利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

劉 爽

(杭州蕙蘭未來科技城學(xué)校)

處理有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)(也就是方程的實(shí)數(shù)根)問題時,往往需要借助導(dǎo)數(shù)知識加以靈活分析,充分體現(xiàn)了“導(dǎo)數(shù)”是分析、解決函數(shù)零點(diǎn)問題的有力工具.本文結(jié)合高考真題加以剖析,旨在說明常見考查題型及其求解思路,進(jìn)而提高讀者求解此類問題的能力.

1 根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù),求參數(shù)的取值范圍

若題目給出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù),則往往可在求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上,靈活采用數(shù)形結(jié)合的方法,構(gòu)建含有參數(shù)的不等式(或不等式組)求解問題.

例1(2014年全國Ⅰ卷理11)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0＞0,則a的取值范圍為( ).

A.(2,＋∞) B.(1,＋∞)

C.(－∞,－2) D.(－∞,－1)

解析當(dāng)a＝0時,f(x)＝－3x2＋1,顯然有兩個零點(diǎn),故不符合題意.

當(dāng)a≠0時,易知f′(x)＝3x(ax－2).

若a＞0,令f′(x)＞0,得x＜0 或x＞;令f′(x)＜0,得0＜x＜. 于是,函數(shù)f(x)在(－∞,0)和(,＋∞)上單調(diào)遞增.又注意到f(0)＝1,f(－1)＝－a－2＜0,據(jù)此畫出函數(shù)f(x)的大致圖像,如圖1所示.由圖可知f(x)在(－∞,0)上有零點(diǎn),這與題設(shè)條件“f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0＞0”矛盾.

圖1

圖2

綜上,a的取值范圍為(－∞,－2),故選C.

點(diǎn)評本題側(cè)重考查“分類與整合思想”“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的綜合運(yùn)用,求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性.

2 考查方程的實(shí)根個數(shù)問題

一般地,方程f(x)＝0的實(shí)根個數(shù)是函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù),也就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù),所以可靈活運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題.

例2(2013 年安徽卷理10)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)＝x1,則關(guān)于x的方程3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個數(shù)是( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

解析易知f′(x)＝3x2＋2ax＋b,依題意可知x1,x2是方程3x2＋2ax＋b＝0 的兩個實(shí)根.當(dāng)x1＜x2時,易 知x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x2是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),又注意到f(x1)＝x1,因此可在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f(x),直線y＝x1,y＝x2的圖像,如圖3所示.由圖可知f(x)＝x1有2個不同的實(shí)根,f(x)＝x2有1個實(shí)根,從而共有3個不同的實(shí)根.

圖3

當(dāng)x1＞x2時,易知x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),又注意到f(x1)＝x1,因此可在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x),直線y＝x1,y＝x2的圖像,如圖4 所示.由圖可知f(x)＝x1有2個不同的實(shí)根,方程f(x)＝x2有1個實(shí)根,從而共有3個不同的實(shí)根.

圖4

綜上,關(guān)于x的方程3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個數(shù)是3,故選A.

點(diǎn)評本題具有一定的難度,對考生分析、解決問題的能力要求較高,求解的關(guān)鍵在于兩點(diǎn):一是實(shí)施“換元”變形、靈活轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題;二是綜合運(yùn)用“分類與整合思想”“數(shù)形結(jié)合思想”以及“轉(zhuǎn)化思想”巧解題.

3 證明函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)

一般地,若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),且滿足f(a)f(b)＜0,則函數(shù)f(x)在(a,b)上存在唯一的零點(diǎn)(即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)＝0).

例3(2019年全國Ⅰ卷理20)已知函數(shù)f(x)＝sinx－ln(x＋1),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:

(1)f′(x)在(－1,)上存在唯一極大值點(diǎn);

(2)f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

(2)易知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,＋∞).

當(dāng)x∈(－1,0]時,由(1)知f′(x)在(－1,0]上單調(diào)遞增,又f′(0)＝0,所以在(－1,0)上,f′(x)＜0,從而f(x)單調(diào)遞減,又f(0)＝0,因此,在(－1,0]上,f(x)有唯一零點(diǎn),且零點(diǎn)為0.

當(dāng)x∈[π,＋∞)時,因為sinx≤1,ln(x＋1)＞1,所以f(x)＜0,從而f(x)在[π,＋∞)上無零點(diǎn).

綜上,f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

點(diǎn)評本題難度較大,第(1)問涉及“二次求導(dǎo)”技巧的應(yīng)用,同時又引入了函數(shù)g′(x)的“隱零點(diǎn)”,便于目標(biāo)問題的求解;第(2)問需要在明確函數(shù)定義域的基礎(chǔ)上,靈活運(yùn)用“分類與整合思想”解題,其中當(dāng)x∈(0,]時,對函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況的分析是難點(diǎn),需要引入函數(shù)f′(x)的“隱零點(diǎn)”,便于突破目標(biāo)問題.

本文通過歸類舉例的形式闡明利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,有利于強(qiáng)化求導(dǎo)技巧在解題中的靈活運(yùn)用,鞏固“分類與整合思想”“數(shù)形結(jié)合思想”以及“轉(zhuǎn)化思想”的綜合運(yùn)用,進(jìn)一步理解、體驗函數(shù)“隱零點(diǎn)”應(yīng)用,有助于目標(biāo)問題的順利獲解.

(完)