面向高速織機的吸能板殼結構拓撲優化

王 蕊,肖人彬,吳紫俊

(1.武漢紡織大學, a.湖北省數字化紡織裝備重點實驗室; b.工業雷管智能裝配湖北省工程研究中心, 武漢 430020; 2.華中科技大學人工智能與自動化學院, 武漢 430074)

隨著高速織機的快速發展,對綜框等織機板殼類組件的性能提出了新的要求[1]。傳統隔振技術雖然在一定程度上滿足減振降噪的性能要求,但是隨之而來會導致設備笨重、散熱性能變差等一系列問題[2],無法根本上解決板殼結構振動的技術難題。而拓撲優化技術可以在實現結構輕量化的同時使結構更加可靠[3],因此結合先進技術實現對高速織機的振動進行控制成為了紡織行業研究的熱點[4]。

粘彈性阻尼材料能有效抑制振動與噪聲,它是由高分子聚合物組成,具有高可靠性、吸能減振等功能[5],在航空航天、船舶、汽車等現代化工業領域中廣泛應用[6]。粘彈性阻尼層處理方式可分為四大類:自由層阻尼結構、被動約束層阻尼結構、主動約束層阻尼結構以及可控約束層阻尼結構[7]。而其中被動約束阻尼成本低、可靠性高且減振效果好,應用最為廣泛[8]。顧賽克等[9]研究了約束阻尼結構力學性能,探討了設計參數對阻尼性能的影響,并通過實驗證明約束阻尼結構能有效降低共振問題且三層約束阻尼結構性能更加好。梁森等[10]提出了一種新型五層夾芯復合材料儀表板的結構設計方法,并分析了粘彈性阻尼層和PMI泡沫材料層相對厚度對儀表盤阻尼損耗因子的影響。盡管傳統的約束阻尼鋪設方式具有較好的減振性能,但是在此基礎上會加重結構的重量并提升生產成本。因此有必要對基于約束阻尼下的板殼結構進行綜合設計,在提高阻尼利用率的同時,獲得具有更好固有特性和減振能力的輕量化結構。

板殼類結構的吸能減振性能與阻尼材料的分布有著密切的關系[11]。為實現結構承載與吸能的性能要求并且有效實現結構的輕量化[12],學者們在拓撲優化技術的基礎上,對阻尼材料的布局設計進行了諸多研究。Kim等[13]為得到最佳阻尼材料布局,對比拓撲優化與其他方法,以模態阻尼比最大化為設計目標。通過定量比較不同方法的模態損耗因子,發現拓撲優化能得到更高的模態損耗因子。吳永輝等[14]基于參數化水平集法分析了阻尼板優化構型與模態應變能分布關系,得出基于基板模態應變能分布設計的構型優化效率較高。陳姍姍[15]引入Helmholtz PDE濾波和投影技術,有效抑制了阻尼結構拓撲優化設計中棋盤格與灰度單元的數據不穩定現象,并應用于潛艇艇體的表面抗振設計,提高了結構減振能力。倪維宇等[16]提出了一種阻尼結構多尺度拓撲優化設計方法,研究了在不同激勵頻率下阻尼材料的宏微分布。賀紅林等[17]基于虛功原理建立了約束阻尼有限元模型,在此基礎上基于漸進法采用多目標拓撲優化對阻尼板進行減振優化設計,提高了材料的減振性能。Barbier等[18]利用完全非線性策略和簡化策略提出了預定載荷下的結構優化方法,為考慮損傷的結構拓撲優化提供了借鑒。張超等[19]利用拓撲優化對車體阻尼結構進行優化,有效的降低了駕駛室內的噪聲。

基于拓撲優化的結構設計,在保證設計效率與精度的同時又可以實現多目標多領域設計[20]。本文將利用結構拓撲優化方法,在研究粘彈性阻尼層結構與板殼結構的動力學特性基礎上,建立模態損耗因子最大化的板殼結構設計方法,提高其固有特性與減振的結構設計能力,實現織機類板殼結構的輕量化。

1 粘彈性材料的有限元模型

本文采用約束阻尼結構,如圖1所示,其中下標b、c、v分別表示基板、約束層和阻尼層,h表示每層的厚度。相較對于一般線性單元材料,當阻尼材料受到沖擊或振動時其內部會產生一定的變形,其變形圖如圖1(b)所示。等作用力消失后,彈性體內的受到的機械能會暫時存儲起來,阻尼結構將會受到振動沖擊,隨后機械能轉化為內能消耗能量,阻尼結構的振幅也隨之降低,因此對阻尼結構本構關系建模是必要的。

圖1 約束阻尼結構Fig.1 Constraint damping structure

1.1 本構關系復數模型

在力學上約束阻尼材料應變遲滯后于應力產生的遲滯現象,可通過復常數模量模型的表現形式表示其特性,材料本構關系表達式如式(1)所示:

E=E′+iE″=E′(1+iη)

(1)

η=E″/E′

(2)

鑒于粘彈性材料阻尼特性,在受到不同激勵以及不同溫度下對材料有不同的力學性能影響,故本文采用的模型影響較小的復常數模型,且為提高計算效率本文不考慮頻率和溫度等相關材料特性。

1.2 粘彈性材料有限元模型

本文采用約束阻尼板其有限元模型示意圖如 圖2 所示,板殼結構采用四節點二維單元離散,每個節點有7個自由度,分別是基層的位移ub和vb、約束層的位移w以及法向分別繞x軸和y軸的旋轉位移θx和θy其節點位移表達式如式(3):

(3)

圖2 約束阻尼有限元模型Fig.2 Constrained damping finite element model

式(3)中:

(4)

在阻尼板中可由節點單元4個位移矢量的插值得到任意點位移:

{ucvcubvbwθxθy}T={NucNvcNubNvbNwNθxNθy}Tue

(5)

其中Nuc、Nvc、Nub、Nvb、Nw、Nθx、Nθy分別為uc、vc、ub、vb、w、θx、θy對應的形函數。

1.3 彈性材料動力學模型

在使用有限元方法對帶有粘彈性阻尼材料的結構進行分析時,根據Hamilton原理建立無阻尼結構振動的運動微分方程為:

Mü+Ku=0

(6)

式中:u為節點位移矢量;M和K分別是全局質量矩陣和全局剛度矩陣,其表現形式為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中i=b,c,v表示基層、約束層和阻尼層,Ei、Bi、Ni分別為每層的應變勢能、應變轉換矩陣以及形函數,Di表示每層的彈性常數矩陣,為其表現形式為:

(12)

由于粘彈性阻尼材料的阻尼系數較小,因此可以假設阻尼結構具有與無阻尼結構相似的共振頻率和模態,故本文采用模態應變能法[21]。其中結構的總模態應變能為:

(13)

式中K為復合結構的剛度矩陣,基于模態應變能法求出第r階模態阻尼比近似為:

(14)

式中:Ebr、Evr、Ecr分別是基層、阻尼層和約束層第r階模態應變能。

2 優化數學模型及靈敏度分析

通過對約束阻尼結構進行模態分析后,需要分析粘彈性阻尼材料在結構中的分布。在結構拓撲優化中,根據目標函數對設計變量進行靈敏度分析是核心環節,通過靈敏度分析可以確定設計變量對目標函數的影響程度,目標函數自動尋優確定最終最優拓撲構型,獲得最佳的阻尼材料分布。

2.1 優化數學模型

本文以約束阻尼材料用量為約束條件,模態損耗因子最大化為優化目標函數,從而達到抑制振動的目的。基于密度法,約束阻尼拓撲優化模型如下:

(15)

式中:xi是設計變量表示約束阻尼材料第i個單元的存在狀態。其中1代表結構表面覆蓋阻尼材料和約束材料。為了避免計算時剛度矩陣出現奇異解,故本文最小相對密度xmin取值為0.001。n為阻尼單元的總個數,ξr為第r階模態損耗因子,V是體積約束;Vi表示約束阻尼材料的體積。

2.2 密度插值模型與靈敏度分析

基于阻尼材料的本構關系結合優化模型,對阻尼層與約束層采用SIMP法進行設計變量懲罰,得到整體剛度矩陣與質量矩陣:

(16)

(17)

式中:p為剛度矩陣懲罰因子,q為質量矩陣懲罰因子。

為分析設計變量對結構整體性能的影響,根據結構優化模型,通過目標函數對設計變量求偏導,可得:

(18)

本文針對基于simp方法中常出現的棋盤格以及網格依賴等數值不穩定現象,采用工程中廣泛應用的Sigmund所提的敏度過濾技術[22]。該技術在確定中間單元后為其設定一個最小過濾半徑rmin,并對該單元過濾半徑之內的各個單元引入卷積因子進行加權平均處理,從而使得在中間單元附近的單元敏度值都比較高,反之較低。在不同的區域附近有著不同的情況,即原中心單元的敏度值被過濾區域加權平均敏度值所替代,過濾后的敏度表達式,具體如下:

(19)

(20)

在更新迭代時,本文采用傳統OC法對優化模型設計變量進行更新[23]。

(21)

式中:ε為拓撲變量移動極限,n是迭代的步數,n=0.5,D為目標函數、體積約束對設計變量導數的比值:

(22)

3 優化算例

綜框結構主要由上下橫梁、左右側板、綜絲夾、穿綜桿等零部件構成。根據高速織機綜框的設計參數要求,構建綜框橫梁板殼結構的設計域并進行優化設計。本算例選取幅寬為230 cm的O型綜框結構為設計目標,橫梁的寬度120 mm,考慮綜框上下橫梁導板約束的影響,本案例僅截取導板到側擋板之間的結構進行優化,導板到側擋板之間的距離為480 cm,其結構簡圖如圖3所示。

圖3 綜框結構Fig.3 Heald frame structure sketch

3.1 算例1

為驗證本方法建模與振動特性計算的準確性,與圖4典型四邊簡支模型[21]進行對比。基板與約束板均為鋁板彈性模量均為6.89×104MPa,泊松比為0.3,密度為2700 kg/m3。阻尼層剪切模量為0.896 MPa,泊松比為0.49,密度為999 kg/m3。

圖4 典型四邊簡支模型結構Fig.4 Structural sketch of a typical four-sided simply supported model

與該模型保持一致采取80×80的網格劃分,其計算結果如表1所示,可以看出本文有限元模型與文獻[21]解析解的固定頻率值基本一致,誤差保持在2.22%以內,驗證了本文有限元方法的正確性。

表1 約束阻尼板振動特性結果對比Tab.1 Comparison of vibration characteristics of constrained damping plates

3.2 算例2

本文構建的約束阻尼板結構簡圖如圖5所示,長度為480 mm,寬度為120 mm。為避免出現大量的中間密度單元獲得更精細的結構特征,本文過濾半徑設為1.3,網格劃分為48×12。本案例僅以一階模態阻尼比進行優化設計。

圖5 約束阻尼板殼結構Fig.5 Constrained damping plate shell structure sketch

基板材料采用鋁板,其彈性模量為70 GPa,泊松比為0.3,密度為2700 kg/m3。粘彈性層采用寬溫域約束阻尼膠片,不考慮溫度等影響,其剪切模量為13.38 MPa,泊松比為0.495,密度為1450 kg/m3,約束層其彈性模量為72 GPa,泊松比為0.33,密度為2700 kg/m3。采用兩端固定形式,其具體材料參數如表2所示。

表2 約束阻尼板各層材料幾何參數和屬性參數Tab.2 Constraint damping plate material geometry and property parameters of each layer

本文以全覆蓋的約束阻尼使用量40%、50%、60%為約束條件,以一階模態損耗因子最大化為優化目標,過濾半徑設為1.3,剛度懲罰因子與質量懲罰因子分別設置為3和1。圖6為不同體積約束下的優化圖,可以看出在不同體積約束下均能獲得較清晰的拓撲構型。

圖6 不同體積約束下的優化結果Fig.6 Optimization results with different volume constraints

由圖7可知對比優化前的固有頻率優化后均有所減小,但隨體積約束的增加也隨之增加,所以本方法能在不改變固有特性的前提下,結合拓撲優化技術既能減少阻尼材料,又能達到減振的效果從而驗證本方法的有效。

圖7 不同體積約束下的優化結果對比Fig.7 Comparison of optimization results under different volume constraints

為了進一步探究懲罰因子的選擇對優化結構的影響,本文以體積約束為50%設置了不同的懲罰因子組合,圖8為不同懲罰因子組合下的優化結果。由優化結果圖8可知,其中不同懲罰因子組合對材料的數量和位置也有一定的影響。從圖8 中可以看出質量懲罰因子對拓撲構型影響較小,而優化構型主要受剛度懲罰因子的影響。由圖8可知,當p=1幾乎沒有懲罰的效果,不便于實際工程制造。當p為其他值時,優化后的結構有明顯的結構模型符合實際結構設計的要求。并且隨著剛度懲罰因子p的增大,拓撲構型逐漸清晰緊湊,但阻尼耗因子隨之下降,且隨質量懲罰因子q的增加結構的損耗因子也略微下降。因此p值設置2,3都比較合適,q值可相對取小一點,其他情況根據所優化的模型設置合適的懲罰因子,即可獲得最佳的拓撲結構。

圖8 不同懲罰因子組合下的優化結果Fig.8 Optimization results with different combinations of penalty factors

圖9為圖8(d)的拓撲優化迭代圖,可以看出整體迭代過程穩定,隨著迭代步數的增加,灰度單元逐漸減少并最終趨于最優分布的拓撲構型,進一步說明本算法的有效性。

圖9 圖8(d)拓撲結構優化迭代收斂過程Fig.9 Figure 8(d) topology optimization iterative convergence process

4 結 論

拓撲優化在各個設計領域中都有著廣泛的應用前景,是實現結構輕量化提高設計效率的有效手段。本文結合拓撲優化技術對綜框類板殼結構進行性能分析和結構優化設計,結論如下:

a)基于可變密度法對其進行優化設計,建立拓撲優化模型,給出了靈敏度過濾的計算方法,以阻尼損耗因子為目標函數采用不同體積約束,并得到相應的拓撲優化構型,論證了設計方法的有效性。

b)根據綜框阻尼板實例探討不同剛度懲罰因子與質量懲罰因子的組合,結果表明通過合適的懲罰因子組合,可以獲得最佳的拓撲結構。

c)既提高計算的效率和精度又提高材料的利用率,對降低機械振動、改善車間環境、增強機械系統運行的穩定性和可靠性具有很強的現實意義。但是從所獲得的優化構型來看,還是存在部分的灰度單元,結構邊界不夠光滑,此外可能還有其他約束條件導致了拓撲優化結果的差異,需要進一步尋找更佳的參數組合。