不同視角破解一道高考“爪子模型”試題

杜海洋

(成都經濟技術開發區實驗中學校)

2023年數學新高考Ⅱ卷第17題是一道解三角形問題(俗稱“爪子模型”),此題題型常規但不乏新意,入口寬、解法多,但不同方法的效果(思維、時間、運算、書寫等要求差異較大)相去甚遠,故本題也是一道區分度較大的題,而且對后續解題進程會產生較大影響,這突出了高考對“多考想、少考算”“在思維層次上區分”的命題立意.下面筆者對此題進行多視角解答,以饗讀者.

1 試題呈現

題目(2023 年新高考Ⅱ卷17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為,D為BC的中點,且AD＝1.

(1)若∠ADC＝,求tanB;

(2)若b2＋c2＝8,求b,c.

2 試題分析

本題考查解三角形的基礎知識,即正弦定理、余弦定理、面積公式的綜合運用,其中中線AD的長度已知,且點D為BC的中點,則BD＝DC,這些條件都是求解問題的關鍵.因為三角形與向量密不可分,所以結合向量進行解答也是解題的一個方向,三角形是幾何圖形,所以結合幾何作圖也是這類試題的一個突破口.

3 試題解答

(1)方法1 (利用幾何作圖)

如圖1所示,作AH⊥BC于H,由題設AD＝1,∠ADC＝,易得

圖1

點評在解三角形中,若涉及中點、等分點等特殊情形,可考慮作中位線或平行線進行角與線段的轉化,由于題設條件涉及面積,從而作高,構造直角三角形,輕松獲得解答.

方法2 (利用面積相等)

點評利用等面積法、余弦定理建立等式關系,得出邊a,c的值,再結合正弦定理使問題獲解,尤其是“爪子模型”的三角形,利用面積的不同表達形式,可以對三角形涉及的多條線段建立等式關系,這樣就可以合理利用已知線段的長度,當然合理利用相鄰補角也是解題需關注的一個角度,如sin∠ADB＝sin∠ADC,cos∠ADB＋cos∠ADC＝0.

方法3 (利用面積倍數關系)

因為AD＝1,所以DC＝2,即BD＝2.在△ABD中,

點評此法巧妙運用面積關系求出DC＝2,再在△ABD中,根據兩邊及其所對的兩角,利用正弦定理使問題獲解,體現了轉化與劃歸的強大邏輯思維能力.

方法4 (幾何作圖＋正弦、余弦定理)

點評本法實質是方法1、方法2的結合,體現了在“考場”上學生解答、思考路徑不同,解答題的時間“長度”也不同,但也體現了解答此問目標的一致性,多視角切入,方法的多樣性.

方法5 (利用正弦定理＋余弦定理)

由①和②可得a＝4.下同方法2.

點評求解關于“爪子模型”的三角形,分別利用“大”“小”三角形,結合正弦定理或余弦定理建立邊角關系也是常見策略,其中利用“共角”以及兩次余弦定理可以建立三角形所涉及線段的關系,進一步獲得相關等式.

方法6 (坐標法)

如圖2 所示,以點D為坐標原點、BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,由方法1易得,B(－2,0),所以

圖2

點評坐標法是數形結合的真正體現,坐標法可將復雜的線段或角的關系轉化為純數據處理,從而避免了思維的難度.

(2)方法1 (利用互補關系)

因為在△ABD和△ADC中,由余弦定理可得

點評探究三角形中的線長度與已知三角形三邊長度的關系對學生的思維要求較高,基本理念是利用線與邊形成的角和余弦定理建立邊的關系,其中cos∠ADB＋cos∠ADC＝0是研究這類問題的核心步驟.

方法2 (利用向量)

點評平面向量具有“數”和“形”的雙重性,是溝通幾何、代數的重要工具,借助平面向量基本定理建立三角形中邊與邊之間的等量關系式.此法利用定比分點公式,實質是共線向量基本定理,它體現了三個不共線向量之間的一種數量關系,利用這一關系可將三條線段的長度聯系起來,這也正是運用本法的關鍵所在.

方法3 (坐標法)

如圖3所示,以點D為坐標原點、BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系.因為AD＝1,設∠ADC＝θ∈(0,π),令A(cosθ,sinθ),B(－,0),C(,0),由b2＋c2＝8,則

圖3

點評通過建立平面直角坐標系,建立等式,探索出AD⊥BC,從而得出AB＝AC,再利用勾股定理獲得解答.

方法4 (幾何作圖法)

如圖4 所示,延長AD至點H,使AD＝DH,連接BH,CH,則易得四邊形ABHC為平行四邊形,所以AH＝2AD＝2,BH＝b.在△ABH中,有

圖4

又因為b2＋c2＝8,所以bccos∠BAC＝－2.

下同方法2.

點評此法通過幾何作圖,將涉及的線段轉化到同一個三角形中,根據已知條件,再利用余弦定理和面積公式求得答案.若三角形中涉及邊的中線,此幾何法高頻使用.

方法5 (利用中線長公式)

在△ABC中,由中線長公式可得b2＋c2＝2(AD2＋BD2),則AD2＋BD2＝4,因為AD＝1,所以,下同方法1.

點評中線長定理其實來源于人教A 版《數學必修第二冊》第39頁例2:如圖5所示,已知平行四邊形ABCD,你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎?(請讀者自行翻閱教材).

圖5

方法6 (利用斯特瓦爾特定理)

斯特瓦爾特定理:如圖6 所示,設點D為已知△ABC邊BC上的一點,則AB2·DC＋AC2·BDAD2·BC＝BC·DC·BD.

圖6

由此定理可得

點評此法巧妙借用了斯特瓦爾特定理,不僅步驟簡單,計算量也小,極大提高了解題效率,希望同學們在平時解題中多積累相關的二級結論并加以運用.當然涉及利用斯特瓦爾特定理的試題屢見不鮮,限于篇幅,就不一一贅述,希望讀者自行查找相關試題資料.

本文充分展示了涉及三角形中含有線段的問題的幾種常規解題思想,尤其要熟練掌握對比解法,優化解題思路.數學家波利亞曾說過:“掌握數學就意味著善于解題”,數學問題的解決僅僅是一個開端,更重要的是解題后的反思與回顧,以便深刻地揭示問題的本質.在解題的過程中,要多角度思考解題思路,深入挖掘問題本質,尋求巧妙的解題方法并及時歸納總結規律和結論,從而提高解題效率.

(完)