模型為本 意識(shí)為標(biāo) 普適為徑

羅建華

【編者按】數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵。作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要表現(xiàn)之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將原來(lái)的“模型思想”分為“模型意識(shí)”與“模型觀念”。小學(xué)生具備較好的模型意識(shí)，不但有助于學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，還能夠?yàn)槠浜罄m(xù)模型觀念的確立打下堅(jiān)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型存在于數(shù)學(xué)學(xué)科的方方面面，發(fā)揮著不可替代的作用。教師如何引導(dǎo)學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)模型的普適性初步感悟？如何培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的概念或方法解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題？本期話題就學(xué)生的模型意識(shí)培養(yǎng)展開(kāi)探討。

【摘 要】模型意識(shí)是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。如何培養(yǎng)小學(xué)生的模型意識(shí)？本文縱向?qū)Ρ攘瞬煌瑢W(xué)段有關(guān)模型思想的核心素養(yǎng)表現(xiàn)：小學(xué)階段的模型意識(shí)、初中階段的模型觀念、高中階段的數(shù)學(xué)建模；橫向?qū)Ρ攘四Ｐ鸵庾R(shí)和應(yīng)用意識(shí)，梳理相關(guān)文獻(xiàn)，進(jìn)行理路研究。筆者建議在小學(xué)階段對(duì)數(shù)學(xué)模型采用廣義的解釋?zhuān)磾?shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，它可以應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，幫助我們解決同一類(lèi)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。結(jié)合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，本文提出了“模型為本、意識(shí)為標(biāo)、普適為徑”的模型意識(shí)基本培養(yǎng)思路，并呈現(xiàn)了部分實(shí)踐探索形成的案例。

【關(guān)鍵詞】模型意識(shí) 應(yīng)用意識(shí) 數(shù)學(xué)模型 普適性

小學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一道題目：水池有一根進(jìn)水管和一根出水管，打開(kāi)進(jìn)水管6小時(shí)可將空池注滿(mǎn)，打開(kāi)出水管9小時(shí)可以放完滿(mǎn)池的水。如果同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管，多少小時(shí)可以把空池注滿(mǎn)？這道題本是培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的經(jīng)典題目，卻有不少教師覺(jué)得難教，學(xué)生也覺(jué)得難以理解，甚至有人對(duì)這道題設(shè)計(jì)的意義提出了質(zhì)疑，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中模型意識(shí)缺失所帶來(lái)的典型后果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中將原“模型思想”分解為模型意識(shí)和模型觀念，讓模型思想的內(nèi)涵更有層次感，也更具有可操作性。模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。但這個(gè)概念對(duì)一線教師來(lái)說(shuō)，理解上有些難度，不知道如何去落實(shí)。造成上述不利局面的原因：一是對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)不清晰，總覺(jué)得這是一個(gè)很高大上的概念；二是對(duì)“初步感悟”所表達(dá)的意思理解不明朗，不知道這種“意識(shí)”該如何落地。要解決這種困境，就有必要對(duì)模型意識(shí)這個(gè)概念進(jìn)行詳細(xì)的解讀，進(jìn)而提煉出培養(yǎng)模型意識(shí)的思路。

一、模型為本

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)模型意識(shí)的解釋?zhuān)斫獯烁拍睿紫纫欢ㄒ斫鈹?shù)學(xué)模型。關(guān)于數(shù)學(xué)模型的解釋?zhuān)话惴譃楠M義和廣義兩種。狹義地講，數(shù)學(xué)模型是指反映了特定問(wèn)題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。[1]廣義地講，數(shù)學(xué)模型就是為解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題而建立的數(shù)學(xué)概念、定義、公式、性質(zhì)、定理、規(guī)律、法則、圖表、圖形、數(shù)量關(guān)系式等。[2]狹義的理解更為精準(zhǔn)，主要是解釋了數(shù)學(xué)建模中的“模”。而廣義的理解缺乏一定的技術(shù)性含義，是一種比較寬泛的理解，它把數(shù)學(xué)中的各種概念、理論和公式等都稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型，甚至數(shù)學(xué)都被說(shuō)成是一門(mén)關(guān)于數(shù)學(xué)模型的學(xué)科。[3]可見(jiàn)數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)中的重要地位。

在小學(xué)階段，應(yīng)該如何理解數(shù)學(xué)模型呢？對(duì)比小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段關(guān)于模型思想的核心素養(yǎng)表現(xiàn)——小學(xué)階段的模型意識(shí)、初中階段的模型觀念、高中階段的數(shù)學(xué)建模，或許能給我們一些啟發(fā)。

從《課程標(biāo)準(zhǔn)》的解釋來(lái)看，小學(xué)階段的模型意識(shí)側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的“初步感悟”，初中階段的模型觀念側(cè)重于對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題“有清晰的認(rèn)識(shí)”，而到了高中階段，則要求用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題。整個(gè)體系遵循了從“感悟→認(rèn)識(shí)→應(yīng)用”逐步升級(jí)的認(rèn)知規(guī)律。

對(duì)模型意識(shí)的理解偏差，很大程度上是混淆了數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個(gè)概念。細(xì)讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》會(huì)發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)階段并沒(méi)有出現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的概念，初中開(kāi)始要求“初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程”，高中則要求具體了解數(shù)學(xué)建模的具體過(guò)程。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，小學(xué)階段的模型意識(shí)尚未上升到“建模”層次，而僅僅停留在對(duì)“模型”的理解階段。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)與模型觀念的高階目標(biāo)，模型觀念是初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，模型意識(shí)則是要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題。因此，在小學(xué)階段我們更愿意把數(shù)學(xué)模型做廣義的理解，即數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，它可以應(yīng)用到生活中，幫助我們解決同一類(lèi)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。這樣的理解更有利于模型意識(shí)的推廣，幫助學(xué)生建立模型觀念，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，我們來(lái)分析“1”這個(gè)數(shù)字。生活中其實(shí)是沒(méi)有1的，只有1個(gè)人、1個(gè)蘋(píng)果、1支鉛筆等。數(shù)字1是從這些數(shù)量為1的事物中抽象出來(lái)的符號(hào)，它還可以表示1輛車(chē)、1個(gè)班、1個(gè)地球等。因此，哪怕是最簡(jiǎn)單的數(shù)字1，都可以看作是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。

二、意識(shí)為標(biāo)

如何來(lái)把握模型意識(shí)這個(gè)概念呢？

對(duì)比《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的解釋?zhuān)瑫?huì)發(fā)現(xiàn)兩者有很多的相同之處，如都出現(xiàn)了“現(xiàn)實(shí)世界”“解釋”“跨學(xué)科”“解決”“問(wèn)題”等詞語(yǔ)。從兩者的內(nèi)涵上分析，應(yīng)用意識(shí)是有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題。而在模型意識(shí)中，廣義視角下的數(shù)學(xué)模型將數(shù)學(xué)的概念、原理和方法等包含在內(nèi)；解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)模型的普適性。可以看出，兩者的內(nèi)涵從本質(zhì)上講是緊密相關(guān)的。

再?gòu)膬烧叩耐庋由霞右苑治觥Ｒ皇悄Ｐ鸵庾R(shí)要求學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界中大多數(shù)的問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，要有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念和方法進(jìn)行解釋?zhuān)粦?yīng)用意識(shí)是要求學(xué)生能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，能用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行解決。從以上解釋可以看出，兩者都是在建立數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，要應(yīng)用數(shù)學(xué)去解釋或解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題。二是模型意識(shí)要求學(xué)生知道數(shù)學(xué)模型可以解決一類(lèi)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；而應(yīng)用意識(shí)要求學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語(yǔ)言在其他學(xué)科中的應(yīng)用。可以解決一類(lèi)問(wèn)題，也就是在這類(lèi)問(wèn)題中可以通用，因此兩者都在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的通用、應(yīng)用的重要性，只是表述上有略微的不同。

從以上分析可以看出，模型意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)在內(nèi)涵和外延上都有很多相似之處，或者我們也可以這樣來(lái)理解——模型意識(shí)是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)的主要路徑。在小學(xué)階段，不能對(duì)學(xué)生的模型意識(shí)有過(guò)高的要求，它只是數(shù)學(xué)建模的初級(jí)階段。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中要側(cè)重于對(duì)“意識(shí)”的把握，應(yīng)以“意識(shí)”為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生和鞏固這樣的意識(shí)：數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，它可以應(yīng)用到生活中，幫助我們解決同一類(lèi)的問(wèn)題。而這個(gè)度，則是達(dá)到“初步感悟”即可。

三、普適為徑

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于模型意識(shí)的解釋中還有三個(gè)字非常重要，那就是“普適性”。普適性是指某一事物（特別是觀念、制度和規(guī)律等）比較普遍地適用于同類(lèi)對(duì)象或事物的性質(zhì)。普適性是很多理論研究者一生所追求的目標(biāo)，希望能將某個(gè)理論推而廣之，從一個(gè)局部性的知識(shí)升級(jí)為具有普遍性的知識(shí)。[4]換而言之，模型意識(shí)的落地，就是要把數(shù)學(xué)中學(xué)到的東西，應(yīng)用到生活中去，解決同一類(lèi)的問(wèn)題。就如我們解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，便不僅僅是會(huì)做這一道題，而是要從中提煉出方法，能解決生活中這一類(lèi)的問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)模型的普適性。要做到“普適為徑”，需要培養(yǎng)和強(qiáng)化師生的幾種意識(shí)和能力。

一是抽象。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，就是事物中的數(shù)與形以及彼此之間的關(guān)系，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)應(yīng)主要關(guān)注的兩個(gè)方面。只有抽象出了結(jié)構(gòu)，才有可能建立模型。因此在教學(xué)中，我們要善于創(chuàng)設(shè)盡量真實(shí)的情境，更要善于抽象出數(shù)和形，集中學(xué)生的注意力，去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，我們?cè)诮虒W(xué)生認(rèn)識(shí)“1”的時(shí)候，就要先給他們呈現(xiàn)多種數(shù)量為1的事物，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些事物的相同點(diǎn)是數(shù)量都為1，從而抽象出“1”這個(gè)符號(hào)；然后再來(lái)學(xué)習(xí)讀1、寫(xiě)1，并請(qǐng)學(xué)生用1來(lái)說(shuō)一句話；最后，學(xué)生回家還要找出生活中數(shù)量為1的事物，跟家長(zhǎng)交流，充分體會(huì)1的應(yīng)用價(jià)值。再如，在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的特征時(shí)，我們就要呈現(xiàn)各種各樣的圖形，并從中找出長(zhǎng)方形和正方形，再提煉找的依據(jù)是什么，這些依據(jù)就是長(zhǎng)方形和正方形的特征。根據(jù)抽象出來(lái)的共同點(diǎn)，學(xué)生就能建立起長(zhǎng)方形和正方形的模型，也為他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)和生活中判斷一個(gè)圖形是否是長(zhǎng)方形和正方形，甚至是制造一個(gè)長(zhǎng)方形和正方形提供可靠的支撐。

二是對(duì)比。數(shù)學(xué)模型的價(jià)值在于，它能解決一類(lèi)問(wèn)題，而不是一個(gè)問(wèn)題。當(dāng)抽象出了一個(gè)模型后，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)比的意識(shí)和能力，找到同類(lèi)事物中的對(duì)應(yīng)元素，才能讓數(shù)學(xué)模型精準(zhǔn)地發(fā)揮作用。例如，我們?cè)诮虒W(xué)“鴿巢原理”時(shí)，先通過(guò)研究鴿子和巢的數(shù)量，以及可能出現(xiàn)的結(jié)果，抽象出鴿巢原理的模型；然后提供典型的或變式的事例作為練習(xí)，用來(lái)對(duì)比找出其中的“鴿”和“巢”，培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)比意識(shí)和能力，從而實(shí)現(xiàn)模型意識(shí)的落地（如下表所示）。

表1? ?“鴿巢問(wèn)題”的練習(xí)設(shè)計(jì)表格

[練習(xí) 鴿 巢 5個(gè)人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人 5個(gè)人 4把椅子 一副牌，取出大小王，還剩52張牌，任意抽取5張，至少有2張是同花色的 5張牌 4種花色 隨意找13位教師，他們中至少有2個(gè)人的屬相相同 13位教師 12種生肖 醫(yī)院的3樓有3位醫(yī)生，樓道里有5位病人在候診，至少有2位病人會(huì)找同一位醫(yī)生看病 5位病人 3位醫(yī)生 ]

本文開(kāi)篇提到的同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管的數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)解決生活中許多同類(lèi)型的問(wèn)題。最典型的就是自來(lái)水廠的蓄水池，一邊要出水，供應(yīng)居民生活所需，一邊要給蓄水池補(bǔ)充水，保持蓄水池的水量，而補(bǔ)充水量的大小要根據(jù)供水量的大小來(lái)設(shè)定。還有同樣用來(lái)蓄水的水庫(kù)，當(dāng)下大雨的時(shí)候，水庫(kù)就要泄洪，否則就會(huì)沖垮堤壩。一邊在下雨，就是進(jìn)水，一邊在泄洪，就是在出水，而泄洪的水量也是要根據(jù)降雨量的大小來(lái)計(jì)算。再延伸一下，我們?nèi)⒂^一個(gè)室內(nèi)展覽，隨時(shí)都有人進(jìn)出。當(dāng)參觀的人數(shù)很多時(shí)，也需要用到這個(gè)模型，要統(tǒng)計(jì)人們?cè)诶锩鎱⒂^的平均時(shí)間，調(diào)查室內(nèi)最大能容納多少人，再來(lái)計(jì)算單位時(shí)間可以放進(jìn)去多少人，這樣就可以讓我們更加合理地利用資源，實(shí)現(xiàn)資源利用效益的最大化。當(dāng)學(xué)生具備了這種對(duì)比的意識(shí)和能力，數(shù)學(xué)模型的普適性才能更好體現(xiàn)。

三是推廣。推廣其實(shí)就是應(yīng)用，在這里之所以用推廣一詞，筆者是想凸顯數(shù)學(xué)模型的“普適性”。首先，教師要有推廣的意識(shí)，不管教什么內(nèi)容，都要首先想一想它可以如何推廣，這是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一，因?yàn)槿藗兛偸窃敢饣〞r(shí)間花精力去學(xué)習(xí)有用的東西。例如，學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)加法算式1+1＝2，我們先讓學(xué)生充分理解這個(gè)算式各部分的意義，掌握讀法與寫(xiě)法，然后就要進(jìn)行推廣。我們可以讓學(xué)生想一想、說(shuō)一說(shuō)：生活中還有哪些問(wèn)題也可以用1+1＝2來(lái)解決？學(xué)生就會(huì)說(shuō)：我有1個(gè)爸爸，1個(gè)媽媽?zhuān)还灿袔讉€(gè)大人？我有1支鉛筆，媽媽又給我買(mǎi)了1支，現(xiàn)在有幾支鉛筆？我昨天在學(xué)校認(rèn)識(shí)了1個(gè)好朋友，今天又認(rèn)識(shí)了1個(gè)好朋友，我現(xiàn)在有幾個(gè)好朋友……然后，我們便可以總結(jié)：這么多的問(wèn)題，數(shù)學(xué)中一個(gè)算式就解決了，這個(gè)算式是什么？是1+1＝2。相信這個(gè)時(shí)候，在學(xué)生心中，1+1＝2就不再是一個(gè)冷冰冰的算式。它是一把神奇的鑰匙，可以打開(kāi)很多扇門(mén)。當(dāng)推廣意識(shí)作為一種自覺(jué)性傳遞給學(xué)生后，他們對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值有了更加篤定的理解，模型意識(shí)才算是真正落地。

其次，教師要有推廣的能力，要善于分解結(jié)構(gòu)，根據(jù)關(guān)鍵要素去尋找同類(lèi)事物，才能進(jìn)行推廣。開(kāi)篇的那道題，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，解決這道題的關(guān)鍵是要理解速度差，也就是把水池的蓄水量看作單位“1”，則進(jìn)水的速度為[1/6]，出水的速度為[1/9]，速度差為[1/6]－[1/9]=[1/18]，然后用1÷[1/18]=18（時(shí)）。所以，理解速度差是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。根據(jù)速度差就能聯(lián)想到追及問(wèn)題，追及問(wèn)題的基本模型是路程差÷速度差=追及時(shí)間。我們可以把“進(jìn)水”理解為一個(gè)跑得快的人，“出水”理解為一個(gè)跑得慢的人，他們之間的路程差就是“1”，兩者的速度差什么時(shí)候把這個(gè)“1”填滿(mǎn)了，水池就什么時(shí)候被注滿(mǎn)。也就是說(shuō)，同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管把水池注滿(mǎn)的問(wèn)題，其實(shí)是追及問(wèn)題模型的一個(gè)應(yīng)用。這樣一來(lái)，就非常形象生動(dòng)了。所以，講完出水管進(jìn)水管的問(wèn)題之后，我們可以推廣到這樣的題目：小明和小紅早上上學(xué)走同一條路，兩家相距400米，小明上學(xué)要經(jīng)過(guò)小紅家，小明的速度是100米/分，小紅的速度是60米/分。有一天他們同時(shí)出發(fā)，小明多少分鐘能追上小紅？也可以推廣到這樣的題目：哥哥和弟弟一起做口算題，哥哥每分鐘可以做30道題，弟弟每分鐘可以做25道題，為了公平，哥哥先讓弟弟做了20道題，哥哥幾分鐘可以和弟弟做的題一樣多？這種推廣能力，一定是建立在對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型深入分析的基礎(chǔ)上，找到關(guān)鍵要素，方能推而廣之。

綜上所述，要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有這樣三個(gè)基本的認(rèn)識(shí)：一是模型為本，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。二是意識(shí)為標(biāo)，數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用到生活中，幫助我們解決同一類(lèi)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。三是普適為徑，要在教學(xué)中去強(qiáng)化師生的三種意識(shí)和能力——抽象、對(duì)比、推廣。

（作者單位：重慶兩江新區(qū)星湖學(xué)校）

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參考文獻(xiàn)：

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