基于數(shù)學(xué)建模競賽的運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)方法*

董書琴 張玉臣 劉小虎 胡浩 劉鵬程

戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學(xué) 鄭州 450004

0 引言

運(yùn)籌學(xué)最早起源于“二戰(zhàn)”時期[1]，是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用類課程，作為管理類本科生的必修課之一，在整個管理類學(xué)生人才培養(yǎng)體系中占據(jù)重要地位，能有效培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)籌全局、科學(xué)決策的意識，鍛煉綜合運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力，為將來步入工作崗位打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。然而，由于課程內(nèi)容量大、授課課時少、教學(xué)方式單一，當(dāng)前運(yùn)籌學(xué)課程在教學(xué)過程中仍存在學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、動手能力不強(qiáng)、創(chuàng)新意識偏弱等問題，亟待對運(yùn)籌學(xué)教學(xué)方法進(jìn)行改革創(chuàng)新，突出實(shí)踐教學(xué)特色，豐富實(shí)踐教學(xué)案例，增強(qiáng)學(xué)生的參與度和獲得感，從而有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，不斷提升課程教學(xué)效果。

近年來，眾多高校教師對運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)改革進(jìn)行了廣泛研究，系統(tǒng)梳理了運(yùn)籌學(xué)知識體系，并通過合理設(shè)計課程案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，力求提升課程教學(xué)效果[2]；不斷更新運(yùn)籌學(xué)課程教育教學(xué)理念，靈活運(yùn)用課堂講授、課堂討論、案例教學(xué)、實(shí)驗教學(xué)等不同方式對課程教學(xué)改革進(jìn)行探索[3]；從管理學(xué)視角，對運(yùn)籌學(xué)教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和考核方式提出了若干改革建議，指出案例教學(xué)法在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情方面具有積極作用[4]；通過對管理類學(xué)科內(nèi)涵的分析，針對不同類型學(xué)生的特點(diǎn)，提出了管理運(yùn)籌學(xué)課程的教學(xué)改革建議[5]；分析了管理運(yùn)籌學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，指出將數(shù)學(xué)建模思想融入運(yùn)籌學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)對于提升學(xué)生實(shí)踐能力具有重要意義[6]。

綜上可知，將案例教學(xué)法和數(shù)學(xué)建模思想融入運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)過程，對于增強(qiáng)運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力具有積極的促進(jìn)作用，但是如何將數(shù)學(xué)建模競賽真題與運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)結(jié)合，科學(xué)設(shè)計課程實(shí)踐教學(xué)模式及案例仍需進(jìn)一步研究。

為此，本文以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力為導(dǎo)向，在深入剖析運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ)上，突出數(shù)學(xué)建模競賽的牽引作用，對運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)模式進(jìn)行改革創(chuàng)新，闡明從運(yùn)籌學(xué)知識到數(shù)學(xué)建模競賽實(shí)戰(zhàn)的正向應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生對課程知識的理解；基于建模競賽真題給出運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例設(shè)計思路與實(shí)踐教學(xué)方案，探索從競賽真題到運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例的反向提煉過程，以便在運(yùn)籌學(xué)課程實(shí)踐教學(xué)中不斷激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新活力，并在一定程度上提升學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力。通過運(yùn)籌學(xué)理論知識正向應(yīng)用和實(shí)踐案例反向提煉兩個過程，使學(xué)生真正做到學(xué)有所思、學(xué)有所得、學(xué)有所用，切實(shí)提升運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量。

1 運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)現(xiàn)實(shí)問題

作為一門數(shù)學(xué)應(yīng)用類課程，運(yùn)籌學(xué)既有很強(qiáng)的理論基礎(chǔ)，又可借助Matlab、Lingo、WinQSB 等計算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)具體問題模型的求解，主要用于解決有限資源條件下的優(yōu)化決策問題，其基礎(chǔ)理論包括規(guī)劃論、存儲論、排隊論、對策論、決策論以及圖與網(wǎng)絡(luò)分析等。運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)必須堅持理論與實(shí)踐并重，使學(xué)生不僅明白具體理論的含義，還能綜合運(yùn)用所學(xué)運(yùn)籌學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活中遇到的實(shí)際問題。然而，受限于課時，傳統(tǒng)課堂教學(xué)中對運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容的重視度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

1.1 忽視實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)

運(yùn)籌學(xué)是一門理論體系龐大的課程，傳統(tǒng)教學(xué)過程中，為了在有限課時范圍內(nèi)，讓學(xué)生盡可能多地掌握運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)知識，教師多以理論講授為主，花費(fèi)大量的時間進(jìn)行運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)理論和常用模型的講解，并通過簡單的課堂案例和課后習(xí)題加深學(xué)生對理論知識的理解。這種教學(xué)方法雖能使學(xué)生具備較為豐厚的運(yùn)籌學(xué)理論基礎(chǔ)，并初步具備一定的運(yùn)籌學(xué)思維，但在很大程度上忽視了運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)的重要性，最終學(xué)生只掌握了基本的運(yùn)籌學(xué)理論，對運(yùn)籌學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用了解不深，缺乏運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，無法有效應(yīng)對今后工作中遇到的管理決策等現(xiàn)實(shí)問題。

1.2 實(shí)踐教學(xué)案例單一

隨著教學(xué)改革的不斷深入，高校教師愈發(fā)意識到運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)的重要性，并逐步在課堂教學(xué)過程中引入實(shí)踐環(huán)節(jié)，旨在有效提高學(xué)生動手能力，使學(xué)生通過對運(yùn)籌學(xué)理論的活學(xué)活用，解決現(xiàn)實(shí)管理中遇到的問題。

然而，出于提升學(xué)生理論認(rèn)識的目的，現(xiàn)有大部分實(shí)踐教學(xué)案例多以教材例題和習(xí)題為主，通過引導(dǎo)學(xué)生利用計算機(jī)軟件進(jìn)行具體模型的求解，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生動手實(shí)踐能力的培養(yǎng)。但是，教材中的大部分例題和習(xí)題通常解題思路比較固定，缺乏思維的啟發(fā)性，基于教材例題和習(xí)題的實(shí)踐教學(xué)案例不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

1.3 實(shí)踐教學(xué)考核力度不足

目前，大多數(shù)高校在運(yùn)籌學(xué)考核時，通常按照平時作業(yè)30%和期末考試70%的方式來計算學(xué)生的課程成績[7]。這種考核方式以評價學(xué)生理論知識掌握程度為主，而對于實(shí)踐環(huán)節(jié)的考核通常僅占平時作業(yè)30%中的一小部分，整體考核力度較弱，致使學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中對實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)重視度不夠，對于具體的實(shí)踐類作業(yè)通常僅是應(yīng)付了事，缺乏積極主動的深入思考。學(xué)生對實(shí)踐教學(xué)的不重視，也會在一定程度上消磨教師實(shí)踐教學(xué)的熱情，最終使運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)停留在表面，無法達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的預(yù)期效果。

2 基于競賽牽引的運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)模式探索

興趣是最好的老師，為了提升運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)效果，必須不斷革新運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)模式，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生樂于學(xué)、善于學(xué)，從而主動運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)模型去解決現(xiàn)實(shí)中的問題。作為一種競技類比賽，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽有效融合了實(shí)際問題需求、課程教學(xué)理論和科學(xué)研究思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力[8]，逐漸成為學(xué)生建模思維和創(chuàng)新能力的練兵場與磨刀石，受到越來越多高校師生的關(guān)注。與此同時，數(shù)學(xué)建模競賽還可有效激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新精神和開拓意識，為運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)改革樹立了良好的導(dǎo)向。以建模競賽為牽引，對運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)模式進(jìn)行改革探索，實(shí)現(xiàn)對運(yùn)籌學(xué)理論的正向應(yīng)用，有助于解決運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)中存在的現(xiàn)實(shí)問題。

2.1 建立競賽激勵機(jī)制，激發(fā)學(xué)生參賽動力

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽通常要求參賽人員以三人為一小組的形式，在三天時間內(nèi)完成模型的建立與求解，并撰寫一篇高質(zhì)量的建模論文。競賽時間緊、任務(wù)重，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，而不敢輕易嘗試。可以結(jié)合運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)情況和學(xué)生人才培養(yǎng)方案，建立課內(nèi)與課外競賽激勵機(jī)制，通過增加獎勵學(xué)分的形式，激發(fā)學(xué)生的參賽動力，積極創(chuàng)造運(yùn)籌學(xué)理論知識的實(shí)踐運(yùn)用平臺。

2.2 梳理理論知識體系，促進(jìn)實(shí)踐教學(xué)落地

俗話說教學(xué)相長，教與學(xué)是不可分割的兩個部分，只有教師善于教，學(xué)生才能樂于學(xué)。脫離教師的指導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會變成無本之木、無源之水，建模競賽成績的獲得同樣離不開教師的指導(dǎo)。高校教師可以以建模競賽為牽引，通過分析近年來的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽真題，厘清運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐考查重點(diǎn)，進(jìn)而對運(yùn)籌學(xué)理論知識進(jìn)行系統(tǒng)性梳理，使學(xué)生更加清楚排隊論、圖論、對策論等理論知識的內(nèi)涵和外延，為學(xué)生在競賽中靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決實(shí)際問題奠定堅實(shí)基礎(chǔ)，更好地促進(jìn)實(shí)踐教學(xué)落地落實(shí)。

2.3 加大實(shí)踐教學(xué)比重，夯實(shí)學(xué)生實(shí)戰(zhàn)能力

圍繞數(shù)學(xué)建模競賽，加大師資日常培養(yǎng)力度，不斷提高教師研賽備賽熱情，深化實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容和典型案例，充分利用課上課下時間，以課堂案例、綜合實(shí)驗的方式，加強(qiáng)學(xué)生對典型建模案例的實(shí)踐訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握綜合運(yùn)用所學(xué)知識和計算機(jī)軟件解決實(shí)際問題的方法和技巧。

此外，還可以結(jié)合運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)安排，在賽前對參賽學(xué)生進(jìn)行建模強(qiáng)化訓(xùn)練，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的建模實(shí)戰(zhàn)能力，從而讓學(xué)生更有信心在競賽中獲得佳績。

2.4 拓展實(shí)踐教學(xué)形式，完善實(shí)踐教學(xué)模式

實(shí)踐出真知，學(xué)生創(chuàng)新能力的提高離不開形式多樣的實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容和形式新穎的實(shí)踐教學(xué)模式，可融合運(yùn)用課堂案例、綜合實(shí)驗和建模競賽開展運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)。

首先，通過課堂案例夯實(shí)學(xué)生運(yùn)籌學(xué)理論基礎(chǔ)，并引導(dǎo)學(xué)生利用計算機(jī)軟件對案例進(jìn)行求解；

其次，以典型建模問題為抓手，通過設(shè)置綜合實(shí)驗的方式，鍛煉學(xué)生利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；

最后，通過激勵學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競賽，將競賽成績作為學(xué)生實(shí)踐教學(xué)考核的有力補(bǔ)充，進(jìn)一步提升學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

通過上述過程，探索建立“課堂案例厲兵秣馬，綜合實(shí)驗小試牛刀，建模競賽實(shí)戰(zhàn)練兵”的運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)模式。通過教師與學(xué)生的主動參與和積極作為，逐步將數(shù)學(xué)建模競賽打造成運(yùn)籌學(xué)理論的重要實(shí)踐教學(xué)平臺。

3 依托建模競賽真題的運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例設(shè)計

在結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽探索運(yùn)籌學(xué)理論正向應(yīng)用過程的基礎(chǔ)上，圍繞數(shù)學(xué)建模競賽真題實(shí)現(xiàn)對運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例的反向提煉，有效地豐富運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)案例，為培養(yǎng)和提升學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力提供案例支撐。

3.1 實(shí)踐案例設(shè)計思路

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是對學(xué)生綜合能力素質(zhì)的考驗，其賽題通常是在廣泛征集各行各業(yè)現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ)上，經(jīng)組委會專家篩選提煉而成，不僅要求學(xué)生具備較為深厚的數(shù)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)理論知識，還需要學(xué)生擁有寬廣的知識面，能在讀懂題目的基礎(chǔ)上，建立問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而采用MATLAB、LINGO 等專業(yè)軟件對模型進(jìn)行求解。將數(shù)學(xué)建模競賽真題直接應(yīng)用于運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)，相對來說難度較大，無法使所有學(xué)生都參與進(jìn)去，大大降低了建模競賽真題的應(yīng)用價值。

需要以全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽歷年真題為基礎(chǔ)，對照運(yùn)籌學(xué)知識體系，通過縮減數(shù)據(jù)、減少變量和增加約束等方法對題目進(jìn)行適當(dāng)簡化，并根據(jù)學(xué)生的能力水平對案例運(yùn)用模式進(jìn)行層次化設(shè)置，以增大不同層次學(xué)生的參與感，使所有學(xué)生都能在運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)得到鍛煉，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并在實(shí)踐教學(xué)過程中不斷提升學(xué)生的創(chuàng)新能力。基于建模競賽真題的運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例設(shè)計與應(yīng)用思路如圖1 所示。

圖1 基于建模競賽真題的運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例設(shè)計與應(yīng)用思路

3.2 案例設(shè)計示例

在上述設(shè)計思路的基礎(chǔ)上，以2021 年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C 題[9]為例，對運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐案例進(jìn)行設(shè)計，并簡要說明基于所提案例的實(shí)踐教學(xué)方案。C 題是一道綜合運(yùn)用規(guī)劃論、決策論和啟發(fā)式方法進(jìn)行求解的典型賽題，主要分四個問題進(jìn)行考核，涉及運(yùn)籌學(xué)中的線性規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、運(yùn)輸問題、決策分析等多個理論。在案例設(shè)計過程中，既可針對單個理論提煉實(shí)踐案例，也可綜合多個理論對實(shí)踐案例進(jìn)行設(shè)計。

對于問題一中的原材料供應(yīng)商優(yōu)選問題，可從中提煉出決策分析理論的實(shí)踐案例，讓學(xué)生依據(jù)402 家原材料供應(yīng)商的歷史供貨情況，通過設(shè)置評價指標(biāo)，利用層次分析法對供應(yīng)商的供貨能力進(jìn)行排序，并篩選出最重要的50 家原材料供應(yīng)商。該案例相對來說比較容易上手，旨在培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，對學(xué)生創(chuàng)新思維的啟發(fā)與鍛煉主要體現(xiàn)在評價指標(biāo)的設(shè)置方面。

對于問題二中原材料訂購方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案制定問題，可將決策變量設(shè)為是否選擇某個原材料供應(yīng)商或轉(zhuǎn)運(yùn)商，從中提煉出兩個0 ～1 整數(shù)規(guī)劃實(shí)踐案例，讓學(xué)生在給定原材料供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的基礎(chǔ)上，依次制定最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購方案及損耗最少的轉(zhuǎn)運(yùn)方案。兩個案例既可獨(dú)立設(shè)置，降低每個實(shí)踐案例求解的復(fù)雜度，又可相互關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生邏輯思維的鍛煉，從而進(jìn)一步深化學(xué)生對整數(shù)規(guī)劃理論的理解。

對于問題三中綜合考慮轉(zhuǎn)運(yùn)成本、倉儲成本和轉(zhuǎn)運(yùn)損耗制定最優(yōu)原材料訂購方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案的問題，可從中提煉出針對單一成本因素的線性規(guī)劃實(shí)踐案例，也可從中提煉出一個綜合多因素的目標(biāo)規(guī)劃實(shí)踐案例，多角度全方位提升學(xué)生運(yùn)籌學(xué)知識運(yùn)用能力及動手實(shí)踐能力。

對于問題四中產(chǎn)能提升及其對應(yīng)的最優(yōu)原材料訂購方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案制定問題，可將產(chǎn)能提升和最優(yōu)方案制定看作最優(yōu)化決策過程中的不同階段，從中提煉出一個動態(tài)規(guī)劃實(shí)踐案例，并發(fā)散學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生利用啟發(fā)式方法進(jìn)行問題的求解，從而在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

在上述實(shí)踐案例的基礎(chǔ)上，可針對學(xué)生的能力水平制定層次化實(shí)踐教學(xué)方案。對理解能力和動手能力偏弱的學(xué)生，可讓其僅進(jìn)行一兩個簡單實(shí)踐案例的求解，以加深對理論知識的理解，如通過對問題二相關(guān)案例中最經(jīng)濟(jì)原材料訂購方案的求解，更好地掌握整數(shù)規(guī)劃模型；對理解能力好、動手能力強(qiáng)的學(xué)生，可依托問題一、二、三相關(guān)的多個實(shí)踐案例對其實(shí)踐能力進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，并嘗試?yán)脝l(fā)式方法對實(shí)踐案例的求解過程進(jìn)行優(yōu)化，使其初步具備創(chuàng)新意識；對于綜合能力強(qiáng)、創(chuàng)新意識高的學(xué)生，可綜合運(yùn)用問題一至四相關(guān)實(shí)踐案例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，對問題進(jìn)行創(chuàng)造性求解，進(jìn)一步提高創(chuàng)新能力。

4 結(jié)束語

將建模思想融入運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，并圍繞數(shù)學(xué)建模競賽，探索運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)模式，設(shè)計運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)案例，對激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力具有重要的促進(jìn)作用。同時，依托數(shù)學(xué)建模競賽真題的實(shí)踐案例設(shè)計思路對豐富運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)案例、改革運(yùn)籌學(xué)實(shí)踐教學(xué)方法具有重要的借鑒意義，還需持續(xù)進(jìn)行研究。