“新定義問題”教學的思考與實踐

劉攀坤 _ 北京師范大學附屬中學

問題研究

新高考的一個重大變化是從能力立意向素養(yǎng)導向的轉(zhuǎn)變。素養(yǎng)導向不僅強調(diào)知識和智力，更強調(diào)知識的遷移和后天的習得。“新定義問題”就是一類典型的檢驗學生數(shù)學素養(yǎng)達成水平的數(shù)學問題。“新定義問題”的顯著特征是“新”“活”和“抽象”。“新”主要體現(xiàn)在情境和立意新穎；“活”主要體現(xiàn)在數(shù)學思維靈活，沒有固定的思維模式；“抽象”主要體現(xiàn)在用抽象的數(shù)學符號給出新定義，問題也更加抽象。“新定義問題”不僅對學生的學提出要求，也對教師的教提出了更高要求。借名師工作室交流的機會，在聞巖老師指導下，筆者搜集大量相關資料，并和名師工作室其他成員一起溝通交流，進行了一些關于“新定義問題”在組織教學以及組織學生學習方面的思考和實踐。

1.幫助學生克服對抽象數(shù)學符號的恐懼感，提升數(shù)學閱讀能力

因為“新定義問題”本身以及參考解答基本全是抽象的數(shù)學符號語言，很多學生表示看不懂。為了解決這個問題，教師可以選取若干典型的、難度適中的“新定義問題”，每個問題制作成一張卡片，卡片正面只呈現(xiàn)新定義和簡單的問題，卡片背面提供第2問的比較典型的求解方法。第1問可以多給出一些具體的例子，希望學生通過具體例子的分析加深對“新定義問題”的理解。第2問可以適當分解問題，設計兩個或多個遞進的小問題，減少學生的思維障礙。教學中，先給學生一段時間思考這兩個問題，然后，師生、生生交流，可以讓部分學生展示自己的想法，教師點評，并引導學生換個角度看問題。最后，讓學生閱讀卡片背面的解答過程，適當做一些批注，思考參考解答和自己的方法的異同，思考自己心中的疑惑是否已經(jīng)解答，最后進行歸納總結(jié)。通過給學生提供恰當?shù)膶W習資源，以“獨立思考+閱讀訓練”的教學形式，幫助學生克服對數(shù)學符號的恐懼，提升數(shù)學閱讀能力。

2.讓學生在問題探究中積累一些基本方法和研究思路

“新定義問題”的解決常涉及一些學生并不熟悉的方法，如枚舉法、反證法、奇偶性分析、數(shù)學歸納法，等等。很多學生經(jīng)常說：“這種方法怎么想到的？太巧妙了吧，我怎么想不到！”這主要是因為積累不夠，對“新定義問題”的思維方式不了解。教師要注意問題的典型性和層次性，在進行教學設計時應思考如何以一種深入淺出的方式把問題的探究過程完整呈現(xiàn)出來，同時，教師還要適時設問，調(diào)動學生課堂參與的積極性，在研究問題的過程中尊重學生合理的和不合理的思路。通過精心設問，適當留白，給學生足夠的思維訓練，讓學生在不斷的嘗試和探索中積累一些基本方法和研究思路，在歸納、總結(jié)、反思中將這些基本方法和研究思路內(nèi)化于心。

3.引導學生用聯(lián)系的眼光看問題，培養(yǎng)數(shù)學直覺和“猜測+檢驗”的能力

“新定義問題”往往采用不斷進階的設問方式來考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。教師在教學中要引導學生用聯(lián)系的眼光看問題。教師在教學時要引導學生重視第1問，挖掘第1問所蘊含的更深刻的內(nèi)容，如能否結(jié)合具體例子，重新?lián)Q一種比較簡單的或比較形象的描述方式理解新定義，這往往對后面的問題解決很有幫助。第2問是第1問的延伸，很多學生對第2問無從下手，這時，可以讓學生從以下幾個角度進行思考：枚舉一下前幾項；舉個具體例子；用具體例子理解第2問，并思考能否從中得到啟發(fā)；能不能用第1問得出的新定義的簡化形式理解第2問；能不能嘗試得出一些猜想，再用邏輯推理論證猜想。這些思考的目的是鍛煉學生的數(shù)學直覺和猜想能力。教師應引導學生回歸“新定義問題”本身，挖掘本質(zhì)，鼓勵學生大膽嘗試，大膽猜想，小心論證，從多個角度對問題進行分析，不斷進行歸納總結(jié)和反思。第3問難度比較大，教師可以適當分解問題以降低難度，還可以引導學生思考能否借助前面的結(jié)論分析第3問，能否借助特殊情況先猜后證，等等。數(shù)學是用直覺和猜測來發(fā)現(xiàn)的，邏輯的功能是保證發(fā)現(xiàn)的正確性。邏輯推理很重要，但對于“新定義問題”，數(shù)學直覺和“猜測+檢驗”往往是打開解題局面的入口。在教學實踐中，要注意培養(yǎng)學生數(shù)學直覺和“猜測+檢驗”的能力。

4.豐富和完善“新定義問題”學習資源，增加師生交流的機會

對于“新定義問題”，教師應該從高一年級開始就讓學生接觸。例如，高一可以選擇以集合和函數(shù)為背景的“新定義問題”，高二可以選擇以集合、數(shù)表和數(shù)列為背景的“新定義問題”。另外，學生只利用課上的時間學習和鉆研是遠遠不夠的，還需要在課下加強師生交流。對于一些對“新定義問題”比較感興趣的學生，教師還可以每周布置一道“新定義問題”，每周定期采用討論班的形式進行交流，由學生主講，其余學生補充，教師點評。課后，請主講學生把討論的內(nèi)容整理出來，建立學習資源庫。教師可以編寫一些關于“新定義問題”的學習材料，其中不僅包括常見方法的歸納總結(jié)，還有典型問題的詳細分析（尤其重點分析第1問和第2問的詳細思考過程），讓學生進行鉆研和交流，要求學生對每一道題都要做出適當?shù)呐ⅲ缈偨Y(jié)問題突破口是什么、采用的方法有哪些、新定義的內(nèi)涵是什么、困惑是什么，等等。最后，把討論班整理的內(nèi)容和教師編寫的學習資料整合起來，建立一個適合學生反復研讀的學習資源庫，形成單元學習資源，這對學生的學和教師的教都很有幫助。

聞巖老師點評

數(shù)學教學中的“單元教學”，其實質(zhì)強調(diào)的是整體設計與實施教學，即提倡整體教學觀，在整體視角下確定教學目標，設計教學情境，把握課程內(nèi)容，選擇教學方法，以促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。“單元學習”與“單元教學”同樣重要，通過開發(fā)典型的單元學習資源，讓學生自主閱讀、理解、交流學習數(shù)學的體會，是一種需要探索的單元學習方式。

劉老師的教學思考和實踐，給我們提供了教師書寫學習資源并利用資源指導學生學習的案例。上面的學習資源不是習題集，而是典型問題的梳理，研究過程不僅僅是解題，也是對數(shù)學思維方法的探索。事實上，適合學生自己閱讀學習，也需要學生反復理解、再認識的學習內(nèi)容都可以形成單元學習資源。學習資源既可以供學生在單元學習時使用，也可以供教師在單元教學中使用，甚至學生也可以參與到資源整理的過程之中。上述探索，一方面可以推進課程標準中提出的“理解”“整體把握”“核心素養(yǎng)培養(yǎng)”的策略研究；另一方面，也可以從一定程度上改變“學生手中的學習材料只有習題集”的現(xiàn)象，在改變學生學習數(shù)學的方式方面做出進一步嘗試。