物理強(qiáng)基測試中估算問題賞析

丁慶紅 靜 瑋 付永敢

(1.北京教育學(xué)院石景山分院 2.北京市懷柔區(qū)教科研中心 3.北京市房山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校)

縱觀近些年的物理強(qiáng)基試題,出現(xiàn)了不少估算問題,這些問題往往以真實(shí)情境為素材,通過靈活開放的設(shè)問,綜合考查學(xué)生建立物理模型、推理論證等方面的能力和素養(yǎng).估算問題的特點(diǎn)是重“理”不重“數(shù)”,不追求數(shù)據(jù)的精確而強(qiáng)調(diào)方法的合理,經(jīng)常要利用物理概念、規(guī)律和常識(shí)對物理量的數(shù)量級進(jìn)行快速計(jì)算.解決估算問題的關(guān)鍵有三,一是要善于抓住主要因素,建立物理模型;二是要善于挖掘隱含條件;三是要適當(dāng)選取數(shù)據(jù),合理近似計(jì)算.如阿伏伽德羅常數(shù)可取NA＝6×1023mol-1,室溫可取T＝300K,空氣的摩爾質(zhì)量取M＝2.9×10-2kg等.

1 估算人體平均密度

2 估算西伯利亞猛犸象的解凍時(shí)間

A.23天 B.273天

C.2300天 D.以上都不對

為簡化計(jì)算,假設(shè)它們的平均密度相同,設(shè)為ρ;它們的比熱容相同,設(shè)為c;它們的表面和球心的溫差也相同,設(shè)為ΔT.則火雞的質(zhì)量,西伯利亞猛犸象的質(zhì)量

根據(jù)熱傳導(dǎo)定律,傳遞的熱量與溫度梯度(溫度差除以距離)、接觸面積和時(shí)間成正比,可知在時(shí)間t1內(nèi),傳遞給火雞的熱量為.而解凍火雞需要的熱量,則

解得解凍火雞需要的時(shí)間

同理,解凍西伯利亞猛犸象需要時(shí)間

把t1＝2 天,m＝5kg,M＝8t代入上式,解得t1≈273天.

3 估算常溫常壓下氣體分子單位時(shí)間內(nèi)的碰撞次數(shù)

A.1012B.109

C.106D.103

式中R＝8.31J·(mol·K)-1,稱為普適氣體恒量.最概然速率常在討論氣體分子速率分布等問題時(shí)使用,平均速率常在討論氣體分子碰撞、分子間距等問題時(shí)使用,而方均根速率常在討論氣體分子平均動(dòng)能等問題時(shí)使用.在室溫下,這三種速率都在每秒數(shù)百米左右.

設(shè)氮?dú)獾哪栙|(zhì)量為M,則每個(gè)氮?dú)夥肿拥馁|(zhì)量為.結(jié)合克拉珀龍方程,可得單位體積內(nèi)的分子數(shù)

下面我們建立一個(gè)模型來求解單位時(shí)間內(nèi)氮?dú)夥肿拥呐鲎泊螖?shù).設(shè)某個(gè)氮?dú)夥肿右云骄俾蔬\(yùn)動(dòng),取(由于是估算,也可以用上述另外兩種速率來替代).氮分子的有效截面積為πr2,則單位時(shí)間內(nèi)掃過的體積為,該體積內(nèi)的氣體分子將被氮分子碰撞,其分子數(shù)目就是氮分子碰撞的次數(shù),即

可見,選項(xiàng)B正確.

【拓展】在上述模型下,如果對氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的一些數(shù)據(jù)有了解,即可快速求解.如在室溫下,上述氣體分子的三種速率都在每秒數(shù)百米左右,與槍彈的速度差不多.在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,氣體的分子數(shù)密度為n0＝1025m-3.我們?nèi)?則每秒氮?dú)夥肿优c其他空氣分子碰撞次數(shù)

4 一個(gè)關(guān)于艾里斑問題的估算

A.12km B.9km

C.6km D.3km

當(dāng)兩物點(diǎn)在透鏡焦平面上所形成的兩個(gè)艾里斑中心的距離等于一個(gè)艾里斑的半徑時(shí),通常認(rèn)為兩個(gè)物點(diǎn)剛好能被人眼或光學(xué)儀器所分辨,這一條件稱為瑞利判據(jù).

如圖1所示,車兩燈間距l(xiāng)＝1.2 m,人眼睛的瞳孔直徑D＝4.0mm,由于光的衍射,車燈會(huì)形成一個(gè)艾里斑,艾里斑的角半徑為,即為人眼的最小分辨角.兩車燈能否被分辨,取決于兩燈對人眼的張角θ和人眼的最小分辨角θ0的關(guān)系,當(dāng)θ≥θ0時(shí)能分辨.

圖1

根據(jù)瑞利判據(jù)θ＝θ0,有關(guān)系式.解得

代入數(shù)據(jù)得d＝6km.故選項(xiàng)C正確.

5 估算小球做減速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

A.2s B.5s

C.20s D.100s

圖2

可見,小球做加速度越來越小的減速運(yùn)動(dòng).由于加速度a與速度v的平方關(guān)聯(lián),對該方程進(jìn)行精確求解是很困難的.

下面另辟蹊徑,用半定量的方法來進(jìn)行估算.當(dāng)小球的速度v0＝10m·s-1時(shí),其加速度最大為

當(dāng)小球剛要停下來時(shí),其加速度最小,為amin＝μg＝0.1m·s-2.如果小球保持amax＝0.2m·s-2不變,則其停下來的時(shí)間為.如果小球保持amin＝0.1m·s-2不變,則其停下來的時(shí)間為

由于小球做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng),故其停下來的時(shí)間接近100s.選項(xiàng)D 正確.

代入數(shù)據(jù),解得t＝78.5s.

6 估算棒球的速度

A.7.0m·s-1

B.6.5m·s-1

C.5.7m·s-1

D.5.3m·s-1

考慮到實(shí)際,有三種可能情況.

一是彈性碰撞,即碰撞前后機(jī)械能守恒,這種情況下碰后球的速度最大.則,解得

二是完全非彈性碰撞,機(jī)械能損失最多,也就是碰撞后球的速度為v＝ωl,這種情況下球的速度最小,解得三是介于上述兩種情況之間,球獲得的速度也介于兩種情況之間.故選項(xiàng)A、B、C、D 均正確.

7 子彈擊中木板中部與邊緣

圖3

A.兩木板質(zhì)心上升高度相同

B.甲質(zhì)心高

C.乙質(zhì)心高

D.乙中木板將繞質(zhì)心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

如圖3-乙所示,設(shè)木板長度為l,忽略桌腿外側(cè)木板的長度,以木板與左側(cè)桌腿接觸處為轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)子彈m擊中板右端時(shí),由角動(dòng)量守恒得

再選擇右端點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn),設(shè)木板左端所受支持力為F,由角動(dòng)量定理得F·l·Δt＝I1ω,解得F·Δt＝Mlω.對子彈與木板組成的系統(tǒng),由動(dòng)量定理有

即hb＞ha,所以選項(xiàng)C正確.

【拓展】1)上述解法中,我們還可以利用題設(shè)條件,m?M,則,顯然圖3-乙中木板上升的高度大.

2)作為選擇題,還有更簡潔的方法.假設(shè)子彈沒有擊穿木板,則子彈射入木板相當(dāng)于完全非彈性碰撞.對木板和子彈組成的系統(tǒng),題中兩種情況子彈提供的沖量相同,但圖3-乙中從一端擊中時(shí)有桌腿額外提供的沖量,所以圖3-乙中木板質(zhì)心速度會(huì)更大.

8 一道關(guān)于子母球問題的估算

圖4

A.地軟時(shí),h2≈h1

B.地軟時(shí),h2?h1

C.地硬時(shí),h2≈h1

D.地硬時(shí),h2≈3h1

E.地硬時(shí),h2≈9h1

若地軟,則小球落地后不反彈,速度為0,題中h1＝0.大球落地雖也不反彈,但小球以速度v0＝和大球碰撞后,將以同樣大小的速度反彈,則小球會(huì)上升到釋放時(shí)的位置,則h2＝h?h1.

從上面分析的問題背景來看,強(qiáng)基試題注重考查與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系,如估算人體平均密度和估算解凍時(shí)間;注重考查科學(xué)理論和技術(shù)中的典型問題,如關(guān)于艾里斑問題的估算,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注光學(xué)儀器的分辨率;注重考查中學(xué)物理的經(jīng)典問題,如子母球問題.強(qiáng)基試題旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),關(guān)注技術(shù)與應(yīng)用,聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際,學(xué)會(huì)理性思考;通過真實(shí)復(fù)雜問題的解決,引導(dǎo)學(xué)生建立模型,利用物理概念、規(guī)律、常識(shí)和恰當(dāng)方法,通過推理論證,得到可靠結(jié)論,發(fā)展核心素養(yǎng).

(完)