啟發性提示語在高三數學復習課中的應用

陳明

摘要：高三數學復習的目的是幫助學生梳理知識點、歸納解題方法、完善個人的認知結構.啟發性提示語包括認知性提示語、元認知提示語和方法論提示語.課堂教學中啟發性提示語的運用可以由遠及近、由易到難地引導啟發學生思考，讓學生學會自主建構知識體系，進行方法梳理，完善個人的認知結構，達到會學的目的，從而提高高三一輪復習的實效.

關鍵詞：認知結構；啟發性提示語；思維策略

高三數學復習的目的是幫助學生全面梳理知識點，歸納總結、優化解題方法，注意解題中的易錯點，在此基礎上完善和調整個人的知識結構和認知結構，提升個人的解題能力.學生能否較好地形成和完善個人的知識結構和認知結構，能否學會自主學習和思考，能否養成良好的學習習慣，與教師的課堂引導和啟發密不可分.數學是思維的科學，而語言是思維的載體，因此課堂教學中教師的啟發性語言對學生思維的發展、個人優良的學習習慣的形成至關重要.2022年10月18日，筆者在高三數學教學中成功地上了一節復習課，課題是《空間直線、平面的平行》.反思這節課，筆者覺得之所以能上好這節課，啟發性提示語的應用起到了關鍵的作用，本文通過對這節課的反思，與各位同仁分享如何在復習教學中用好啟發性提示語.

1教學過程

1.1問題導入，回顧定理

師：今天這節課我們打算解決兩個問題，能不能解決就看大家的表現了.我們先來看第一個問題.

問題1：如圖1，長方體ABCD－A₁B₁C₁D1中，E，F分別是B₁C₁，C₁D₁的中點，則EF與長方體的哪個面平行？

生：平面ABCD.

師：理由是什么？

生：根據EF∥BD.

師：EF也和B₁D₁平行，那怎么不和平面A₁B₁C₁D₁平行啊？

生：EF在平面A₁B₁C₁D₁內.

師：很好！請同學們完成知識梳理1，等會請一位同學復述一下.（學生用語言和符號復述，教師作圖并板書）

設計意圖：通過問題情境引入新課，貼近學生認知，符合新高考要求，易于引發學生思考.通過追問，讓學生進行概念辨析，完善認知結構.通過對定理的文字語言表述、符號語言表達、圖形語言展示，豐富學生的知識表征，有利于學生優良認知結構的形成.

1.2逐級提問，回歸本質

例1如圖2，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別為AB，PC的中點，求證：MN∥平面PAD.

1.2.1方法提問，歸納解法師：你是怎么寫的？

生：取PD的中點E.

師：很好！你是如何想到的？

生：有一個中點，想到中位線，再取一個中點，構造平行四邊形.

師：請說一下你的證明過程（方法1）.（生口答，師板書）

師：還有沒有其他證法？你說說看.

生：取CD的中點.

師：很好！那你又是如何想到的？

生：我也是想到中位線，不過是，取CD的中點構造中位線，用面面平行證明（方法2）.

師：還有沒有其他方法了？（學生思考一會兒，沒有思路）

師：M，N是兩條線段的中點，我們除了構造平行四邊形，還可以構造什么？

生：中位線.

師：那如何構造？

師：N是PC的中點，那M肯定也是除AB外某條邊的中點，那么這條邊肯定過哪個點？

生：C點.

師：很好！請同學們嘗試一下.

師：你是如何構造的？

生：連接CM并且延長，交DA的延長線于點Q，連接PQ（方法3）.

師：很好！那如何證明MN是中位線呢？

生：只要證明△BCM與△AQM全等.

師：很好！通過例1的解答，請同學們歸納一下如何證明線面平行，以及證明過程中要注意哪些問題.

生：可以通過線面平行證明，通過構造平行四邊形或者三角形中位線，或者通過構造面面平行來證明.

師：那證明過程中要注意哪些問題呢？

生：注意書寫規范，定理使用完整，以及沒有證明的定理不能直接使用.

設計意圖：通過學生解法的分析，思維過程的展示，引導學生思考解法.分析的過程中，以學生為主體，由易到難，通過問題對學生進行引導啟發，符合學生認知，通過對解法的歸納總結，完善學生認知.

1.2.2變式提問，選擇方法

師：很好！（變式1）如果M，N是三等分點，是不是MN也平行于平面PAD？如果平行，如何證明？

師：你是如何寫的？

生：構造平行四邊形.

師：你為什么用這個方法？

生：跟中點類似，容易想到構造平行四邊形.

師：你又是如何寫的？

生：構造三角形的三等分點，用相似證明.

師：那你為什么用這個方法？

生：跟構造中位線類似，比較直觀.

師：有沒有用方法2的？（沒人舉手）

師：為什么不用？

生：感覺證明的書寫比較復雜，比較耗時間.

師：通過對三等分點問題的解決，我們發現在解題時要注意方法的選擇.當然平時我們要多想一點解題方法，平時多想一點，考試才能少想一點，少算一點，想得好才能做得好.

設計意圖：通過變式訓練，讓學生體會在已有的解題經驗的基礎上如何解決新的問題.通過學生對解法的分析、比較，啟發引導學生注重解題過程中方法的選擇，豐富學生的解題經驗.

1.2.3拓展提問，認識本質

師：我們再來看一下方法1，不管是中點還是三等分點，四等分點，我們都可以構造平行四邊形，那我們思考一下，它們還有什么共同特征？

生：都是把線段平移到平面內.

師：很好！那我們一起看一下動畫（如圖3），你有什么感覺？

生：感覺是把線段平行投到平面PAD上，而且長度不變.

師：很好，這樣的一種投影我們稱為平行投影.

師：我們再看看方法3，它們有什么共同特征？

生：也是把線段投到平面內，但是長度發生了變化.

師：通過動畫（如圖4），你能不能歸納一下，嘗試起個名稱？

生：線段平行投到平面PAD上，但是長度發生了改變，通過動畫可以看出，好像是由點C投過來的，感覺可以稱為中心投影.

師：說得很好！通過例1的解答，我們應該對例1有了深刻的認識.那下面來檢驗一下同學們的復習效果，我們來試試變式1.

（學生寫完后，請學生點評）

師：你來點評一下，寫得怎么樣？

生：寫得很好！

師：哪兒好？

生：定理使用完整，解題書寫規范.

設計意圖：通過提問，引導學生對前面兩類解法做進一步歸納總結，從特殊到一般，提升學生的思維能力，促進學生對數學本質的認識.

1.3反思提問，學會學習

師：很好！到現在為止，問題1我們應該差不多解決好了，現在我們來解決問題2，你們猜猜問題2是解決什么問題？

生：線線平行.

師：你們很會猜啊！問題1是線線平行到線面平行，問題2是線面平行到線線平行，正好形成一個完整的閉環.那請同學們思考一下，我們應該從哪些方面來復習？

生：首先是定理以及定理的語言表述、符號表達和圖形展示，然后是定理的使用以及使用方法，使用過程中要注意的問題等等.

師：講得很好！看來你已經知道如何復習了，那我們就帶著這樣的思考一起來研究問題2吧.

設計意圖：研究完問題1后，通過問學生下面要研究什么問題以及怎么研究，能讓學生從宏觀上對所要復習的知識有個整體的印象，也能夠啟發學生思考如何復習，有利于個人自主學習能力的提高.

2教學反思

一般的高三數學復習課局限于歸納知識點，做做試題，然后講評試題.其實，多半課堂沒有重視對知識點的有序梳理、解題方法的對比小結、規范和細節的自我提醒，沒有從整體上對一節或一章的復習搭建一個框架，學生也就沒有在頭腦中形成多級有序的知識結構和認知結構，不利于知識和方法的提取，直接影響復習的效率.啟發性提示語的運用，不僅可以引導不同層次的學生對知識和方法進行有效地復習，還可以指導學生掌握良好的學習方法，有利于學生良好的學習習慣的形成.啟發性提示語分為認知性提示語、元認知提示語和方法論提示語，課堂上根據實際情況，通過不同的提示語引導不同層次學生的思維參與，能夠提高課堂效率.

2.1用認知性提示語構建知識體系

認知性提示語以認知規律來幫助學生思考，通常是對學生的思考提供知識性的幫助，更多與學科具體的認知內容有關［1］.認知性提示語指向學生的認知活動，與具體的知識直接相關，教師在具體使用時不僅問具體的知識，更多地需要問知識間的聯系，這樣才有利于學生構建良好的知識體系.如本節課在通過問題引入線面平行的判定定理時，通過提問“EF∥平面ABCD的理由是什么？”“EF也和B₁D₁平行，那怎么不和平面A₁B₁C₁D₁平行啊？”“你能用文字語言、符號語言和圖形語言復述嗎？”，復習回顧線面平行的判定定理、定理使用的注意點、定理的多種表示形式，豐富學生的知識表征，構建良好的知識體系.當然，復習完一節或者一章的內容后，還需要指導學生梳理知識網絡，進一步筑牢個人的知識體系，有利于知識的提取和應用.

2.2用元認知提示語調節思維策略

元認知提示語是針對學生的元認知活動進行提示或發問，給學生思考提供一種自我內部指引或監控，促使學生對自身的認知活動進行自我調節和自我監控，并對其思維過程、思考方法和思維策略進行引導或提示［1］.通過元認知提示語的運用，引導學生對自己所從事的認知活動進行積極的監控、調節、預測、反思和評價，解決認知活動中考慮不全、思維受阻、方向不定、研究不透等問題，提高個人的元認知監控水平，有助于認知活動中思維策略的靈活運用.本節課中通過“你是如何想到的？”“你為什么用這個方法？”“為什么不用方法2？”“它們還有什么共同特征？”“你來點評一下，寫得怎么樣？”等問題，引導學生展示自己的思維過程，比較方法的優劣，歸納方法的本質，評價解題的規范，在不斷認識和調節個人的認知活動中，促進個人思考問題的方式和思維策略的形成.

2.3用方法論提示語引導思考方式

在認知提示語和元認知提示語中，有一些提示語啟發或暗示了思考問題的方法或方式，對學生研究問題具有方法論的指導意義，故稱此類提示語為方法論提示語［1］.方法論提示語引導學生思考解決問題的一般方式，具有普遍意義，是人類本原的思想方法，是大方法.本節課中，“問題1我們應該差不多解決好了，現在我們來解決問題2，你們猜猜問題2是解決什么問題？”“那請同學們思考一下，我們應該從哪些方面來復習？ ”等問題，引導學生思考在研究完一個問題以后還要研究哪些問題，對于一個問題的研究一般從哪些角度來考慮.在平時的章節復習中，教師反復問學生這樣的問題，引導學生學會問自己這樣的問題，能夠促進學生學習方法的改進、學習習慣的改善、思考問題方式的改變.

高三數學復習課應當根據不同的課型，如章節復習課、專題復習課、試卷講評課等，采用不同的啟發性提示語，由遠及近、由易到難，啟發引導不同層次的學生去思考解決問題，充分調動全體學生的思維參與.啟發性提示語的長期運用，讓這些啟發性提示語最終變為引導學生思考問題的提示語，從而提高其元認知能力.參考文獻：

［1］ 涂榮豹.數學教學設計原理的構建：教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2018.

［2］ 葉立軍，趙亞婷.專家型教師與新手教師運用啟發性提示語的差異研究［J］.教學與管理，2022（36）：4346.

［3］ 菫榮森.“啟發性提示語”的追溯發展及其應用［J］.數學通報，2012，51（3）：1315.