最值:打開恒成立問題的鑰匙

代成紅

(湖北省天門中學)

恒成立問題是高考熱點,也是復習中的重點、難點.分類討論與分離變量是解決恒成立問題最主要的方法,其實質是構造函數,利用導數研究函數的單調性、最值,利用最值求出參數的取值范圍.顯然最值才是解決問題的關鍵,是打開恒成立問題的鑰匙.那么,能不能繞開函數單調性的討論過程,直接由最值求解恒成立問題呢? 我們知道,閉區間上的連續函數存在最值,且最值要么在極值點取到,要么在端點處取到.因此,如果最值在極值點處取到,將此極值點代入不等式,可得到參數取值的一個范圍;如果最值在端點處取到,可確定端點處導數值符號,根據端點處函數值與導數值符號也可求得參數取值的一個范圍.將此二者聯合使用,一般可求得參數取值的準確范圍,然后證明不等式在此范圍內成立即可.為行文方便起見,本文將此方法稱為賦最值法.賦最值法由兩個環節組成,即賦值和證明,本文舉例說明此方法的應用.

1 極值點處取最值

例2函數f(x)＝ex－aln(ax－a)＋a(a＞0),若f(x)＞0恒成立,求實數a的取值范圍.

因此,實數a的取值范圍是(0,e2).

點評例2中f(x)的定義域為開區間(1,＋∞),區間兩端函數值均無意義.為了研究函數在區間兩端的變化,此時考慮端點處函數的極限.當x→＋∞時,f(x)→＋∞,當x→1＋時,f(x)→＋∞,f(x)＞0均成立.因此,f(x)的最小值一定在區間(1,＋∞)內某點t取到.此時有即

例3已知f(x)＝ex－2＋x－2ax2＋xlnx,若對于任意x∈(0,＋∞),不等式f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.

解析設g(x)＝x－2－lnx(x＞0),則g(2)＝－ln2＜0,g(e2)＝e2－4＞0,

可知存在t∈(2,e2)使g(t)＝0,即t－2＝lnt,即et－2＝t.由f(t)≥0,可知et－2＋t－2at2＋tlnt≥0,即t＋t－2at2＋t(t－2)≥0,所以a≤.

點評例3是開區間上的恒成立問題,首先考查函數在區間端點處的極限,發現f(x)＞0滿足條件,其次假設fmin(x)在(0,＋∞)上某點t取到,則有即

消去a得(2－t)et－2＋tlnt＝0,即(t－2)et－2＝lnt·elnt,則t－2＝lnt,雖然求不出t的具體值,但它是存在的.結合前面的分析,將它代入f(x)≥0求得的范圍一定是參數準確的取值范圍.例3表明,函數在隱零點處取最值,賦最值法仍然有效.

2 端點處取最值

例4已知函數f(x)＝ex－1＋Ax2－1,若對于任意的x≥1,有f(x)≥A成立,求實數A的取值范圍.

同理,若對于任意的x∈(m,n),f(x)＞f(n)恒成立,那么f′(n)≤0.使用此類結論判斷參數范圍,習慣上稱為端點效應.

(2)由于f′(m)≥0只是f(x)＞f(m)的必要條件,因此使用端點效應既要證明在區間內不等式恒成立,還要尋找矛盾區間說明在區間外不等式不能恒成立.

例5設f(x)＝ax＋cosx－1－sinx,當x∈[0,π]時,f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.

點評圖像是描述函數的重要工具和語言,考查函數1,x∈[0,π]的圖像(如圖1),可以幫助我們快速判斷例5只需要使用端點效應即可.例5表明,使用數形結合,可大大提高賦值的準確性.

圖1

例6已知f(x)＝xeax－ex＋1,當x＞0 時,f(x)＜0恒成立,求a的取值范圍.

點評例6 中f(x)＜0＝f(0),由端點效應知f′(0)≤0,計算可知f′(0)＝0.由于當x＞0 時,,可以設想必有x0＞0,使f′(x0)＜0,然而f′(x)是連續不斷的,因此應當存在區間(0,ε),當x∈(0,ε)時,f′(x)≤0,再一次使用端點效應,有f″(0)≤0,由此得a≤.例6表明:端點效應可連續使用,仔細體味例6 中“矛盾區間”(0,2ln2a)上的反證過程,可以加深對連續使用端點效應的理解.

(完)