構(gòu)高周疲勞一般表現(xiàn)為低應(yīng)力失效,因而可采用線性準(zhǔn)靜態(tài)分析法,通過線性疊加參考載荷下的結(jié)構(gòu)響應(yīng),獲得變幅載荷作用下的結(jié)構(gòu)疲勞響應(yīng)。

基于修正的固體各向同性材料懲罰模型(solid isotropic material with penalization,SIMP),材料插值函數(shù)mE[y(z)]表示為[26]

mE[y(z)]=ε+(1-ε)mV[y(z)]p

(2)

(3)

式中:Ersatz數(shù)ε?1;p為懲罰因子;mV[y(z)]為Heaviside投影體積插值函數(shù);α為門檻密度;η為投影控制參數(shù)。

為了加強(qiáng)優(yōu)化問題的適定性,在規(guī)范化映射下將設(shè)計變量函數(shù)與線性“帽子”核函數(shù)卷積[27],使單元密度變量與設(shè)計變量具有如下關(guān)系

y=Pz

(4)

(5)

(6)

式中:P為過濾矩陣;R為過濾半徑; ‖x-xk‖2為單元與k形心位置矢量x,xk的歐式距離;q為濾波指數(shù)。

為了能夠求解具有復(fù)雜設(shè)計域結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題,利用非結(jié)構(gòu)化多邊形網(wǎng)格技術(shù)離散空間設(shè)計域,如圖1所示,對于n邊形參考單元,其節(jié)點(diǎn)i處的Wachspress形函數(shù)定義為

圖1 多邊形單元Fig.1 Polygon element definition

(7)

(8)

式中:αi(ξ)為插值函數(shù);ξ=[ξ1ξ2]為n邊形單元的內(nèi)點(diǎn);Ai(ξ),Ai+1(ξ)為相應(yīng)陰影三角形的面積(如圖1(a)所示),可根據(jù)式(9)計算獲得

(9)

式中,pi-1=[p1,i-1p2,i-1]和pi=[p1,ip2,i]為n邊形單元的相鄰節(jié)點(diǎn)位置矢量。

考慮如圖2所示的變幅載荷作用,采用準(zhǔn)靜態(tài)分析法求解結(jié)構(gòu)在參考載荷下的疲勞響應(yīng),則有

圖2 雨流計數(shù)法Fig.2 Rainflow-counting method

K[y(z)]u=Fr

(10)

(11)

式中:K[y(z)]為結(jié)構(gòu)插值總體剛度矩陣;Ke0為密度變量為1時的單元剛度矩陣。

為了避免優(yōu)化問題的奇異解現(xiàn)象,采用修正的qp松弛技術(shù)處理單元應(yīng)力。對于無預(yù)應(yīng)力的線彈性結(jié)構(gòu),參考載荷作用下的單元參考應(yīng)力表示為

(12)

為了預(yù)測工程結(jié)構(gòu)在變幅載荷下的疲勞損傷,往往通過雨流計數(shù)法從應(yīng)力譜中提取峰值與谷值(見圖2),確定不同循環(huán)特征的應(yīng)力循環(huán),由此獲得應(yīng)力幅縮放因子與平均應(yīng)力縮放因子,根據(jù)式(13)估算任一應(yīng)力循環(huán)的應(yīng)力狀態(tài)。

(13)

式中:σea,i,σem,i分別為單元e在第i個循環(huán)的應(yīng)力幅和平均應(yīng)力列陣;cai,cmi分別為第i個循環(huán)的應(yīng)力幅和平均應(yīng)力縮放因子。

根據(jù)Sines有限壽命疲勞準(zhǔn)則,平面應(yīng)力狀態(tài)下有限壽命的等效單軸應(yīng)力可由交變的八面體剪切應(yīng)力和靜水平均應(yīng)力依據(jù)式(14)獲得[28]

(14)

Basquin方程描述了單軸等效應(yīng)力與疲勞壽命的關(guān)系,表示為

(15)

式中:σf為疲勞強(qiáng)度系數(shù);Nei為應(yīng)力循環(huán)i下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命;b為疲勞強(qiáng)度指數(shù)。

由此,根據(jù)式(14)、式(15),采用Palmgren-Miner線性累積損傷模型可以評定整個載荷譜作用下的任一單元的疲勞損傷,工程結(jié)構(gòu)須滿足如下疲勞約束,方能避免疲勞斷裂發(fā)生。

(16)

式中:De為單元e的累計損傷;cD為縮放參數(shù)(一般大于1);ni為載荷循環(huán)i的循環(huán)次數(shù);nRF為不同應(yīng)力循環(huán)特征的組合總數(shù)。

1.2 疲勞約束

對于優(yōu)化問題Q2, P范數(shù)疲勞約束可表示為

(17)

式中,P為P范數(shù)因子。

高的P范數(shù)因子有利于估計函數(shù)的最大值,但是,也會增加優(yōu)化問題的非線性,不利于問題求解和造成收斂困難。為了使P范數(shù)損傷靠近實(shí)際損傷的最大值,一般采用自適應(yīng)約束縮放技術(shù)[29]修正P范數(shù)損傷。

(18)

如圖3所示,多項式約束函數(shù)式(18)在約束違背域的懲罰幅度遠(yuǎn)大于線性約束函數(shù),而在Λj≈0處類似于傳統(tǒng)線性約束。盡管式(18)的立方項增加了疲勞約束的非線性,但是,數(shù)值試驗(yàn)表明:相對于線性約束函數(shù),對疲勞約束違背域施加非線性懲罰能夠驅(qū)動優(yōu)化解更加快速地向低損傷方向迭代。

圖3 傳統(tǒng)線性約束與三次方約束的比較Fig.3 Comparison between traditional linear and cubic constraints

1.3 敏度分析

依據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,優(yōu)化問題Q1的目標(biāo)函數(shù)對于設(shè)計變量的靈敏度為

(19)

根據(jù)優(yōu)化問題式(1),目標(biāo)函數(shù)對于材料插值函數(shù)和體積插值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為

(20)

給定材料剛度參數(shù)E=mE(y)和體積分?jǐn)?shù)V=mV(y),它們對于設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)為

(21)

多項式疲勞性能約束對于設(shè)計變量的靈敏度表示為

(22)

由式(18),多項式疲勞性能約束對于材料插值函數(shù)和體積插值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為

(23)

(24)

(25)

根據(jù)Palmgren-Miner線性累積損傷模型式(16)和式(15),損傷變量與疲勞壽命的偏導(dǎo)數(shù)分別為

(26)

將式(12)代入式(13),可獲得應(yīng)力幅列陣和平均應(yīng)力列陣的偏導(dǎo)數(shù),表示為

(27)

(28)

(29)

2 增廣拉格朗日方法

圖4 增廣拉格朗日優(yōu)化框架流程圖Fig.4 Schematic flowchart of the AL-based topology optimization framework

當(dāng)單元的數(shù)量足夠大時,懲罰項P(k)(z,u)可能遠(yuǎn)大于目標(biāo)函數(shù)f(z),從而引起算法失效。由此,引入歸一化的懲罰項[31]避免優(yōu)化問題的奇異性,則歸一化的拉格朗日子問題表示為

(30)

(31)

(32)

μ(k+1)=min[αμ(k),μmax]

(33)

式中:α>1為懲罰因子更新參數(shù),上確界μmax用于抑制算法的數(shù)值失穩(wěn)問題。拉格朗日乘子按照式(34)更新

(34)

基于梯度的全局收斂移動漸近線算法[32](globally convergent method of moving asymptotes, GCMMA)具有較好的穩(wěn)定性和魯棒性,本文采用GCMMA求解上述疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化問題。按照鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,歸一化的拉格朗日目標(biāo)函數(shù)的靈敏度為

(35)

由式(31),P(k)與體積分?jǐn)?shù)V不直接相關(guān),而通過局部疲勞性能約束與剛度參數(shù)E相關(guān),它對于上述參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為

(36)

(37)

對于變幅載荷作用的多工況問題,伴隨方法可有效求解優(yōu)化問題式(30)的靈敏度。將參考載荷(分解為應(yīng)力幅載荷與平均應(yīng)力載荷)作用下的平衡方程以殘差形式引入到式(37)中,形成增廣形式的懲罰項敏度分析方程,則有

(38)

Rai=Kuai-Fr,ai=0,Rmi=Kumi-Fr,mi=0

(39)

式中:Rai,Rmi分別為應(yīng)力幅和平均應(yīng)力平衡方程的殘差表達(dá)式;ξai,ξmi為相應(yīng)的伴隨矢量。

將式(39)對材料剛度參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),則有

(40)

觀察式(38),隨著應(yīng)力循環(huán)數(shù)的增加,伴隨矢量的計算將消耗大量的時間。因而,通過式(41) 縮放參考載荷作用下的位移,表示任意循環(huán)載荷作用下的幅值位移與平均位移,可以有效縮減伴隨矢量的解算規(guī)模。

uai=caiu,umi=cmiu

(41)

由此,式(38)的伴隨項表示為

(42)

另外,為了避免直接求解?u/?E,通過合理選擇伴隨矢量滿足式(43),使其在式(42)中消失,則有

(43)

由此,確定所有縮放的伴隨矢量后,結(jié)合式(44)則可獲得懲罰項對于剛度參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

(44)

(45)

(46)

最后,由式(12)和式(13),?σea,i/?u和?σem,i/?u可顯式獲得,表示為

(47)

綜上,編制有限壽命疲勞分析的多邊形有限元計算程序、敏度分析程序、設(shè)計變量濾波程序與GCMMA求解器,實(shí)現(xiàn)局部有限壽命約束條件下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

3 結(jié)果與討論

3.1 L型板

如圖5所示,L型支架的尺寸參數(shù)L=1 m,彈性模量E0=70 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。L型支架上端施加固定約束,右側(cè)角點(diǎn)施加橫向變幅載荷F(見圖2),其參考載荷Fr=20 kN。過濾半徑R=0.065,懲罰因子p=3,門檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=2～10(增量為0.7,更新頻率為5)。

圖5 L型支架設(shè)計域與邊界條件Fig.5 Design domain and boundary conditions for a L-bracket

設(shè)計域離散為N=50 176個單元,橫向載荷施加于垂向棱邊的8個單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=750。圖6為L型支架采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=8)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對比兩種方法的分析結(jié)果,盡管設(shè)計構(gòu)型存在一定的相似性,但是,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)湓谳d荷施加區(qū)域附近具有更加合理的結(jié)構(gòu)形式,結(jié)構(gòu)拓?fù)浣咏诘葟?qiáng)度設(shè)計,因而材料的抗疲勞性能得到充分利用。另外,從材料用量來看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.305,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.252,后者質(zhì)量減輕17.4%,驗(yàn)證了所提方法的有效性。

圖6 L型支架的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.6 Optimal topology and damage distribution for a L-bracket

3.2 天線支架

如圖7所示,天線支架的尺寸參數(shù)L=4 m,H=6 m,彈性模量E0=120 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。天線支架左端施加固定約束,右側(cè)角點(diǎn)施加橫向變幅載荷F(見圖2),其參考載荷Fr=400 kN。過濾半徑R=0.06,懲罰因子p=3,門檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=2～10(增量為1.0,更新頻率為5)。

圖7 天線支架設(shè)計域與邊界條件Fig.7 Design domain and boundary conditions for an antenna bracket

設(shè)計域離散為N=50 000個單元,橫向載荷施加于斜向棱邊的8個單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=30 000。圖8為天線支架采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=10)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對比兩種方法的分析結(jié)果,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)涓淖兞藘?nèi)部加強(qiáng)筋的布局,使得在P范數(shù)約束優(yōu)化拓?fù)渲懈邠p傷區(qū)域處的疲勞損傷有所下降,導(dǎo)致更少的單元承受疲勞失效,因而具有更優(yōu)的抗疲勞性能。另外,從材料用量來看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.382,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.256,后者質(zhì)量減輕33.0%,有利于工程結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計。

圖8 天線支架的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.8 Optimal topology and damage distribution for an antenna bracket

3.3 門式鋼架

如圖9所示,門式鋼架的尺寸參數(shù)L=1.6 m,H=0.8 m,l=0.15 m,彈性模量E0=100 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。門式鋼架底端施加固定約束,上表面中心處施加橫向變幅載荷F(見圖2),其參考載荷Fr=70 kN。過濾半徑R=0.035,懲罰因子p=4.5,門檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=1～10(增量為3,更新頻率為5)。

圖9 門式鋼架設(shè)計域與邊界條件Fig.9 Design domain and boundary conditions for a portal frame

設(shè)計域離散為N=50 000個單元,橫向載荷施加于上表面棱線中間的12個單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=10 000。圖10為門式鋼架采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=10)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對比兩種方法的分析結(jié)果,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)鋬?yōu)化了載荷施加區(qū)域附近的傳遞路徑,祛除了對于削弱疲勞損傷作用較小的冗余結(jié)構(gòu),最優(yōu)拓?fù)鋱D像結(jié)構(gòu)清晰,傳力路徑明確,具有更優(yōu)的抗疲勞性能。另外,從材料用量來看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.286,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.226,后者質(zhì)量減輕21.0%,驗(yàn)證了所提方法的有效性。

圖10 門式鋼架的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.10 Optimal topology and damage distribution for a portal frame

3.4 圓孔矩形板

如圖11所示,圓孔矩形板的尺寸參數(shù)L=1.2 m,H=0.4 m,D=0.24 m,彈性模量E0=100 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。孔矩形板的左端施加固定約束,右端中心處施加橫向變幅載荷F(見圖2),其參考載荷Fr=15 kN。過濾半徑R=0.05,懲罰因子p=4.5,門檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=2～10(增量為0.7,更新頻率為5)。

圖11 圓孔矩形板設(shè)計域與邊界條件Fig.11 Design domain and boundary conditions for a rectangular plate with circular holes

設(shè)計域離散為N=30 000個單元,橫向載荷施加于右端垂向棱邊的6個單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=10 000。圖12為圓孔矩形板采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=8)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對比兩種方法的分析結(jié)果,盡管設(shè)計構(gòu)型存在一定的相似性,但是,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)湓趥髁β窂缴嫌行p少了冗余材料,使其與P范數(shù)凝聚的優(yōu)化拓?fù)渚哂邢嘟钠趽p傷,因而具有更優(yōu)的材料分布。另外,從材料用量來看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.416,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.386,后者質(zhì)量減輕7.2%。與實(shí)體域結(jié)構(gòu)相比,由于結(jié)構(gòu)中增加的圓孔削弱了抗疲勞能力,導(dǎo)致可減少的材料用量受到限制。

圖12 圓孔矩形板的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.12 Optimal topology and damage distribution for a rectangular plate with circular holes

3.5 圓孔曲線板

如圖13所示,圓孔曲線輪廓板的尺寸參數(shù)L=2.8 m,D1=0.35 m,D2=0.6 m,R1=0.3 m,R2=0.5 m,彈性模量E0=100 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。圓孔曲線輪廓板右端施加固定約束,左端圓孔施加均布橫向變幅載荷F(見圖2),其參考載荷Fr=10 kN。過濾半徑R=0.03,懲罰因子p=3,門檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=1～10(增量為3,更新頻率為5)。

設(shè)計域離散為N=30 000個單元,橫向均布載荷施加于左側(cè)圓孔下方所有單元上。上述單元不包含在設(shè)計域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=11 000。圖14為圓孔曲線輪廓板采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=10)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對比兩種方法的分析結(jié)果,考慮局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)湓趦蓤A孔間增加了多條加強(qiáng)筋,有效地阻礙了疲勞損傷的傳遞,使得P范數(shù)凝聚方法的高損傷區(qū)域轉(zhuǎn)變?yōu)橹卸葥p傷區(qū)域,提高了結(jié)構(gòu)的抗疲勞性能。另外,從材料用量來看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.258,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.228,后者質(zhì)量減輕11.6%,驗(yàn)證了所提方法的優(yōu)越性。

圖14 圓孔曲線輪廓板的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.14 Optimal topology and damage distribution for a curved plate with circular holes

4 結(jié) 論

(1) 針對變幅載荷作用下的高周疲勞結(jié)構(gòu)的輕量化問題,利用Palmgren-Miner損傷準(zhǔn)則在有限單元上逐一構(gòu)建多項式局部疲勞性能約束,避免任意材料評估點(diǎn)處的疲勞失效;同時,基于增廣拉格朗日方法將原問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化子問題,有效地解決了拓?fù)鋬?yōu)化問題中的大量局部約束所帶來的挑戰(zhàn)。

(2) 與疲勞約束凝聚化的優(yōu)化結(jié)果相比,局部疲勞約束條件所獲得的設(shè)計構(gòu)型與其具有很大的差異,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的疲勞損傷和材料用量都顯著減小,因而考慮局部疲勞約束有益于材料的充分利用和結(jié)構(gòu)抗疲勞性能的改善。

(3) 與現(xiàn)有的基于單元的疲勞問題拓?fù)鋬?yōu)化方法相比,本文采用非結(jié)構(gòu)化的多邊形有限元法完成連續(xù)體結(jié)構(gòu)的疲勞分析與損傷評估,能夠?qū)崿F(xiàn)具有任意曲線邊界設(shè)計域結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。

綜上,所提方法為實(shí)現(xiàn)考慮疲勞性能約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計提供了一種新的思路。未來工作將以本文為基礎(chǔ),考慮慣性和阻尼效應(yīng)的影響,研究動態(tài)載荷作用下結(jié)構(gòu)疲勞約束問題的設(shè)計優(yōu)化。