基于近似模型輔助智能算法的變截面點陣結構優(yōu)化設計方法

向 艷, 蔣國璋,3, 張 嚴,3, 徐曼曼,3

(1. 武漢科技大學 冶金裝備及其控制教育部重點實驗室,武漢 430081;2. 武漢科技大學 機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室,武漢 430081;3. 武漢科技大學 精密制造研究院,武漢 430081)

桁架類點陣結構是一種由規(guī)則點陣單胞在空間陣列組合形成的周期性結構,具有質量輕、比強度/比剛度高、減振吸能性好,且拓撲構型簡單、增材成型可靠性高等優(yōu)點,被廣泛應用于航天器各關鍵承載部件設計[1-4]。作為最具應用前景的新一代輕質強韌結構,點陣結構為實現(xiàn)超輕質多功能一體化設計提供了新途徑,通過對點陣單胞進行優(yōu)化設計可以獲得具有優(yōu)異宏觀性能的點陣結構。

現(xiàn)有點陣構型優(yōu)化設計大多基于等截面形狀的設計約束展開。近年來,隨著增材制造技術的迅猛發(fā)展,變截面點陣的制造成為可能。相比等截面點陣,變截面點陣具有可拓設計空間,其力學性能也更具優(yōu)勢。冀賓等[5]基于解析計算和數值模擬發(fā)現(xiàn)3D Kagome點陣通過變截面設計,其壓縮強度提高了30%。朱凌雪等[6]的研究也表明芯體截面梯度變化的點陣夾層結構吸能效率要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)等截面點陣夾層結構。Cao等[7]通過有限元模擬和準靜態(tài)壓縮試驗發(fā)現(xiàn)十二面體點陣通過變截面設計,其抗壓強度和屈服強度分別提高了79%和55%。雷鵬福等[8]提出了一種點陣結構節(jié)點強化技術,通過在點陣結構節(jié)點處實現(xiàn)自然圓角過渡的方法,改善其力學性能。Ren等[9]為了減小點陣結構的應力集中并進一步提高其剛度性能,設計了一種節(jié)點球形增強的體心立方點陣。汪飛雪等[10]考慮變截面梁和連接球體的幾何構型,實現(xiàn)球型增強變截面四棱錐點陣結構的幾何拓撲分析,并進行了基于SLM工藝的變截面四棱錐點陣結構的形變特性和力學性能分析,結果表明較傳統(tǒng)等截面體心立方點陣結構有顯著提升。上述研究工作通過對變截面點陣單胞進行優(yōu)化設計,獲得了點陣結構性能的進一步提升,對點陣單胞構型的優(yōu)化設計具有積極的指導意義。但現(xiàn)有點陣構型的優(yōu)化設計大多缺乏變截面點陣構型的參數化描述模型及其普適性的力學分析方法,導致點陣構型的優(yōu)化難以有效開展。

現(xiàn)有點陣的幾何模型主要采用CAD軟件建模和幾何隱式模型表達等方式,難以實現(xiàn)點陣截面形狀的參數化描述,同時其等效力學性能分析方法與其幾何模型描述方式密切相關,主要有解析法、試驗法以及代表體元法等[11-15]。例如,基于解析法的點陣等效力學性能分析,需根據點陣的不同構型形式選擇不同的解析分析方法,且對于復雜的點陣構型,推導過程繁瑣復雜,難以與后續(xù)的點陣構型優(yōu)化實現(xiàn)有效銜接。

針對點陣形狀的參數化描述問題,本文采用基于水平集的顯式拓撲描述函數構建變截面點陣的顯式幾何描述模型,實現(xiàn)變截面點陣幾何形狀的自由描述,為后續(xù)的點陣構型優(yōu)化提供充分尋優(yōu)空間。針對點陣的等效力學性能計算復雜,基于變截面點陣的顯式拓撲描述函數,采用能量均勻化構建具有普適性的變截面點陣等效力學性能表征模型。隨后,建立截面點陣幾何描述參數的優(yōu)化數學模型,并采用基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法進行高效求解。最后,結合數值算例驗證本文所提方法對變截面點陣設計的有效性,通過與等截面點陣進行對比,以顯示變截面點陣設計的性能優(yōu)勢。

1 變截面點陣的顯式幾何描述

水平集方法是一種結構幾何邊界的隱式描述方法,其核心思想是將研究的曲線或曲面表示為高一維水平集函數的零等值線或面[16]。與傳統(tǒng)水平集方法以自由函數或徑向基函數隱式表達結構幾何邊界的方式不同,本文通過定義水平集函數的顯式數學關系,建立結構幾何的顯式拓撲描述函數,實現(xiàn)結構幾何邊界的顯式描述,達到通過調控水平集函數參數以精確控制結構幾何的目的。以如圖1(a)所示的變截面點陣桿件為例,采用如式(1)所示的基于水平集的顯式拓撲描述函數實現(xiàn)單根變截面桿件的顯式幾何描述(如圖1(b)所示),其中方程t(x)是點陣桿件的截面形狀控制方程,通過調控截面形狀控制參數t1,t2,t3可實現(xiàn)桿件截面形狀的精確控制,圖1(c)是由變截面桿件組成的體心立方點陣構型。特別地,當各桿件的截面形狀控制方程參數t1,t2,t3均相等時,可獲得等截面點陣構型。

圖1 變截面點陣單胞示意圖Fig.1 Schematic diagram of variable cross-section lattice unit cell

基于水平集函數的變截面點陣顯式幾何描述模型可表達為

(1)

其中,

φi(x)=max[φi,cylinder(x,y,z),φi,sphere1(x,y,z),φi,sphere2(x,y,z)]

φi,cylinder(x,y,z)=[t(x)/2]2-(sinθi·Ld)2,

φi,sphere1(x,y,z)=(t1/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,

φi,sphere2(x,y,z)=(t2/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2

式中:D為整個設計域;Ω為實體材料區(qū)域;?Ω為結構的邊界;桿件部分由一個變截面柱體和兩個球體組成,其水平及函數分別為φi,cylinder(x,y,z),φi,sphere1(x,y,z),φi,sphere2(x,y,z);變截面柱體的兩端分別以(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)為中心,這兩點也是兩個球體的球心;(x0,y0,z0)和L分別為桿件的中心點坐標和桿件長度;t(x)為桿件的截面形狀控制方程;t1,t2,t3為截面形狀控制方程參數。

2 變截面點陣的等效彈性張量計算

(2)

傳統(tǒng)均勻化方法的理論推導復雜,計算效率較低。為進一步簡化點陣單胞等效力學屬性的實施過程,提高其計算效率,基于單元應變能等效,式(2)可轉化成另一種新形式

(3)

3 變截面點陣的優(yōu)化數學模型

為實現(xiàn)變截面點陣的幾何形狀參數優(yōu)化,以變截面點陣的幾何描述參數為設計變量,材料用量為約束條件,最大體積模量或最大剪切模量為目標函數,建立優(yōu)化數學模型

(4)

(5)

當以變截面點陣的體積模量最大為優(yōu)化目標時,目標函數可定義為

(6)

4 基于近似模型輔助粒子群優(yōu)化算法的求解策略

由于變截面點陣優(yōu)化的設計變量較多,變量維數較高,為提升高維設計問題的優(yōu)化效率[20-21],本文采用基于徑向基函數(radial basis function,RBF)的近似模型輔助粒子群優(yōu)化算法,以實現(xiàn)變截面點陣優(yōu)化模型的高效求解。

4.1 RBF近似模型

RBF模型在高維建模中具有更高的建模精度和更快的建模速度,因此在近似模型輔助的粒子群優(yōu)化(efficient surrogate-assisted particle swarm optimization,ESPSO)算法中,引入RBF近似模型用于粒子群優(yōu)化算法中的全局和局部近似模型建模,本文使用的RBF模型定義如下:假定有n個樣本點x1,x2,…,xn∈RD,對應的響應分別為f(x1),f(x2),…,f(xn),則由這n個樣本點建立的RBF近似模型可以表示為

(7)

4.2 近似模型輔助的粒子群算法

作為粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)的關鍵組成部分,粒子速度的更新方法對PSO算法的優(yōu)化效率有很大影響。為了進一步提升近似模型輔助PSO算法的優(yōu)化效率,ESPSO算法使用了一種新的策略更新粒子的速度,其更新方式如下

(8)

其中,

(9)

(10)

相對于傳統(tǒng)的PSO方法,ESPSO方法改變了粒子的搜索方向。如圖2所示,在PSO中,粒子朝著當前全局最優(yōu)位置和當前粒子的歷史最優(yōu)位置即線0和1的方向搜索。而在ESPSO中,它通過由全局和局部近似模型獲得的全局最優(yōu)和局部最優(yōu)位置即線0*和1*方向搜索,同時添加了全局和局部近似模型的最優(yōu)點信息,平衡了模型的預測能力和PSO算法的全局搜索能力使其更高效。

圖2 ESPSO算法的搜索原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of search principle of ESPSO algorithm

在ESPSO算法中,個體歷史最優(yōu)粒子pi(t),i=1,2,…,N的鄰域空間劃分是一個重要的策略。這種空間劃分策略使得ESPSO利用在鄰域內獲得的局部近似模型最優(yōu)點來引導PSO加速搜索。此外,這種空間劃分策略還考慮到了個體歷史最優(yōu)粒子pi(t),i=1,2,…,N的多樣性,從而保證了ESPSO的全局優(yōu)化效率。在ESPSO方法中,確定合適的粒子xi(t)鄰域大小是非常重要的,領域空間過大粒子群會很快集中,使得ESPSO算法會陷入局部搜索。然而如果該區(qū)域太小的話模型的預測能力沒能得到最大的發(fā)揮,使得ESPSO算法收斂緩慢。

因此,由Kitayama等[22]提出的計算徑向基函數半徑的方法被用于確定個體歷史最優(yōu)粒子的鄰域大小。粒子pi(t)的鄰域半徑ri可以表示為

(11)

5 數值算例

為充分說明本文方法的有效性,分別選取BCC,FCC,BCC+FCC三種點陣構型作為代表性研究對象,采用前述構建的優(yōu)化模型和ESPSO算法求解策略,實現(xiàn)最大體積模量或最大剪切模量的變截面點陣優(yōu)化設計。同時,將變截面點陣設計結果與相應構型的等截面點陣進行對比,以驗證本文方法在點陣力學性能設計上的優(yōu)勢。為不失一般性,在所有算例中均采用無量綱化處理,彈性模量E=1,泊松比μ=0.3,采用20×20×20=8 000個八節(jié)點六面體單元對點陣單胞設計域進行有限元離散。在每個算例中,ESPSO算法的種群大小設為N=30,在建立ESPSO的局部近似模型時,BCC,FCC,BCC+FCC三種變截面點陣構型的局部近似模型的樣本點數目分別設置為大于60,180,240。

5.1 體積模量最大化的變截面點陣優(yōu)化

如表1所示,是材料用量約束分別為0.1和0.3時,體積模量最大化的變截面點陣優(yōu)化設計結果,包括優(yōu)化后的變截面點陣構型、等效彈性張量、體積模量以及與相應幾何構型的等截面點陣相比的性能提升率。從表1中的優(yōu)化結果可知,在材料用量約束為0.1或0.3時,優(yōu)化后的變截面點陣單胞的體積模量較相同幾何構型的等截面點陣均有顯著提升。如表2所示,是材料用量約束為0.3時,FCC點陣優(yōu)化后的各桿件幾何形狀參數的最優(yōu)值。雖然優(yōu)化后的各桿徑形狀控制參數(t1,t2,t3)相差不大,但其對應變截面點陣的體積模量較相同幾何構型的等截面點陣提升了7.30%。如圖3所示,是其目標函數的迭代收斂曲線,整個優(yōu)化迭代過程收斂平穩(wěn),目標函數最終收斂于0.665 62。

表1 體積模量最大化的變截面點陣優(yōu)化結果Tab.1 Optimization results of variable cross-section lattice for maximizing bulk modulus

表2 變截面FCC點陣桿件截面幾何形狀參數最優(yōu)值(f=0.3)Tab.2 Optimum values of cross-section geometric parameters of FCC lattice bar with variable cross-section (f=0.3)

圖3 材料用量約束為0.3時,變截面FCC點陣的目標函數收斂曲線Fig.3 Convergence curve of objective function of FCC lattice with variable cross-section when the material dosage constraint is 0.3

5.2 剪切模量最大化的變截面點陣優(yōu)化

如表3所示,是材料用量約束分別為0.1和0.3時,剪切模量最大化的變截面點陣優(yōu)化設計結果,包括優(yōu)化后的變截面點陣構型、等效彈性張量、剪切模量以及與相應幾何構型的等截面點陣相比的性能提升率。其中,材料用量約束為0.1時,變截面FCC點陣優(yōu)化后的各桿件截面幾何形狀參數的最優(yōu)值如表4所示,圖4是目標函數的迭代收斂曲線。根據表3的優(yōu)化結果可知,當以最大化剪切模量為優(yōu)化目標時,在不同材料用量約束下,優(yōu)化后的變截面點陣的剪切模量均優(yōu)于相應幾何構型的等截面點陣。其中,當材料用量約束為0.1時,優(yōu)化后的變截面FCC點陣桿件的幾何形狀最優(yōu)參數值如表4所示,其對應的變截面FCC點陣的剪切模量較相應的等截面點陣提升了9.62%。如圖4所示,是目標函數的迭代收斂曲線,整個優(yōu)化迭代過程收斂平穩(wěn),目標函數最終收斂于0.037 11。

表3 剪切模量最大化的變截面點陣優(yōu)化結果Tab.3 Optimization results of variable cross-section lattice for maximizing shear modulus

表4 變截面FCC點陣桿件截面幾何形狀最優(yōu)參數值 (f=0.1)Tab.4 Optimum parameter values of cross-section geometry of FCC lattice bar with variable cross-section (f=0.1)

圖4 材料用量約束為0.1時,變截面FCC點陣的目標函數收斂曲線Fig.4 Convergence curve of objective function of FCC lattice with variable cross-section when the material dosage constraint is 0.1

上述數值算例結果表明,相較于等截面點陣,在相同材料用量下,優(yōu)化后的變截面點陣的體積模量或剪切模量可獲得5% ～ 8%的力學性能提升效果。這主要得益于構建的變截面點陣幾何顯式描述模型,突破了傳統(tǒng)點陣的等截面形狀約束,實現(xiàn)了點陣幾何形狀的自由描述,擴大了基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法的尋優(yōu)空間。上述結果和分析也進一步驗證了本文所提的變截面點陣結構優(yōu)化設計方法的有效性和優(yōu)勢。

6 結 論

(1)本文基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法提出了一種變截面點陣結構設計方法,基于顯式拓撲描述模型,實現(xiàn)了變截面點陣幾何形狀的自由描述,基于能量均勻化方法建立了變截面點陣宏觀等效彈性張量關于其幾何描述參數的近似響應模型,并建立了變截面點陣幾何描述參數的優(yōu)化數學模型,采用基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法實現(xiàn)上述優(yōu)化模型的高效求解。數值算例表明,相較于等截面點陣,在相同材料用量下,優(yōu)化后的變截面點陣具有更優(yōu)異的力學性能。

(2)構建了基于顯式拓撲描述函數的變截面幾何描述模型,突破了傳統(tǒng)點陣的等截面形狀約束,實現(xiàn)了點陣幾何形狀的自由描述,為后續(xù)的智能優(yōu)化算法提供了充分的尋優(yōu)空間。

(3)建立了變截面點陣幾何描述參數關于其宏觀等效彈性張量的近似響應模型,并以此構建了變截面點陣幾何描述參數的優(yōu)化數學模型,引入基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法,進一步提高了優(yōu)化求解效率。

(4)本文以BCC,FCC,BCC+FCC三種代表性點陣構型驗證了所提方法的有效性,但所提方法同樣適用于其他任意構型的變截面點陣設計;同時本文僅研究了變截面點陣單胞的固有力學屬性,可在本文研究基礎上進一步考慮結構高承載、強減/隔振等多功能屬性的變截面點陣單胞設計。