再談圓錐曲線焦點弦長的統一公式

一、問題的提出

例1 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求|AB|+|DE|的最小值.

該例題是普通高中教科書《數學選擇性必修第一冊》（湖南教育出版社，2019年第1版）課本P149習題3.3的第12題，原題則出自2017年高考全國數學理科I卷.原題作為選擇題，有不少資料上都利用了拋物線焦點弦的弦長公式來給出簡解，過程如下：

解析：不妨設l1的傾斜角為α（0<α<π2），則l2的傾斜角為α+π2，|AB|=4sin2α，|DE|=4sin2（α+π2）=4cos2α，故|AB|+|DE|=4（1sin2α+1cos2α）=16sin22α≥16，|AB|+|DE|的最小值為16，當且僅當α=π4時等號成立．

這里拋物線的焦點弦長公式指的是：若拋物線的焦點到準線的距離為p，過焦點的弦AB與對稱軸的夾角為α，則弦長|AB|=2psin2α．進一步地，該結論可以推廣到任意圓錐曲線，即：若圓錐曲線的一個焦點到相應準線的距離為p，且過該焦點的弦AB與焦點所在的對稱軸的夾角為α，則弦長|AB|=2ep|1－e2cos2α|，其中e為該圓錐曲線的離心率．這就是圓錐曲線焦點弦長的統一公式，是一個在各級資料上比較常見的二級結論．

上述解析利用公式邏輯清晰，目標明確，過程簡潔有效．在學生掌握了這個二級結論的前提下，作為選擇題的解法無可厚非．只是例1作為解答題，這個直接利用二級結論的解答過程就明顯不夠嚴謹了．筆者曾在高三某個班級利用該題做了一個小測驗，結果發現該班不少優秀的同學光知道利用二級結論進行所謂“秒殺”，規范的解答過程反而不知道怎么書寫了，不是缺步就是跳步，這不禁讓筆者憂心不已．高三復習該不該任由學生去記憶類似的二級結論呢？二級結論是否會影響學生對數學的學習？筆者不禁陷入了思索與困惑．

二、問題的思考

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》針對平面解析幾何內容，對學生提出了具體的學業要求．即能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程；根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題．同時對高考命題原則，《課標》明確指出：考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧；融入數學文化．由此可見，強調利用二級結論來解題，會讓學生陷入強化解題技巧的誤區，也會使學生忽視數學的本質，甚至會因此而對數學興趣索然．那二級結論是不是都沒有積極作用？教師是不是要制止學生去鉆研、理解二級結論呢？為此，筆者專門和一些成績優秀的同學做了交流，其中有幾個學生反映以前在考試時經常會因方法的選擇不當、本身計算能力的不足等原因，導致成績一直不夠理想，而在掌握并能熟練使用一些二級結論后，對數學解題（特別是選擇題或填空題）有了較大的信心，不僅提高了解題速度，而且解題的準確率也有一定的提升，成績自然也更加突出．

四、結語

以上通過對圓錐曲線的焦點弦長的統一公式的教學，舉一反三，給沉悶的數學教學注入了一絲活力，提升了學生的學習興趣，調動了學生的積極性，從而提高了課堂教學效率和教學質量，同時也發展了學生的邏輯推理、數學運算等核心素養.著名數學教育家波利亞曾說過：“解題可以是人的最富有特征性的活動，假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應該在所做的題目當中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時，能起到指導的作用.”筆者認為，二級結論其實就是所謂的“特征”，是對一些重要的數學概念、定理、性質等進行的深入總結，它可以有意識的引導學生從結論中發現解題思路，從證明中完善解題過程．要達到這樣的正面效果就要求教師要指導學生知其然更要知其所以然．數學題目是永遠做不完的，如果學生能適當掌握一些二級結論，就能解決更多相應的問題，這確實會大大提升學習效率.當然這里教師也要對二級結論進行篩選，指導學生去粗取精，避免學生陷入泥潭．

參考文獻

［1］張景中，黃步高．普通高中教科書數學選擇性必修第一冊［M］．湖南：湖南教育出版社，2019．

［2］林秋林．圓錐曲線焦點弦長的統一公式［J］．數理天地（高中版），2018（9）．