“指對冪”比較大小問題策略研究
——從一道高考真題說起

李 林

(甘肅省山丹縣第一中學(xué))

“指對冪”比較大小問題是歷年高考的熱點(diǎn)題型,當(dāng)這類問題難度一般時(shí),它主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.那么,破解這類問題有哪些基本策略呢?

1 直接利用函數(shù)的性質(zhì)

直接利用函數(shù)的性質(zhì)就是從題設(shè)所給數(shù)值的結(jié)構(gòu)特征直接構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù),然后利用這些函數(shù)的性質(zhì)直接比較大小,這類問題難度不大.

例1已知a＝ln,b＝ln(lg2),c＝lg(ln2),則a,b,c的大小關(guān)系是( ).

A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞c＞a

點(diǎn)評本題給出的三個(gè)數(shù)值都具有對數(shù)形式,故直接根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)x＞1時(shí),lnx＞lgx,當(dāng)0＜x＜1時(shí),lnx＜lgx來比較它們的大小.

2 引入媒介值

引入媒介值就是當(dāng)兩個(gè)數(shù)值無法直接利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小時(shí),可引入中間量(如0,1)分別與它們比大小,再利用不等式的傳遞性得出它們的大小.

例2已知a＝,b＝log2425,c＝log2526,則a,b,c的大小關(guān)系是( ).

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.c＞b＞aD.b＞c＞a

所以c＜b,即b＞c＞a,故選D.

點(diǎn)評本題考查了對數(shù)的運(yùn)算以及基本不等式的綜合,解題的關(guān)鍵在于運(yùn)算的技巧以及性質(zhì),本題的媒介值是1.

3 同構(gòu)法

所謂同構(gòu)法就是根據(jù)題中所給式子的共同特征構(gòu)造函數(shù),并利用該函數(shù)的單調(diào)性確定大小關(guān)系.為了同構(gòu)函數(shù),往往需要先對題目給出的式子進(jìn)行變形.

4 數(shù)形結(jié)合法

所謂數(shù)形結(jié)合法,就是通過觀察幾個(gè)函數(shù)圖像的位置或它們的交點(diǎn),直觀判斷數(shù)值的大小.

例4已知x,y,z均為大于0的實(shí)數(shù),且2x＝3y＝log5z,則x,y,z大小關(guān)系正確的是( ).

A.x＞y＞zB.x＞z＞y

C.z＞x＞yD.z＞y＞x

解析因?yàn)閤,y,z均為大于0的實(shí)數(shù),所以2x＝3y＝log5z＝t＞1,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝2x,y＝3x,y＝log5x與直線y＝t＞1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系,作出函數(shù)圖像,如圖1所示,由圖可知z＞x＞y,故選C.

圖1

點(diǎn)評本題本質(zhì)上是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝2x,y＝3x,y＝log5x與直線y＝t＞1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系.

5 構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)

當(dāng)待比較的三個(gè)數(shù)值沒有共同特征時(shí),一般采用作差(或作商)法比較,這里往往需要根據(jù)作差(或作商)后的式子來構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)來研究該函數(shù)的單調(diào)性或最值.

令g(x)＝(1＋x)1.2－ex,則g′(x)＝1.2(1＋x)0.2－ex,g″(x)＝0.24(1＋x)－0.8－ex.因?yàn)間″(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,且g″(0)＝0.24－1＜0,所以當(dāng)x＞0時(shí),g″(x)＜0,g′(x)單調(diào)遞減,因?yàn)間′(0)＝1.2－1＞0,g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2,要比較1.21.2與e0.2的大小,就比較ln1.21.2與lne0.2的大小,即比較1.2ln1.2 與0.2 的大小.令h(x)＝(1＋x)ln(1＋x)－x(x＞0),則h′(x)＝ln(1＋x)＞0,所以h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,h(x)＞h(0)＝0,當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),(1＋x)ln(1＋x)＞x,所以1.2ln1.2＞0.2,則1.21.2＞e0.2,所以g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2＞0,所以當(dāng)x∈(0,0.2)時(shí),g′(x)＞0,所以g(x)單調(diào)遞增,g(x)＞g(0)＝0,則(1＋x)1.2＞ex,所以(1＋0.02)1.2＞e0.02,即z＞x,所以z＞x＞y,則c＞a＞b,故選D.

點(diǎn)評本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小,解題的關(guān)鍵是對已知的數(shù)變形,然后合理構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

其實(shí),求解這類比較大小問題,沒有統(tǒng)一的固定模式和解題思路,只有具體問題具體分析,除了上文提到的幾種策略外,還可能用到特殊值法、估算法和放縮法等,可謂方法靈活多樣.

(完)