基于數(shù)據(jù)意識(shí)進(jìn)階的“平均數(shù)”單元整體教學(xué)

宋煜陽(yáng)　陳金波

【編者按】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中將原來(lái)的“數(shù)據(jù)分析觀念”細(xì)分成了“數(shù)據(jù)意識(shí)”與“數(shù)據(jù)觀念”，明確要求：在小學(xué)階段，學(xué)生要形成對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟，初中階段則要形成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)屬性的清晰認(rèn)識(shí)。從中體現(xiàn)出學(xué)生核心素養(yǎng)的整體性、一致性與階段性。教師需要在教學(xué)中重視對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)的培養(yǎng)，幫助學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，掌握數(shù)據(jù)的表達(dá)方式等。那么，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)的教學(xué)如何實(shí)施？本期專輯一起探討。

【摘 要】“平均數(shù)”單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，要基于數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)表現(xiàn)，強(qiáng)化教學(xué)中學(xué)生對(duì)平均數(shù)的代表性、統(tǒng)計(jì)意義的過(guò)程體驗(yàn)和實(shí)踐探索。通過(guò)“平均數(shù)的代表性與計(jì)算—平均數(shù)特點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用—平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義與綜合實(shí)踐”的單元整體教學(xué)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解從算法水平向概念水平、統(tǒng)計(jì)水平進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)表現(xiàn)的認(rèn)知進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】單元整體教學(xué) 數(shù)據(jù)意識(shí) 平均數(shù)

一、平均數(shù)的數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)的主要表現(xiàn)

平均數(shù)的數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)表現(xiàn)，需要基于數(shù)據(jù)意識(shí)的內(nèi)涵在平均數(shù)統(tǒng)計(jì)作用、理解水平兩個(gè)層面來(lái)分析。

平均數(shù)具有描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)的作用。從描述統(tǒng)計(jì)作用角度來(lái)說(shuō)，平均數(shù)被用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的平均水平或整體水平，以“代表性”反映了“對(duì)數(shù)據(jù)的意義感悟”“知道同一組數(shù)據(jù)可以用不同方式表達(dá)”的數(shù)據(jù)意識(shí)內(nèi)涵。從推斷統(tǒng)計(jì)作用角度來(lái)說(shuō)，平均數(shù)具有推斷、預(yù)測(cè)功能，能根據(jù)平均數(shù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，知道每個(gè)數(shù)據(jù)波動(dòng)會(huì)引起平均數(shù)的變化，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不能百分之百正確，以“隨機(jī)性”反映了“只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”“形成數(shù)據(jù)意識(shí)有助于理解生活中的隨機(jī)現(xiàn)象”的數(shù)據(jù)意識(shí)內(nèi)涵。

平均數(shù)的理解主要包括算法水平、概念水平和統(tǒng)計(jì)水平三個(gè)層次。算法水平主要表現(xiàn)為利用“求和均分”“移多補(bǔ)少”等方法計(jì)算出一組數(shù)據(jù)的平均值，是理解平均數(shù)的重要基礎(chǔ)。概念水平主要表現(xiàn)為知道平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體（平均）水平的量值，它介于最大數(shù)與最小數(shù)之間，平均數(shù)具有容易受極端數(shù)據(jù)影響等特點(diǎn)。統(tǒng)計(jì)水平主要表現(xiàn)為體會(huì)平均數(shù)作為“代表”的合理性，根據(jù)實(shí)際需求和數(shù)據(jù)特點(diǎn)建立聯(lián)系，感受數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，平均數(shù)可以幫助人們對(duì)事件作出預(yù)測(cè)和判斷，但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“翻車”的意外，并非所有情境都適合用平均數(shù)作為代表。平均數(shù)的理解層次，也反映了“數(shù)據(jù)的意義感悟”“形成數(shù)據(jù)意識(shí)”等數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)內(nèi)涵的不同水平。

簡(jiǎn)要地說(shuō)，平均數(shù)的數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)表現(xiàn)主要指向平均數(shù)的代表性、區(qū)間性與敏感性、隨機(jī)性三個(gè)維度。

二、平均數(shù)的單元學(xué)習(xí)目標(biāo)與整體教學(xué)實(shí)施

（一）課標(biāo)啟示與單元學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在多處指明了平均數(shù)教學(xué)的意義與重要性。其中，“理解平均數(shù)的意義”“探索平均數(shù)的意義”，強(qiáng)調(diào)了教學(xué)中要重視學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義形成過(guò)程的理解；“用平均數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題”，強(qiáng)調(diào)了數(shù)據(jù)描述的現(xiàn)實(shí)意義；“知道平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義”“要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中理解平均數(shù)所具有的代表性”，則明確了“代表性”是學(xué)生理解平均數(shù)意義的重點(diǎn)，重視對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)水平的理解。

因此，“平均數(shù)”主題單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以設(shè)定為：（1）在具體情境中理解平均數(shù)的意義，理解并體會(huì)平均數(shù)具有代表性；知道并體會(huì)平均數(shù)區(qū)間性、敏感性等特點(diǎn)。（2）會(huì)計(jì)算平均數(shù)，能用平均數(shù)的知識(shí)解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。探索平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，能運(yùn)用平均數(shù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題做一些簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)推斷分析。（3）感受樣本數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)能表達(dá)總體數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。體會(huì)平均數(shù)在生活生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用，了解平均數(shù)在數(shù)據(jù)描述中的適用性，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。

（二）單元學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分與課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)定位

筆者通過(guò)前測(cè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在選取一組數(shù)據(jù)的代表時(shí)，偏向于最高值與中間數(shù)，對(duì)于不在數(shù)據(jù)中的平均數(shù)選用比例較低。再由常態(tài)課的后測(cè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)平均數(shù)含義的算法理解、概念理解明顯優(yōu)于統(tǒng)計(jì)意義理解。為此，“平均數(shù)”單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成，需要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的代表性、統(tǒng)計(jì)意義的過(guò)程體驗(yàn)和實(shí)踐探索。筆者打破了常態(tài)化“一節(jié)新授課+一節(jié)練習(xí)課”的單元內(nèi)容組合思路，把學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分為“平均數(shù)的代表性與計(jì)算”“平均數(shù)特點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用”“平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義理解與綜合實(shí)踐”三個(gè)課時(shí)，每個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)定位如下表所示。通過(guò)單元整體教學(xué)，促使學(xué)生對(duì)平均數(shù)含義的理解從算法水平、概念水平向統(tǒng)計(jì)水平進(jìn)階，數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)表現(xiàn)在側(cè)重平均數(shù)的區(qū)間性、敏感性的基礎(chǔ)上向代表性、隨機(jī)性全面進(jìn)階。

（三）課時(shí)學(xué)習(xí)表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施

第一課時(shí)：平均數(shù)的代表性與計(jì)算。

【學(xué)習(xí)路徑】先通過(guò)“尋找一組身高數(shù)據(jù)的代表數(shù)”活動(dòng)，激活學(xué)生的數(shù)據(jù)代表經(jīng)驗(yàn)，了解平均數(shù)的算法、含義和特點(diǎn)，初步認(rèn)識(shí)平均數(shù)的代表性；再通過(guò) “尋找兩組踢毽子比賽數(shù)據(jù)的代表數(shù)”活動(dòng)，體會(huì)平均數(shù)作為代表的必要性；最后通過(guò)“60米跑步訓(xùn)練中的平均數(shù)”“旅游景區(qū)中的平均數(shù)”等任務(wù)內(nèi)化鞏固，進(jìn)一步理解平均數(shù)的代表性。

【活動(dòng)實(shí)施】

1.尋找一組身高數(shù)據(jù)的代表數(shù)。

（1）引入。聊聊自己的身高在小組、全班處于怎樣的水平。

（2）尋找代表數(shù)。給出第一大組7位男生的身高數(shù)據(jù)“138、141、142、141、143、141、148”，討論：如果用一個(gè)數(shù)去代表這組男生的整體身高水平，你覺(jué)得哪個(gè)數(shù)合適？

（3）反饋交流。學(xué)生得出的代表數(shù)有：最大數(shù)148，眾數(shù)141，中間數(shù)141和142，平均數(shù)142。邀請(qǐng)學(xué)生介紹得到代表數(shù)的思考過(guò)程，其中平均數(shù)的“求和均分”算法、“移多補(bǔ)少”算法結(jié)合直觀圖進(jìn)行解讀。說(shuō)說(shuō)平均數(shù)“142”表示的含義。

（4）挑選代表數(shù)。圍繞最大數(shù)、眾數(shù)、中間數(shù)、平均數(shù)，討論：哪個(gè)數(shù)代表這組同學(xué)身高整體水平更合適？ 得出，最大數(shù)只代表最高水平，不能代表整體水平；眾數(shù)、中間數(shù)、平均數(shù)都可以代表整體水平，平均數(shù)更勻稱更合適。

（5）感知平均數(shù)特點(diǎn)。討論：平均數(shù)與其他代表數(shù)（眾數(shù)、中間數(shù)）相比，有什么不同？平均數(shù)“142”和這組數(shù)據(jù)中的“142”含義一樣嗎？

2.尋找兩組踢毽子比賽數(shù)據(jù)的代表數(shù)。

（1）尋找代表數(shù)。踢毽子比賽中男生隊(duì)5個(gè)同學(xué)的數(shù)據(jù)“19、15、16、20、15”，女生隊(duì)4個(gè)同學(xué)的數(shù)據(jù)“19、23、16、14”，哪支隊(duì)伍的成績(jī)更好？寫出你的思考過(guò)程。

（2）反饋交流評(píng)價(jià)。對(duì)“比總數(shù)”“比最多的”“比較平均數(shù)”進(jìn)行分析，得出“用平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的整體水平比較合適”的結(jié)論。

（3）討論平均數(shù)算法的含義。追問(wèn)：計(jì)算平均數(shù)時(shí)，為什么男生隊(duì)除以5，女生隊(duì)卻除以4？

3.歸納小結(jié)平均數(shù)的代表性。

問(wèn)：你對(duì)平均數(shù)有哪些認(rèn)識(shí)？特別指出：平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)整體水平的常用代表。

4.60米跑步訓(xùn)練中的平均數(shù)。

出示聰聰連續(xù)5天參加60米跑步訓(xùn)練的成績(jī)，分別為14秒、15秒、12秒、10秒、14秒，他的平均成績(jī)是多少？估一估，算一算，說(shuō)一說(shuō)。交流討論：平均成績(jī)?cè)谀膫€(gè)范圍？沒(méi)有一天跑出13秒，為什么可以用來(lái)代表平均成績(jī)？

5. 旅游景區(qū)中的平均數(shù)。

給出溪口旅游景區(qū)國(guó)慶長(zhǎng)假期間平均每天接待游客數(shù)量（人次）：2018年16.38萬(wàn)人次，2019年20.56萬(wàn)人次。判斷說(shuō)理：（1）2018年10月1日的游客人數(shù)一定比2019年10月1日少嗎？（2）2019年國(guó)慶節(jié)游客人數(shù)一定比2018年國(guó)慶節(jié)多嗎？

第二課時(shí)：平均數(shù)特點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用。

【學(xué)習(xí)路徑】通過(guò)生活實(shí)際問(wèn)題進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)的特點(diǎn)和適用性?！霸u(píng)分問(wèn)題”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響，體會(huì)其敏感性；“座位與身高問(wèn)題”需借助平均數(shù)和個(gè)體數(shù)據(jù)進(jìn)行辨析，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平均數(shù)的敏感性；“推選隊(duì)員問(wèn)題”幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到根據(jù)實(shí)際問(wèn)題合理使用平均數(shù)來(lái)進(jìn)行決策分析。

【活動(dòng)實(shí)施】

1.評(píng)分問(wèn)題。

（1）問(wèn)題引入。學(xué)校組織合唱比賽，四（1）班和四（2）班的評(píng)分情況如下表所示，哪個(gè)班的成績(jī)好？

（2）交流辨析。計(jì)算得出四（1）班平均成績(jī)86分、四（2）班平均成績(jī)84.9分的基礎(chǔ)上，引發(fā)對(duì)極端數(shù)據(jù)“96”“75”的討論，指出：“平均數(shù)”很敏感，容易受極端數(shù)據(jù)的影響而產(chǎn)生較大的變化。通常在比賽評(píng)分時(shí)會(huì)去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，然后取平均數(shù)。

2.座位與身高問(wèn)題。

（1）出示座位圖（圖略），提問(wèn)：你認(rèn)為第一組的平均身高和第一排的平均身高相比，哪個(gè)高？說(shuō)明理由。判斷說(shuō)理后，給出表3、表4，組織學(xué)生計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。

（2）小明是這個(gè)班的學(xué)生，身高134 cm。根據(jù)以上3個(gè)表格中的信息，你認(rèn)為小明在班級(jí)里是偏高還是偏矮？說(shuō)明理由。

（3）新學(xué)期轉(zhuǎn)進(jìn)一個(gè)新同學(xué)，全班平均身高會(huì)發(fā)生什么變化？

3.推選隊(duì)員問(wèn)題。

根據(jù)兩個(gè)隊(duì)員七天訓(xùn)練得分情況，你會(huì)選擇哪一個(gè)隊(duì)員參加比賽？

第三課時(shí)：平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義理解與綜合實(shí)踐。

【學(xué)習(xí)路徑】圍繞“數(shù)據(jù)得到的過(guò)程”“決策原因”兩個(gè)核心問(wèn)題，讓學(xué)生在三個(gè)真實(shí)情境中經(jīng)歷大數(shù)據(jù)抽樣調(diào)查和分析決策過(guò)程，體會(huì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義；在此基礎(chǔ)上給出課外實(shí)踐調(diào)查問(wèn)題，讓學(xué)生在具身體驗(yàn)中加深對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解。

【活動(dòng)實(shí)施】

1. 寧波地鐵兒童免費(fèi)新規(guī)問(wèn)題。

在新的《寧波市軌道交通乘客守則》里，身高不滿1.3米的兒童乘車時(shí)可以免票。討論：“1.3米”免票線是怎樣制訂的？免票身高會(huì)從1.2米增長(zhǎng)到1.3米的原因是什么？

2.人均壽命問(wèn)題。

據(jù)一項(xiàng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，2021年寧波市人均預(yù)期壽命是82.40歲。李奶奶今年80歲了，看到這個(gè)消息，心里可焦慮了，你想對(duì)李奶奶說(shuō)些什么？2021年寧波市人均預(yù)期壽命82.40歲，這個(gè)數(shù)據(jù)是怎么得到的？寧波市人均預(yù)期壽命不斷在提高，壽命增長(zhǎng)的原因是什么？

3.人均課外閱讀量問(wèn)題。

“全國(guó)國(guó)民閱讀調(diào)查”顯示：我國(guó)小學(xué)生的人均課外閱讀量2011年為7.3本，2013年為8.3本，2020年為10.71本。人均課外閱讀量是怎樣得到的？預(yù)測(cè)一下2023年人均課外閱讀量，說(shuō)說(shuō)你的想法。

4.課外調(diào)查實(shí)踐問(wèn)題。

（1）調(diào)查記錄自己一周內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時(shí)間，用圖表、平均數(shù)表達(dá)上學(xué)的平均時(shí)間。

（2）調(diào)查能夠體現(xiàn)我國(guó)社會(huì)發(fā)展或科技進(jìn)步的實(shí)例，運(yùn)用平均數(shù)加以分析與評(píng)價(jià)。

三、平均數(shù)的單元學(xué)習(xí)表現(xiàn)性任務(wù)測(cè)評(píng)與分析

筆者選擇的測(cè)評(píng)對(duì)象為鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校四年級(jí)的2個(gè)班，實(shí)驗(yàn)班以前文分析的三課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，對(duì)照班根據(jù)人教版教材進(jìn)行教學(xué)。平均數(shù)的表現(xiàn)性任務(wù)測(cè)評(píng)圍繞平均數(shù)的代表性、區(qū)間性與敏感性、隨機(jī)性展開(kāi)。

針對(duì)平均數(shù)的代表性、區(qū)間性與敏感性，筆者設(shè)計(jì)了一組以“某學(xué)校四年級(jí)各班參加‘愛(ài)閱讀書香班級(jí)評(píng)選”為情境的表現(xiàn)性任務(wù)：兩張統(tǒng)計(jì)表，表1給出各班最低、最高年閱讀量和班級(jí)人數(shù)；表2給出各班年閱讀量分段的統(tǒng)計(jì)。問(wèn)題1求某班年平均閱讀量；問(wèn)題2給出某班原來(lái)年平均閱讀量和新轉(zhuǎn)來(lái)一個(gè)同學(xué)的年閱讀量，判斷現(xiàn)在班級(jí)的年平均閱讀量；問(wèn)題3給出某班一個(gè)同學(xué)的閱讀量，分析他在班級(jí)、年級(jí)里閱讀量的水平高低。數(shù)據(jù)顯示，實(shí)驗(yàn)班對(duì)平均數(shù)的區(qū)間性（問(wèn)題1）、敏感性（問(wèn)題2）和代表性（問(wèn)題3）的理解程度都優(yōu)于對(duì)照班，其中平均數(shù)的代表性更為明顯。

平均數(shù)隨機(jī)性，筆者設(shè)計(jì)了以“李明20次投籃成績(jī)統(tǒng)計(jì)”為情境的表現(xiàn)性任務(wù)：提供李明投籃成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖（數(shù)據(jù)集中在12個(gè)、14個(gè)），問(wèn)題為“李明第21次投籃可能會(huì)投進(jìn)幾個(gè)，最有可能是幾個(gè)（選項(xiàng)為5、13、15、20）”。認(rèn)為第21次投進(jìn)個(gè)數(shù)四個(gè)選項(xiàng)都有可能，實(shí)驗(yàn)班占比明顯高于對(duì)照班。對(duì)于“最有可能”選項(xiàng)，實(shí)驗(yàn)班從平均數(shù)角度思考的占比更高；從投籃技術(shù)越來(lái)越穩(wěn)定角度思考的，實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班的數(shù)據(jù)相近。

基于上述數(shù)據(jù)分析顯示，教學(xué)實(shí)施后學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)了進(jìn)階發(fā)展，表明“平均數(shù)的代表性與計(jì)算—平均數(shù)特點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用—平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義理解與綜合實(shí)踐”的單元整體教學(xué)是合理可行的。

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［3］章勤瓊.計(jì)算平均成績(jī)是否合適——小學(xué)階段統(tǒng)計(jì)量教學(xué)的一些思考［J］.教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（01，02）：95-98.

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［5］宋煜陽(yáng)，劉加霞，沙國(guó)祥.求實(shí)達(dá)理，不斷推進(jìn)“學(xué)習(xí)進(jìn)階”研究——宋煜陽(yáng)老師訪談錄［J］.教育視界，2022（29）：31-38，30.