光電法受迫振動實驗的研究與應用

張雅男， 艾真珍， 劉 通， 魏子韜， 錢黎明

（南京信息工程大學a.工程訓練中心；b.長望學院；c.物理與光電工程學院，南京 210044）

0 引言

振動是自然界及人類生產實踐中經常發生的一種普遍運動形式，機械振動則是指物體在某一確定位置附近做來回往復的運動。振動系統在弱阻尼力和一個連續的周期性外力作用下進行的振動，即受迫振動［1］。在日常生活中，如熱礦篩之類的篩分設備，振動輸送機類的輸送設備等，都是利用了受迫振動的特點。但同時，受迫振動也有很多危害，比如橋梁、車軌、高大建筑等的受迫振動，會影響建筑的安全性，甚至危害人體生命安全［2-3］。所以，對物體的受迫振動觀測與研究非常必要。

近代物理實驗中利用玻爾共振儀進行受迫振動規律的研究。通過電機周期性對擺輪施加推力，能夠測量得到擺輪受迫振動的幅頻特性和相頻特性［4］。雖然玻爾共振儀能夠看到金屬圓盤的受迫振動，但在日常生活中，大多數受迫振動是由肉眼無法辨別的。只有當受迫振動的振幅達到最大，即共振，才能容易觀察到。與玻爾共振相比，本實驗以更常見的玻璃杯為對象，通過聲波使其受迫振動。利用光杠桿將玻璃杯的微小振動放大，用圖像分析測量其振幅、用光電轉換測量振動頻率。在觀察玻璃杯的受迫振動、共振現象的同時，還可以測量得到玻璃杯受迫振動的幅頻特性曲線。

1 受迫振動

1.1 受迫振動的理論模型

1983 年，學者French［5］利用微元法推導出空玻璃杯以及玻璃杯充入一定液體后，固有頻率的理論計算方法。將玻璃杯簡化為空圓柱模型［6］，當空杯子在周期性外力作用下進行受迫振動時，空玻璃杯的杯壁微元振動方程可寫為［7］

式中：η為圓柱形玻璃杯形變；η0玻璃杯的最大形變；ω為周期性外力的圓頻率；t為時間。玻璃杯的總能量

式中：K為動能；U為彈性勢能；A、B為常數。由式（1）、（2）可得空玻璃杯固有頻率

若將玻璃杯壁上任意一點振動看作是沿z軸的一維簡諧振動，可將式（1）改寫為

式中：f（z）為微元在振動方向上的函數；φ為某微元的方位角。根據簡諧振動能量，可得動能和彈性勢能分別為：

式中：R為圓柱形玻璃杯內徑；H為高度；a為玻璃杯厚度；ρg為玻璃杯密度；E為彈性模量。該玻璃杯理論模型可等價為無數根下端固定，上端自由的均勻弦構成。根據Rayleigh 的聲學理論［8］，式（5）中的振動函數具有如下形式：

式中，C、D、β 都是常數。此時，有空玻璃杯的固有頻率為

若將某種液體加入玻璃杯時，可得到空杯子和加入液體后系統的ν0之間的關系為

式中：ρl為杯內液體密度；νd為加入液體高度為d時系統的ν0；α為耦合系數，是常數。

1.2 實驗裝置設計

本實驗設計并搭建的裝置包括聲波產生系統、玻璃杯及受迫振動測量系統，整體裝置如圖1 所示。實驗時，將信號源與功率放大器連接后再接入揚聲器，功率放大器使揚聲器發出的聲波達到一定強度，從而玻璃杯能夠產生受迫振動。

圖1 受迫振動實驗裝置示意圖

1.3 受迫振動的測量

1.3.1 受迫振動振幅的測量

即使通過功率放大器增大聲波的強度，但玻璃杯受迫振動也是肉眼不易觀察的。對其振動振幅的測量必須尋找合適的方法才能夠測量準確。本實驗采用大學物理實驗中“靜態拉伸法測量金屬絲彈性模量”［9］相同的方法，利用光杠桿將玻璃杯微小振動放大至可測量。圖1 中，將一束激光照射到玻璃杯上。通過玻璃杯上粘貼的薄反射膜，使激光反射到接收屏上。當玻璃杯作受迫振動時，經過反射膜反射的光斑，在接收屏上的位置也在作相應的振動，這個振動是容易被觀察并測量的。

圖2 所示為不同聲波狀態下光斑寬度隨強迫力（聲波）頻率增大而變寬的過程。圖2（a）為沒有開啟聲波，玻璃杯靜止時，接收屏上看到的是一條細光斑；當開啟聲波，玻璃杯受迫振動穩定后，玻璃杯的小微元、玻璃杯上的反射膜、通過反射膜反射到光屏上的光斑位置，均在作振動，雖然因人眼分辨能力無法觀察到的光斑的振動，但直觀上可以看到光斑變寬［見圖2（b）］；聲波頻率為547 Hz 時，光斑寬度達到最大值［見圖2（c）］。根據受迫振動原理，對于某振動系統，在阻尼一定的條件下，受迫振動的振幅隨驅動力圓頻率的增加而增加，達到最大后，又隨驅動力圓頻率的增加而減小［10］。

圖2 不同聲波狀態下光斑寬度變化比較

僅用肉眼觀察到光斑寬度變化并不能進行量化的測量，也無法研究聲波頻率對玻璃杯受迫振動的影響。本文利用光杠桿原理，將玻璃杯受迫振動時振幅的變化放大為光斑寬度的變化。根據前述玻璃杯受迫振動的理論模型，玻璃杯微元受迫振動時滿足簡諧振動方程，圖3 所示為光斑寬度與玻璃杯微元振幅關系示意圖。由圖3 可得如下關系：

圖3 光斑寬度與玻璃杯微元振幅關系示意圖

得出光斑寬度

玻璃杯微元受迫振動時，在其振動方向產生的最大位移為η0，因振幅較小，故θ≈θ1≈θ2，則

當激光源、玻璃杯及光屏位置固定時，光斑的寬度正比于玻璃杯微元受迫振動的振幅。根據本實驗設計裝置，可以將玻璃杯在不同聲波激勵下受迫振動的振幅測量轉換為光斑寬度的測量。

1.3.2 光斑寬度的測量

已有文獻中采用米尺測量光斑寬度，但誤差較大［5］。為更精確的測量光斑在不同頻率聲波激勵下的寬度，本實驗利用Python 軟件進行圖像分析，求解光斑寬度。

如圖4 所示為通過圖像處理得到光斑寬度的過程：①在某頻率聲波激勵下，光斑位置作振動，用相機拍攝此時光斑［見圖4（a）］；②將其去色得到灰度圖［見圖4（b）］；③調整并設置合適的閾值，把灰度圖像變成只有黑白兩種像素點的二值圖像［見圖4（c）］；④通過形態學操作［11］填充光斑內部的黑色噪點，得到可以計算光斑寬度的最終的圖像［見圖4（d）］。掃描圖4（d）的若干行，第1 個白色像素點與最后1 個白色像素點之間的差值，計算平均值，得到光斑的寬度。用Python軟件進行圖像分析，所得光斑寬度只是1 個相對值，并不是光斑的真實寬度。實驗時，固定所有儀器的位置，只改變聲波的頻率，可得到不同聲波頻率下，光斑的相對寬度。利用圖像分析軟件可以精確計算出不同聲波頻率下光斑的寬度，從而更準確地反映不同聲波頻率下玻璃杯受迫振動的振幅。

1.3.3 光斑位置振動頻率的測量

本實驗利用光電轉換模塊測量光斑位置振動的頻率，用以反映玻璃杯穩定受迫振動的頻率。圖5（a）為帶有pin二極管的iv轉換放大電路實體裝置，圖5（b）是其電路圖。激光經貼在玻璃杯上的反射膜反射，被裝置中的pin二極管接收轉換為電流信號；再將電流信號利用運算放大電路，變為放大的電壓信號后［12-13］，輸入示波器進行觀測。測量時，使二極管位于光斑寬度的最邊緣，光斑位置周期變化，示波器上將顯示其對應電壓信號的變化，如圖6 所示。同時測量出信號的周期，由此得到該信號對應光斑的振動頻率為475 Hz。

圖5 iv轉換放大電路實體裝置及其電路圖

圖6 玻璃杯上反射由示波器測量的電壓信號截屏

2 測量結果及數據分析

利用本文設計的裝置中的聲波產生系統，發出聲波使玻璃杯受迫振動，當玻璃杯受迫振動穩定后，在聲波頻率分別為1120、1122、1124、1126、1128、1130 Hz時，對應測得光斑位置振動頻率分別為1120.0、1122.1、1124.0、1126.0、1127.8、1130.1 Hz，由此可知光斑位置振動頻率與聲波頻率基本相符。

如圖7 所示為玻璃杯受迫振動的幅頻特性曲線。由圖7（a）可知，隨著聲波頻率逐漸變大，光斑的寬度也隨之變寬，意味著玻璃杯受迫振動的振幅也隨聲波的頻率而變大。根據受迫振動理論，當受迫振動振幅達到最大值時，系統發生共振，此時的聲波頻率最接近玻璃杯的ν0，稱之為共振頻率［1］。圖7（a）中所示的一玻璃杯受迫振動過程中的最大光斑寬度，其對應的頻率，即為該玻璃杯的ν0。通過音叉棒敲擊玻璃杯振動發聲，測量該聲波的頻率，也可以得到玻璃杯的ν0［7］。

圖7 玻璃杯受迫振動幅頻特性曲線

表1 為依據玻璃杯的物理尺寸及式（8）計算得到的ν0，其中α ＝1.25［14］，E＝70 GPa［6］，ρ ＝2.50 g／cm3（用固體密度測量儀測得）。

表1 玻璃杯ν0 理論計算結果

表2 所示為用2 種方法測量3 個不同玻璃杯的ν0與理論計算結果比較，由表可知，用本實驗裝置測量空玻璃杯的ν0，準確性非常高。圖7（b）所示表2 中3 個不同高度、厚度、容量的玻璃杯受迫振動幅頻特性測量結果，均符合受迫振動規律。與大學物理實驗中《波爾共振》實驗相比，本實驗裝置雖然無法測量出受迫振動系統的阻尼系數以及相頻特性，但可以用簡單的儀器及其他課程的相關方法，測量出不同玻璃杯的受迫振動幅頻特性曲線及玻璃杯的ν0。

表2 2 種方法測量玻璃杯的ν0Hz

3 受迫振動的拓展及應用

3.1 加入液體改變玻璃杯系統的ν0

玻璃杯的ν0受到很多因素的影響，如玻璃杯中加入不同體積的同種溶液后，玻璃杯與液體組成的系統，其ν0會隨之發生變化。用本實驗裝置，進一步研究并分析因加入液體體積變化而導致玻璃杯系統ν0變化的趨勢。

（1）加入純凈水的玻璃杯ν0變化。圖8 所示為不同尺寸玻璃杯的共振頻率與加水體積量變化的實測曲線及對應運用式（8）計算所得的理論曲線。由圖可知，測量的3 個不同的玻璃杯，其共振頻率均隨著加入水的體積增大而降低。本實驗得到的玻璃杯充入純凈水后共振頻率隨體積變化趨勢，與理論計算基本相符。

圖8 不同玻璃杯中加入不同體積水的共振頻率曲線比較

（2）加入不同密度液體的同一玻璃杯ν0變化。表3 為加入不同密度的溶液后，同一玻璃杯共振頻率的理論計算值與實測值的比較，由表可知，在1＃玻璃杯中充入300 mL不同密度液體后，用共振法測量的共振頻率與理論計算的結果基本相符，進一步證實本實驗方法的可靠性。

表3 1＃玻璃杯加入不同密度溶液共振頻率計算值與測量值比較

3.2 測量溶液濃度

表3 中所列除水外的4 種溶液都是某種物質溶于水形成的，理論計算時，涉及該溶液的密度，而不同密度又對應于不同的溶液濃度。據此推斷，同種溶液不同濃度也會對玻璃杯的共振頻率產生影響，若能找到濃度與共振頻率之間的關系，也可以利用本實驗裝置，測量透明液體的質量濃度。

以1＃玻璃杯為容器，測量3 種溶液在不同質量濃度時的共振頻率，同時依據式（8）計算玻璃杯中充入一定體積不同密度溶液時的共振頻率。圖9 所示為1＃玻璃杯中加入3 種不同溶液濃度與共振頻率的實測曲線及運用式（8）計算所得的理論計算曲線對比，由圖可見，理論計算的共振頻率與共振法測量的頻率有一定的差別，但3 種溶液共振頻率隨濃度變化的趨勢與理論基本相符，因此，利用共振法可以測量溶液濃度。如圖10 所示為用本實驗裝置實測不同乙二醇溶液濃度與共振頻率的擬合曲線圖，并取得擬合曲線方程，從而可配置任意濃度的乙二醇溶液，測量其共振頻率，代入擬合公式，計算出其濃度。從理論及幾種溶液測試結果都能夠說明，在本實驗裝置上利用共振法，可以測量溶液濃度。

圖9 3種溶液的質量濃度與共振頻率曲線比較

圖10 不同濃度的乙二醇共振頻率擬合曲線

圖9 中的3 種溶液，其理論計算得到的濃度與共振頻率關系均為線性，但從圖10 的實測數據可見，乙二醇的濃度與共振頻率的關系為非線性擬合曲線。配置的待測溶液濃度為50%，測量其共振頻率為390 Hz。將其代入圖10 的擬合方程，計算得到溶液濃度為52%，相對誤差4%，在可接受范圍內。雖然擬合曲線與理論曲線差別較大，但根據擬合曲線而求出的溶液濃度誤差較小。

4 結語

本文設計并搭建的實驗裝置，分別進行了玻璃杯受迫振動、水及不同的溶液濃度與共振頻率變化的實驗測試，結果表明：利用聲音使玻璃杯發生受迫振動，實驗測量得到3 個不同玻璃杯受迫振動的幅頻特性曲線，曲線的峰值對應玻璃杯的共振頻率分別為477、567、1125 Hz，與受迫振動理論模型計算3 個玻璃杯的ν0為480、563、1138 Hz基本相符；在玻璃杯中加入不同體積、不同密度的液體后，玻璃杯的共振頻率均會發生變化，變化趨勢與理論計算趨勢相符；將相同體積不同濃度的乙二醇溶液加入玻璃杯中，測量其共振頻率，濃度與共振頻率擬合得到方程，測量任意濃度乙二醇溶液的共振頻率，代入擬合方程得到的溶液濃度誤差較小，證明可以利用本實驗裝置及方法測量溶液的濃度。非線性擬合結果也說明理論計算模型仍然可以根據具體實驗情況進行改進，考慮更多的因素才能使得理論計算更加準確。利用本實驗裝置測量液體濃度并沒有考慮溫度的影響，若進行變溫測量，得到的擬合方程有可能會更加準確［15］。

·名人名言

知識是一座寶庫，而實踐則是開啟寶庫的鑰匙。

———托馬斯·富勒