靜力學(xué)“動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程”分析與極值探討

張大洪

(重慶市潼南實(shí)驗(yàn)中學(xué))

“靜力學(xué)的平衡”是高中物理學(xué)習(xí)中同學(xué)們最先接觸且涉及廣泛的力學(xué)問(wèn)題,其貫穿整個(gè)高中物理學(xué)習(xí)過(guò)程,是高考中最基本且最重要的一類(lèi)問(wèn)題.靜力學(xué)平衡中的“動(dòng)態(tài)過(guò)程”探討更是歷年高考屢見(jiàn)不鮮的考點(diǎn),此類(lèi)問(wèn)題對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)及幾何作圖、識(shí)圖能力的要求很高.處理此類(lèi)問(wèn)題要遵循“動(dòng)中取靜、靜中探變”的思想,最常用的方法有力矢量三角形法、相似三角形法、三角函數(shù)解析法等.

1 動(dòng)態(tài)力矢量三角形作圖法

1)一個(gè)力的大小與方向均確定(恒力),另一個(gè)力的方向確定,探討第三個(gè)力的大小與方向的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程與極值.

圖1

A.FN1先增大后減小,FN2一直減小

B.FN1先減小后增大,FN2一直減小

C.FN1和FN2都一直在增大

D.FN1和FN2都一直在減小

圖2

小結(jié)因二變力之合必與恒力等大反向,故以與恒力等大反向的力為合力更便于作圖,抓住一個(gè)力的方向不變,利用平行四邊形定則或三角形法則,正確表示另一個(gè)力的方向變化所引起的動(dòng)態(tài)過(guò)程是處理問(wèn)題的關(guān)鍵,據(jù)此來(lái)細(xì)致探討二變力的變化情況及極值.

2)一個(gè)力的大小與方向均確定(恒力),另一個(gè)力的大小確定但方向可變,探討由此力方向的變化引起的各力大小、方向的動(dòng)態(tài)變化.

圖3

A.導(dǎo)線(xiàn)受到的安培力逐漸變大

B.絕緣細(xì)線(xiàn)受到的拉力逐漸變大

C.絕緣細(xì)線(xiàn)與豎直方向的夾角θ先增大后減小

D.導(dǎo)線(xiàn)受到的安培力與絕緣細(xì)線(xiàn)受到的拉力的合力大小不變,方向隨磁場(chǎng)方向的改變而改變

圖4

小結(jié)正確進(jìn)行受力分析,充分抓住輔助圓的半徑大小不變來(lái)確保一個(gè)力的大小不變但方向可動(dòng)態(tài)變化是處理問(wèn)題的關(guān)鍵;注意重力為恒力且動(dòng)態(tài)過(guò)程中滿(mǎn)足三力之和為0,即三力矢量首尾相接必構(gòu)成一個(gè)封閉的矢量三角形,可直觀(guān)形象探討動(dòng)態(tài)過(guò)程中物理量的變化情況.

3)一個(gè)力的大小與方向均確定(恒力),另兩個(gè)力僅大小相等且未知,而方向不確定,探討另兩個(gè)力的大小與方向的動(dòng)態(tài)變化.

圖5

A.若F一定,θ大時(shí)FN大

B.若F一定,θ小時(shí)FN大

C.若θ一定,F大時(shí)FN大

D.若θ一定,F小時(shí)FN大

圖6

小結(jié)合理選擇合力,抓住另兩個(gè)力的特征,充分利用平行四邊形定則或三角形法則,結(jié)合動(dòng)態(tài)過(guò)程的誘因探究物理量的變化情況.

4)一個(gè)力的大小與方向均確定(恒力),另兩個(gè)力的大小、方向均不確定,但此二力的夾角為定值,探討此二力的動(dòng)態(tài)變化.

圖7

A.F增大、FN減小

B.F減小、FN減小

C.F增大、FN增大

D.F減小、FN增大

圖8

小結(jié)動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程滿(mǎn)足三力之和為0,即三力矢量首尾相接必構(gòu)成一個(gè)封閉的矢量三角形,抓住二變力間的夾角θ及此角對(duì)應(yīng)的那個(gè)力恒定不變,正確作出以此恒力為弦、以二變力間的夾角θ為此恒力弦對(duì)應(yīng)的圓周角的輔助圓是解題的關(guān)鍵,即可借此輔助圓來(lái)直觀(guān)細(xì)致探討動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化情況.

5)一個(gè)力的大小與方向均確定(恒力),另兩個(gè)力的大小、方向均不確定,但其間的夾角作單調(diào)增減變化,探討二力的大小、方向的動(dòng)態(tài)變化.

圖9

A.OC繩的拉力逐漸增大,OD繩的拉力逐漸減小

B.OC繩的拉力逐漸減小,OD繩的拉力逐漸增大

C.OC繩和OD繩的拉力均逐漸減小

D.OC繩和OD繩的拉力均逐漸增大

圖10

小結(jié)以與恒力等大反向的力為合力,充分利用平行四邊形定則或三角形法則,抓住二變力的特點(diǎn)即可進(jìn)行二變力的動(dòng)態(tài)過(guò)程探討.

2 力矢量三角形與幾何三角形相似法的應(yīng)用

圖11

A.BC繩中的拉力F越來(lái)越大

B.BC繩中的拉力F越來(lái)越小

C.AC桿 中 的 支 持 力FN越來(lái)越大

D.AC桿 中的 支 持力FN越來(lái)越小

圖12

其中mg、AB、AC均不變,BC逐漸減小,則由上式知FN不變,F變小,選項(xiàng)B正確.

小結(jié)首先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析,利用共點(diǎn)三力平衡的條件即合力為0作出三力矢量首尾相接的封閉三角形,然后抓住此力矢量三角形所對(duì)應(yīng)的幾何三角形,利用相似的比例關(guān)系列出簡(jiǎn)單的關(guān)系式,再準(zhǔn)確判斷出動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中三力矢量與三邊幾何長(zhǎng)度的不變量及變化量的特點(diǎn)與變化情況,利用比例關(guān)系式即可處理各變化量的動(dòng)態(tài)變化情況.此方法能有效避免煩瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算(特別是三角函數(shù)的運(yùn)算).

3 解析法處理靜力學(xué)平衡的動(dòng)態(tài)過(guò)程及極值探究

1)用三角函數(shù)的單調(diào)性分析處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題.

圖13

A.F逐漸變大,FT逐漸變大

B.F逐漸變大,FT逐漸變小

C.F逐漸變小,FT逐漸變大

D.F逐漸變小,FT逐漸變小

小結(jié)正確受力分析并利用平衡條件建立各力間的平衡方程,抓住各力與三角函數(shù)的單調(diào)變化關(guān)系,即可探討此類(lèi)平衡的動(dòng)態(tài)問(wèn)題.2)用正弦定理處理動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程.

圖14

A.甲繩的拉力先增大后減小

B.乙繩的拉力先增大后減小

C.當(dāng)重物接近乙處時(shí)甲繩的拉力接近

D.當(dāng)重物接近乙處時(shí)乙繩的拉力接近mg

圖15

重物向乙處移動(dòng)的過(guò)程中α、β均增加,設(shè)直線(xiàn)l甲乙與過(guò)點(diǎn)甲的豎直線(xiàn)的夾角為θ,則必有2β+(θ-α)＝180°,設(shè)α增加角度x時(shí)β增加的角度為y,則有

由此二式得x＝2y,即在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中α角的增加值是β角增加值的2 倍,故在α、β均增加的過(guò)程中β-α必減小,即減小,則FT1始終減小,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤.

因?yàn)棣?、β始終為銳角,且α＜β,由三角函數(shù)關(guān)系式可知

當(dāng)α增加x,且β增加y時(shí),乙對(duì)物體的拉力為F'T2,則同理有

如圖16所示,重物接近乙時(shí),乙與重物的連線(xiàn)逐漸與重物的軌跡相切,兩繩間的夾角逐漸趨近90°,即兩拉力垂直,由相似三角形可得

圖16

小結(jié)在用正弦定理處理靜力學(xué)平衡的動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí),首先要作出共點(diǎn)三力平衡的封閉力矢量三角形,找準(zhǔn)其邊、角對(duì)應(yīng)關(guān)系,在處理實(shí)際動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中要仔細(xì)研究角度變化的制約關(guān)系及其相應(yīng)三角函數(shù)的變化情況,熟練應(yīng)用三角函數(shù)運(yùn)算及其變換,才能正確解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題.

圖17

小結(jié)正確理解與應(yīng)用三角變換.

圖18

4)用cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題.

圖19

(1)α、θ間滿(mǎn)足什么條件時(shí),拉力F有最小值,求此最小值;

(2)求在拉力F取最小值的情況下木楔對(duì)水平面的摩擦力.

(1)木塊在力F的作用下沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)其受力如圖19所示,由力的平衡條件可得平衡方程

由于θ是恒定不變的,故只有當(dāng)cos(θ-α)取最大值1時(shí),即α＝θ時(shí),拉力F有最小值,且最小拉力為Fmin＝mgsin2θ.

(2)以M+m為整體,因木塊沿木楔勻速上升而木楔始終靜止,M+m整體處于平衡態(tài),故整體受到地面的摩擦力等于F的水平分力,即

當(dāng)F取最小值Fmin＝mgsin2θ時(shí)有

小結(jié)合理選擇研究對(duì)象,正確受力分析,利用平衡條件建立各力間的平衡方程,熟練掌握三角函數(shù)的和差化積、倍角關(guān)系等公式及其應(yīng)用,結(jié)合三角函數(shù)的變化特征即能快速處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中的臨界與極值問(wèn)題.

5)靜力學(xué)平衡動(dòng)態(tài)過(guò)程中的自鎖問(wèn)題.

圖20

(1)求地面對(duì)物體A的靜摩擦力大小;

(2)無(wú)論物塊C的質(zhì)量多大,都不能使物塊A或B沿地面滑動(dòng),則μ至少要多大?

圖21

對(duì)物體A水平方向有

(2)要使A、B始終不沿地面滑動(dòng),則須滿(mǎn)足地面對(duì)其實(shí)際靜摩擦力小于或等于其最大靜摩擦力,即Ff≤Ffm,由于A與地面之間的最大靜摩擦力為

小結(jié)對(duì)于摩擦自鎖問(wèn)題,沿自鎖面的實(shí)際靜摩擦力小于或等于此表面的最大靜摩擦力即為自鎖條件.

總之,處理靜力學(xué)平衡的“動(dòng)態(tài)過(guò)程”問(wèn)題時(shí),作圖法能直觀(guān)、形象地反映出動(dòng)態(tài)過(guò)程中相關(guān)物理量的大小、方向的變化情況與過(guò)程,能簡(jiǎn)潔地反映出物理量變化中可能出現(xiàn)的極值,避免了煩瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題會(huì)更簡(jiǎn)便、快捷,用時(shí)更少,效率更高.但不能得出各狀態(tài)的具體數(shù)值,對(duì)幾何作圖與分析的要求也較高,抓住動(dòng)態(tài)過(guò)程中某物理量的本質(zhì)特性正確建立輔助圖形(輔助圓、矢量三角形、幾何三角形、平行四邊形等)是探究動(dòng)態(tài)過(guò)程的關(guān)鍵.解析法能準(zhǔn)確、細(xì)致得出動(dòng)態(tài)過(guò)程中各狀態(tài)物理量的具體數(shù)值,且對(duì)多力(三個(gè)以上)平衡問(wèn)題的處理也更恰當(dāng),但其對(duì)三角函數(shù)及其相應(yīng)的各種變換與計(jì)算要求很高,計(jì)算過(guò)程也較復(fù)雜,因此要求同學(xué)們有充足的知識(shí)與能力儲(chǔ)備.

(完)