我們需要怎樣的結構化教學*
——談小學數學學與教的結構化

章勤瓊

2022 年4 月，《義務教育課程方案（2022 年版）》和《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）正式頒布，本次課程標準修訂以核心素養為綱領，貫穿課程標準修訂的全過程，統領課程標準修訂的各部分，從而使課程標準的各個組成部分保持內在的一致性和統一性。基于此，結構化教學成為當前小學數學教學的熱點。

結構化教學在教育學和心理學上有著廣泛的理論基礎，正如布魯納所言：“給任何特定年齡的兒童教某門學科，其任務就是按照這個年齡兒童觀察事物的方式去闡述那門學科的結構。”韋特海默的格式塔心理學也提到了整體不等于各部分之和，強調讓學生利用基本的記憶、想象、聯想、感知、體驗等途徑對學科知識進行由淺入深的學習。皮亞杰的認知結構理論認為學習的本質就是同化與順應，奧蘇貝爾的有意義學習理論也提到學習需要關注學習對象的上位概念與下位概念。作為西方最具代表性的教學理論之一，結構主義具有以下特征：強調整體和關系（這是結構主義的最基本特征）；將認識結構化（模式化）；在研究方法上強調分解與化合；注重探究事物結構的層次。

然而，“結構化”是一個語意頗豐的詞語，有不同層次的解讀。例如，美國課程理論專家施瓦布就指出了學科知識的三種結構，除了不同學科間的組織結構外，還有學科內的實質結構和句法結構。其中，實質結構是指學科領域的觀點、事實與概念及這三者間的相互關系，以及學科的概念結構和概念組織的原理；句法結構是指探究學科的方法，如何取舍優劣、創造及評量新知識，句法結構關注事實的分辨、鑒定、證明及應用的規則，如學科領域的重要觀念與技能是什么。可以認為，實質結構更多關注學科內容本身的結構化，而句法結構更多關注學生學習過程的結構化。因此，結構化教學的探討需要同時關注知識內容和學習過程兩個方面的結構化。

此外，還需要從學與教兩個角度來思考如何真正實現學生的結構化學習。例如，從學的角度而言，結構化既體現在內容的結構性上，也體現在數學思想方法的結構性上；既體現在知識系統的結構性上，也體現在學生認知過程的結構性上；既體現在教師課堂結構、板書形式的結構化上，也體現在學生思維結構化的孕育和發展上。從教的角度而言，結構化要求教師能夠從宏觀整體的角度進行教學設計，以學生已有的經驗與知識為基礎，為學生架構所學內容之間的橋梁，最終形成有章可循的體系，使學生能整體理解數學概念，掌握數學方法，形成數學素養。

一、學的結構化：基于學生認知基礎的結構生長

若要真正實現有效的結構化教學，需要基于學生的認知基礎順學而教，真正的結構化不是由教師教給學生的，而是讓學生真正形成自身的認知結構并實現生長。例如，新課標中有一個重要的提法：感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識，也就是“運算一致性”。加減法運算的一致性體現為：相同計數單位上的數字相加減，計數單位不變。乘除法運算的一致性體現為：計數單位與計數單位相乘除，計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘除。其中關于加減法的描述很好理解，無論是整數、小數還是分數的加減法，教師教學時都是從計數單位個數運算的角度來引導學生理解算理并掌握算法的。乘除法運算一致性的描述則引發了一定的爭議，讓不少教師無所適從。以小數乘法0.3×0.8=0.24 為例，算理為（3×0.1）×（8×0.1）=（3×8）×（0.1×0.1）=0.24，即計數單位0.1和0.1相乘得到新的計數單位0.01，計數單位的個數和個數相乘得到新的個數24，合起來就是24 個0.01。整數乘法（如300×20）和分數乘法（如）算理均可如此表達。然而，依據現行教材，0.1×0.1=0.01 該如何解釋？之前小數的意義的學習，0.01 的產生并沒有強調這樣的過程，而的學習還在后面。另外，學生在學習30×20 時還未學習乘法結合律，如何更好地理解30×20=（3×10）×（2×10）=（3×2）×（10×10）？到了除法的學習，更是如此。例如，有教師在教學小數除法時，要求學生采用以下計算方式：

0.6÷0.03=（6×0.1）÷（3×0.01）=（6÷3）×（0.1÷0.01）=2×10=20，這樣的方式對小學生來說顯然不太友好，他們更熟悉的是將其轉化為60÷3 來計算。況且，如果按照這樣的方法，當學生遇到0.3÷0.06 時，該怎么來解決？如果變成（3÷6）×（0.1÷0.01），還需要再去處理3÷6，這顯然是舍近求遠，而且最后的結果變成0.5 個10，也不易于理解。從算理的本質的角度而言，這樣的方式是正確的，符合施瓦布所言的實質結構。然而，從學生如何更好地理解算理并掌握算法的角度而言，卻未必符合學生學習的句法結構。

事實上，從學的結構化而言，運算的一致性并不是一定要學生以某種固定的方式來“一致地”計算，更重要的是要引導每個學生學會一致性地思考問題。因此，學生在學習運算時需要一以貫之地貫徹兩個方面：一是運算要基于數的意義理解，即數的本質都是多少個計數單位；二是得到運算結果的方式，都是先確定單位再確定單位個數。而確定單位并不只有唯一的方法，如40×2 是“4 個10”×2；也可以是單位計算得到新單位，如小數相乘與分數相乘；還可以是多次確定不同單位，如計算除法時需要在每一個單位上分別計算和轉化。此外，在計算中還可以靈活運用運算性質與策略。因此，理解運算的一致性，仍然需要引導并鼓勵每個學生形成自己的理解，不同人的理解角度可以不同，但每個人都需要努力實現自身理解的邏輯一致性。

例如，在“分數除法”單元教學中，首先要更好地理解作為度量意義的分數，以為例，學生需要認識到，其意義不僅是把一個或一些事物平均分成5份后取其中的4份，也可以看成以作為單位度量4次的結果，即4個。在此基礎之上，建構符合學生認知結構的學習路徑。在教學分數除以整數時，教師要注意引導學生以等分的模型理解，如就 是 將4 個平均分成2份，結果為2個，即。遇到這樣不能均分的，則運用分數的基本性質轉化為。而到了除數為分數的除法時，則可以以包含的意義來理解，如，可理解為“6 個”中含有多少個“2 個”，也就是6 里面有幾個2，因此，。如果是異分母的情況，需要先將計數單位變為相同后才可以用包含的方式來相除，因而需要通分。在學生經歷等分和包含兩種意義，真正理解算理之后，還需要思考如何使用運算策略。即在計算除數為分數的除法時，還可以思考如何轉化為已經學過的分數除以整數，因此可以運用商的變化規律。如，或者可以將除數化為1，，這也就是“除以一個數，等于乘這個數的倒數”。

因此，就“分數除法”這個單元而言，真正的結構化是學生基于分數意義的理解，用符合自己認知的方式建構對算理的理解，并能進一步思考如何運用運算策略，最后得出計算方法。這樣的學習方式跟所有運算的學習一致，是學生自主生長出來的認知結構，并不是要由教師“教”給學生某種“結構化”的方法，要求學生必須以這樣的方式來計算。

二、教的結構化：關注教學方式和內容的一致性

新課標明確提出，要“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，分析主題—單元—課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養”。然而，教的結構化并不是教師將成人視角下“應有的”結構“告知”學生就能實現的，必須同時考慮內容的整體關聯與學生的學習經驗。例如，為了讓學生更好地體會運算的意義，教師應注意加強四則運算之間關系的教學，體現減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便運算、除法是乘法的逆運算。有教師在二年級學生學習完四則運算之后，專門增加一節“加減乘除是一家”這樣的課，幫助學生梳理四則運算之間的關系。這樣的教學可以認為是教的結構化的一種方式。但事實上，像這樣關聯起來的四則運算之間的關系，更多是一種教師所教的知識，并不是學生在真正理解之后自主建立起來的結構。

如果說學的結構化更多關注學生學習和理解數學的路徑，那么教的結構化則更強調在教學時要整體思考，并形成教學方式上的一致性。因此，需要從教學內容和教學方式兩個方面來思考教的結構化。

首先是教學內容的結構化。如理解算理是小學階段所有運算教學的核心目標，是算法的依據，也是后續形成運算策略的基礎。但學生對算理的理解不是一步到位的，總體而言，算理理解的水平也可以有以下幾個層次：水平一，理解數的意義，需要理解數的組成與算式的意義；水平二，表征計算過程，能用自己的方法計算并對過程進行表征和描述；水平三，識別比較方法，能識別不同的方法并進行比較；水平四，提煉基本方法，能在比較聯系中發現相同本質，提煉通法。上述算理理解的四個層次適用于所有計算的算理課，因此，運算教學的模式也可以進行遷移，可以思考如何從一節課發展到一類課，構建算理理解教學的一般路徑。

其次是教學方式的結構化。教師整體把握教學內容，能夠幫助學生以一以貫之的方式來學習每一個內容。如運算能力是小學階段需要落實的核心素養，其中一個內涵為“明晰運算的對象與意義”，從教的結構化出發，教師需要認識到，加減乘除四則運算的意義是與這一核心素養表現有聯系的知識內容。因此，雖然這些內容分散在小學數學教材的不同單元中，但是在教學中需要將它們放在一起思考，都需要指向“明晰運算的對象與意義”的落實。目標定位一致，所采取的教學方式也應該一致。在教學中，都需要讓學生經歷識別情境、提出問題、提取并關聯數學信息的過程，在此基礎上用多種方式表征情境信息，列出算式并進行闡釋，提煉基本運算模型，還需要進一步運用算式解決更多數學問題。這樣的教學能讓學生經歷從現實到數學的過程，真正明晰運算的對象與意義，最后真正落實運算能力這一核心素養。這可以成為運算意義教學的一般路徑，也是所有數學教學中都需要讓學生經歷的數學化過程。

從更大的層面而言，教的結構化還體現在落實核心素養導向的教學中，教師可以思考一般化的教學路徑。例如，為了更好地落實與評價核心素養，可以基于課程標準，實現“學教評一致性”，需要首先明晰核心素養的內涵，確定學習目標；其次，基于學習目標，在分析學生的學習起點后設計學習任務；再次，依照學習任務進行教學實施；最后，制訂適當的評價框架，對學生的學習進行分析，并反思改進教學。這樣才能幫助學生建立能體現數學本質、對其未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系，這也是一條能更好地將新課標中提到的核心素養落實到教學中的實踐路徑。