三相異步電動機定子磁場可視化教學系統設計

程 立， 姚 為， 何順帆， 李 明

（中南民族大學計算機科學學院，武漢 430074）

0 引言

目前國內各高校自動化等專業廣泛開設了電機及拖動基礎這一課程，并出版了多種教材［1-2］。在該課程教學中，三相異步電動機是其中的重要內容。異步電動機定子繞組所產生的旋轉磁場是該課程理論中非常關鍵的知識點，對這一概念的正確理解是學好該電機的基礎。在教學中主要的問題有兩點：①學習者對定子繞組的布置難以掌握，且定子布線太過密集，即使觀看實物作用也有限；②定子磁動勢和磁場看不見摸不著，學習者難以理解與其相關的概念。這些知識點非常抽象，公式繁多，僅通過教材上的公式和插圖難以表達清楚，教與學都難以取得好的成果。為解決這一問題，廣大相關專業教師撰寫了大量的教研論文，其中既有從理論上分析電機旋轉磁場的著作［3-6］，也有從可視化角度具象化旋轉磁場的文章［7-10］。對于前者，仍未能解決學習中概念抽象的問題；后者涉及的論文多以有限元［7］、VB 語言［8-9］和Matlab Simulink［10］為工具對異步電動機的旋轉磁場進行模擬和仿真，但均未考慮繞組布置和定子磁動勢，且在可視化磁場時，只考慮了磁極對數、相序變化和通電相數三者中的某兩項對定子磁場的影響，未能全面考慮這些因素。

本文參考了教學可視化方面的論文［11-14］，并利用Matlab設計了三相異步電動機的定子繞組、繞組中電流的變化、定子磁動勢和磁場動畫，通過動畫展示抽象的概念，全面展示電流頻率、磁極對數、相序變化和通電相數等因素對定子磁場的影響，在教學中配以適當講解和分析，讓學生更直觀地學習這些抽象難懂的內容，建立旋轉磁場等概念，以改善教學效果。

1 異步電動機定子繞組及其磁場

1.1 旋轉磁動勢和磁場

在異步電動機的三相對稱繞組中通入三相對稱互差120°的交流電流，將會產生旋轉磁場，它的轉速、幅值、轉向和位置分別滿足4 個定律［5-6］，即：

（1）轉速定律。磁場的轉速（同步轉速）ns由電源頻率f和定子磁極對數p確定，其關系為ns＝60f／p。

（2）幅值定律。磁場和磁動勢基波在定子圓周上為p個完整的余弦波，且幅值恒定。

（3）轉向定律。磁場的轉向由三相電流相序確定，從超前相轉向滯后相。

（4）位置定律。旋轉磁動勢的正波幅位于電流達到最大值的那相繞組的對稱軸上。

設Fu＝Fφ1cos ωt，Fv＝Fφ1cos（ωt-2π／3），Fw＝Fφ1cos（ωt-4π／3）分別為三相交流電與其所流過繞組參數的乘積，則三相繞組所產生基波磁動勢分別為：

式中：Fφ1為各相電流有效值和繞組參數的乘積，即基波脈振磁動勢的幅值；ω ＝2πf為交流電角頻率；x為假想將電動機定子內壁圓周展開后的距離；τ為極距。將fu1，fv1，fw1疊加，可得其表達式為

三相脈振波的合成波f1為行波，其平移速度v＝dx／dt＝ω／（π／τ）＝2fτ。顯然，將x復原到定子內壁的圓周上，則平移運動變為轉動，平移速度v對應的轉速為ns＝60（v／r）／（2π）＝60f／p，此即為同步轉速。若交換電動機任兩相繞組的電流，如互換V相和W相電流，即將式（1）中的Fv和Fw互換，則式（2）疊加結果為

此時速度v＝-ω／（π／τ）＝-2fτ，平移速度方向與未交換時相反，對應轉速也反向。同理，互換別的兩相繞組也可以得到相同的結果。根據以上分析可從理論上證明異步電動機互換任兩相電流可實現其定子磁場的反向旋轉。

要得到式（2）f1表示的行波，三相繞組需在位置上滿足式（1）中相位相差120°的位置關系。U相和V相（任兩相）繞組位置差可由式（1）中的πΔn／τ -120° ＝0 得到，則有Δn＝2τ／3 ＝120° ×Q1／（360°p）＝120°／a。此處Q1和a分別為定子總槽數和槽距角，可得兩相繞組間相距槽數為Δn＝120°／a，即對應120°電角度。為簡便起見，本文動畫系統只考慮fu1，fv1，fw1所表達的基波磁動勢和它對應的磁場，未考慮高次諧波成分，且繞組為單層整距結構，與教材中分析的結構相同。

1.2 繞組布置

由以上分析可得任兩相繞組間的位置關系，且每相繞組在圓周上均布，同一繞組的兩條邊相距一個極距τ，由此可得異步電動機定子繞組參數間的關系［1-2］：

式中：m為電源相數；q為每極每相槽數。根據式（3）～（6）布置繞組，且三相繞組的布置相同，僅在位置上相差Δn個槽。因此在已知總槽數Q1和磁極對數p的情況下，可由式（3）和（5）完成某相繞組的布置。完成該相繞組的布置后，再按式（6）確定另一相繞組第1 個繞組邊的位置，并按已完成的繞組相同方式進行處理，這樣即可完成三相繞組的布置。

2 磁場動畫系統設計

Matlab具有強大的繪圖功能，它不僅可繪制靜態圖形，還具有動畫設計功能。它生成動畫的方式逐幀動畫、軌跡動畫和程序動畫［15-16］。

設計動畫時，繪制出定子圓周上一個周期T（T＝1／f）內某時刻繞組線圈中的電流和由它們所形成的磁場，在下一時刻，重繪新的電流和磁場，將這一過程在多個周期采用循環的方式實現，通過上述第3 種動畫方式中的drawnow指令刷新繪圖窗口，達到動畫的效果。為使系統能盡可能地模擬各種參數下的定子磁場，需要充分考慮在不同磁極對數，不同槽數和不同通電相數條件下產生的磁場。

動畫系統包括參數設置界面、繞組的布置和繪制、電流的展示、磁動勢曲線的繪制和磁場的繪制，流程如圖1 所示。

圖1 磁場動畫系統程序流程

系統中磁場的繪制較為復雜，需要考慮在缺相和不同極對數時等各種情況下磁力線的不同形狀。根據磁極對數和通電相數的不同，磁力線采用橢圓、帶弦圓弧和圓表示，且繪制成虛線，以和磁場不可見相符。

2.1 繞組的繪制及結果

動畫中電動機的定子、轉子和繞組均為橫截面，采用圓表示，且文中不區分繞組邊和槽。繪制電動機定子時，用兩個同心圓分別表示定子內外壁。定子內壁里側均布Q1個用于表示繞組邊的小圓，按1 -Q1編號，UVW三相繞組分別用紅綠藍3 種顏色加以區分。布置繞組時，首先確定U相1 個相帶下q個繞組邊，如1 ～q號邊（槽）為U相繞組第1 個相帶的上層邊U1，則1 +τ ～q+τ為其對應的下層邊U2。通過這種方式分配第1 對兩相鄰磁極下的2q個繞組邊，其余p-1對兩相鄰磁極下的繞組邊按對應相距2τ 個槽以相同方式布置。處理完U相后，按式（6）確定的Δn分配V相的第1 個相帶的上層邊V1，并以與U相相同的方式布置其繞組邊。布置完V相繞組后，按相同方式布置W相繞組。繞組邊的布置如表1 所示。

表1 繞組布置表

系統中定子槽數和磁極對數均可通過界面靈活設置，兩者間關系滿足式（5），圖2 所示為通過界面設置槽數和磁極對數后顯示的結果。在動畫中，確定了槽數和極對數后，繞組邊的分布將固定不變，變化的是繞組中的電流、產生的磁動勢和磁場。

圖2 動畫系統參數設置界面

2.2 電流變化的動畫設計及結果

三相繞組中通入三相電流后，在任一時刻，某相繞組中電流大小相同，上、下層邊中電流流向相反，且其所有上、下層邊中電流方向各自相同，為流進或流出。動畫中在繞組邊圓心處用黑色圓點和紅色叉號分別表示電流流出和流入，并以點的大小表示電流大小；同時規定電流值大于0 時從繞組上層邊流出，從其下層邊流入；小于0 則相反。在動畫的循環中，分別計算某一時刻三相電流大小，并按以上規定繪制各繞組中的電流。通過動畫的運行可觀察到繞組中電流的變化規律：單個繞組邊中的電流只會在最小值和最大值間變化，假想電流可見，則所有繞組邊中電流的配合形成“轉動效應”。由此可見，通過各相繞組邊中的電流在時間和空間上的配合，在固定的繞組中形成定子圓周上的“轉動電流”，產生旋轉磁動勢和磁場。圖3 所示為總槽數24，1 對極定子繞組中電流變化狀態圖，從圖中可明顯觀察到電流的變化，在動畫中形成旋轉的效果，這樣變化的電流必定產生旋轉的磁場。

圖3 定子繞組中的變化電流

2.3 磁動勢動畫設計及結果

將式（1）中磁動勢的三相余弦波繪制在直角坐標系中，將可展示3 個脈振波和由它們合成的行波，如圖4（a）所示，它為選中界面復選框“圓周伸展”后顯示的波形，即假想將定子圓周剖開拉直后的磁動勢。在動畫處理中，通過時間的多周期運行實現循環，其中運行總時間取電源周期T的整數倍，1 個周期內時間增量Δt＝1／（C·p），C為常數。根據以上處理可知，極對數p越大，則Δt越小，1 個周期中運行的次數越多，行波的運動速度越慢，反之則越快；電源頻率f越大，則周期T越小，行波速度越快。將該波形繪制在定子圓周上得到的旋轉磁動勢同樣滿足上述關系。因此，在界面參數設置中增大磁極對數p和電流頻率f，磁動勢和磁場轉速將分別減小和增大，反之則分別相反，通過這種方式定性模擬了異步電動機的同步轉速ns＝60f／p這一關系。

圖4 極對數為3時的磁動勢

圖4 （a）中紅綠藍3 種顏色的余弦波為三相電流各自對應的脈振波，黑色曲線為3 個脈振波疊加而成的行波，它包含p個完整的余弦波，將該行波繪制在定子圓周上可得圖4（b）～（d）中紅色實線，即定子磁動勢波形。在圖4（b）中，紅色虛線所表示的圓為磁動勢波形旋轉過程中正向波幅頂點所經過的軌跡，通過這一特點，可驗證幅值定律，即磁動勢在定子圓周上為p個余弦波，且幅值恒定。圖4（c）和（d）所示為三相電流不對稱時的磁動勢運行過程中某一時刻的波形及波形頂點的運行軌跡。其中圖4（c）所示為V相電壓為0 時的旋轉磁動勢。圖4（d）所示為缺兩相時產生的磁動勢，其波形不會旋轉，只在最大值和最小值之間來回波動，形成脈振磁動勢。

選中界面上的“轉速反向”復選框后，系統交換V相和W相電流，可實現圖4（a）～（c）中波形的反向移動和旋轉，并輔以定子三相繞組的位置關系，可驗證轉向定律：磁動勢和磁場的轉向由電流相序確定，從超前相轉向滯后相。結合理論證明，說明交換異步電動機任兩相電流，可實現定子磁場反轉。在動畫運行中，保存三相電流分別達到其正向幅值時的定子磁動勢波形，如圖4（b）所示為U相電流達最大時的磁動勢，可讓學生自己在圖形上作出各相電流最大時其對稱軸和連接此軸附近該相q個繞組的兩條邊，觀察它們是否滿足位置定律。

2.4 磁場動畫設計及結果

在動畫的循環處理中，除繪制電流外，還需按照電流值的正負將所有繞組邊分為流進和流出兩類，顯然每個相帶中繞組邊的電流方向均相同。然后按繞組邊位置相鄰（即編號連續）的特點對其進行分組，其中電流流進和流出的繞組邊均被分為p組，Q1個繞組邊共分成2p組，每組含kq個邊，k為通電相數，其值為1、2、3，分別對應通電相數1、2 和3 相。確定了電流流向相同的各個相鄰繞組邊分組后，通過右手定則和磁路的安培環路定律繪制包圍每個分組中所有kq個繞組邊的封閉磁力線。表2 為槽數取36 且不同磁極對數和不同通電相數時在某一時刻的繞組邊分組表，其中方括號內部為同一組的槽號，不同的分組用分號隔開。確定分組后，根據它們所占機械角度來繪制不同形狀的磁力線。

動畫中磁力線的形狀隨磁極對數和通電相數的變化而不同，可由每個分組中槽所占機械角度來確定，根據式（3）～（5），將出現3 種不同情況。

（1）不缺相時一個分組中所有3q個電流流向相同的繞組邊占定子圓周弧長為τ，其對應角度為θ3q＝180°／p，當p取1 時，該角度最大為180°。

（2）只有兩相通電，此時將存在2 種情況：無電流的q個繞組邊分別位于分組的一側和中間，其對應角度θ2q分別為120°／p和180°／p。該角度最大值分別為120°和180°。

（3）只有1 相通電，則每個分組中只有q個繞組邊有電流，機械角度θq＝60°／p；此外，在這種情況下，如果q為1，則此時只有該相的一個繞組有電流，認為其對應角度為0°。

通過以上分析，磁力線分為3 種形狀：橢圓、帶弦圓弧和圓，統一由分組中通有電流的繞組邊所對應機械角度的大小確定其形狀。①當分組中繞組邊對應機械角度不小于120°時，磁力線用帶弦圓弧表示；②當角度大于0°且小于120°時，采用橢圓表示磁力線，橢圓長軸位于分組中有電流的首末兩個繞組邊圓心的連線上，中心為連線中點，短軸按與長軸成一定比例選取；③當角度等于0 時，用包圍通電繞組邊的同心圓表示磁力線。除此之外，通過右手定則確定磁場方向，并在磁力線上用箭頭指出。

圖5 所示為不同的總槽數、磁極對數和通電相數時定子磁場的幾種形態。其中圖5（a）、（b）所示為繞組中通入三相對稱交流電時產生的磁場，即圓形旋轉磁場，此時磁場由相鄰的p對各含3q個繞組邊中的電流形成，磁場勻速旋轉。該磁場波形由磁動勢產生，也為余弦波，且幅值恒定。圖5（c）、（d）所示為缺1 相電流時產生的磁場，即橢圓旋轉磁場。電動機只通入了兩相交流電，磁場仍然可以旋轉，磁力線在包圍全部相鄰的3q個線圈邊（有q個繞組邊中無電流）和2q個繞組邊（均通有電流）兩種不同狀態下更替。圖5（e）、（f）所示為缺兩相電流時形成的脈振磁場，此時電動機定子磁場的磁力線包圍q個繞組邊，方向在順時針和逆時針間交替變換，磁場不會旋轉，只會在固定位置上由南極變換到北極，再又從北極變換到南極，形成脈振磁場。通過磁場動畫，還可直觀地展示磁場旋轉過程中對定子繞組和轉子繞組的切割。

最后需要說明的是，動畫中繪制的磁力線出現的位置有限，根據通電相數k的和極對數p不同，只有2（k＝1）和2kp（k＝2，3）個不同位置，未能像動畫中磁動勢旋轉那樣位置“連續”變化，而是一次移動q的整數倍個槽。

2.5 動畫系統的應用

磁場動畫系統不僅可應用于理論課程以輔助教學，還可在實驗課程中讓學生自己操作，通過界面靈活設置參數，讓學生深入理解異步電動機定子繞組布置以及旋轉磁動勢和磁場，掌握其中抽象的知識點，可起到實際電動機達不到的效果。此外，還可對本系統做進一步的完善，增加轉子的運行，在考慮各種負載的情況下對異步電動機進行動畫仿真，讓學生通過動畫，更加深入地掌握異步電動機的基本原理。

3 結語

異步電動機定子磁場動畫系統可通過Maltab GUI界面靈活設置繞組參數和電氣參數，界面友好、操作簡單，實現良好的可視化效果。動畫能夠展示不同槽數和磁極對數下的繞組布置以及電流頻率、通電相序、磁極對數和通電相數等因素對磁動勢和磁場運行的影響。通過在教學中演示該動畫，可以使學習者直觀理解繞組的布置、定子旋轉磁動勢和磁場的轉速、幅值、轉向和位置所滿足的相關定律，建立旋轉磁場的概念。除此之外，還可以將該軟件作為實驗的一個環節，讓學習者自己摸索，加深他們對以上知識的理解。