3D建模對立體幾何教學有效性探究

摘?要：3D建模是近年來高中立體幾何教學興起的熱門教學技能，與傳統(tǒng)教學相比，它具有動態(tài)直觀、利于展示等優(yōu)勢。然而，多媒體教學缺少板書和思考過程的缺點也一直被廣大一線教育工作者詬病，所以探討信息技術對教學的促進作用成為高中教學中持久的話題。本文采用實驗教學思想，通過設置對比實驗對信息技術教學的有效性進行了探究。

關鍵詞：3D建模；立體幾何；有效性；探究

1?研究的背景和現(xiàn)狀

立體幾何一章的學習，對于很多初上高中的學生而言，顯得比較困難。在傳統(tǒng)的教學模式下，教師常常采用實物模型或黑板繪圖的方式來進行教學，然而這對于缺乏空間想象力的學生而言，學習本章困難重重。

信息技術的發(fā)展，讓多媒體技術進入了課堂，使得越來越多的教師采用多媒體技術中的3D建模方式來進行立體幾何一章內容的教學。然而，過多地依賴多媒體技術去繪制圖形來進行解題，容易導致學生缺乏自己動手繪制空間圖形的技能，以至于最終無法形成自己的空間想象能力來解決空間中的各種問題。在這種矛盾的背景下，本文就兩種教學模式下的效果進行了實驗探究，希望能分析發(fā)現(xiàn)一些多媒體教學中的問題。

2?研究的內容和方向

在立體幾何一章，球類問題處于章節(jié)的中間位置，承上啟下，是一節(jié)過渡性的內容，也是對學生空間想象力要求比較高的一節(jié)內容。選擇該節(jié)內容來研究立體幾何3D建模教學，比較具有代表性和針對性。而對于研究方向，筆者決定先從3D建模是否在立體幾何教學中起到作用方向入手，如果沒有起到作用，則終止實驗；如果有效，再去探究有效程度的具體情形，最終形成分析結論。

3?3D建模是否有效探究

如何能證明3D建模教學對學生解決立體幾何問題起到了促進作用？筆者決定在教學中，針對下面這道例題，采用傳統(tǒng)教學和信息技術教學兩種不同的教學模式，以此展開進行對比實驗。

例：已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，求球O的表面積。

球的這類問題的一般解決思路如下：

（1）首先尋找底面三角形ABC外接圓的圓心，因為底面是直角三角形，所以外接圓圓心O′位于斜邊BC的中點位置。

（2）根據(jù)外接球的特點，球心O到A，B，C三個頂點的距離相等，所以球心O應位于外接圓圓心O′的正上方。至于在O′上方什么位置，因為三條側棱與底面垂直的緣故，所以OO′長度為側棱長的一半。

（3）連接OA與O′A，從而構成直角三角形O′OA，球的半徑R=OA，在直角三角形O′OA中，利用勾股定理求出斜邊OA的長度，即球的半徑R=132，從而根據(jù)球的公式計算出球的表面積S=4πR2=169π。

圖2?分析思路及模型展示

當然，除了這種常規(guī)的解決思路之外，這道題還有另外一種巧妙的解決方案，那就是采用補形的思想，將三棱柱補成長方體。根據(jù)長方體所具有的良好對稱性，其體對角線便是外接球的直徑，從而快速進行球的直徑計算，使問題得到解決。

補形是立體幾何中的常用方法，所以兩種方法都有必要教給學生，然而作為解決球類問題研究的一般方法，應著重給學生強調第一種常規(guī)解法。

對比實驗：

（1）篩選樣本：對于這道例題的講解，筆者選擇了高一年級甲乙兩個班來進行對比實驗。這兩個班級初始分班平均成績相當，在兩個班，筆者又各自篩選了30名學生，通過上一次立體幾何測驗的成績，統(tǒng)計篩選出的兩個班各30名同學的平均分都為80分，保證實驗的起點相同。

（2）分類教學：在甲班，筆者采用傳統(tǒng)的粉筆畫圖教學，沒有多媒體軟件的3D動態(tài)展示，教學主要依賴于學生借助足球、籃球等日常模型來發(fā)揮自己的空間想象力，手動繪圖解決；而在乙班，筆者采用了上面的多媒體軟件進行3D的動態(tài)展示，借助軟件呈現(xiàn)解決的思路，也頗為擔心用軟件3D繪圖呈現(xiàn)取代傳統(tǒng)手動畫圖的過程會不利于學生培養(yǎng)自己的空間想象能力。

（3）效果檢驗：為了檢驗兩種教學方式下的效果差異，在第三個環(huán)節(jié)，我設置了同類型的練習題，讓學生動手解決，練習題如下。

練習：在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是邊長為?3的等邊三角形，求該三棱錐外接球的表面積。

（4）統(tǒng)計分析：這道題的解決思路跟例題完全一樣，但學生只有真正建立起解決球類問題的空間想象力，才能正確解答，經過統(tǒng)計，兩個班答對的人數(shù)分別為18和24人，從人數(shù)來看，乙班同學占有優(yōu)勢，利用2×2列聯(lián)表統(tǒng)計如下：

依據(jù)卡方檢驗數(shù)值分析表，計算結果2.86>2.706，從而可以在確定本次實驗中，甲乙兩個班級的測驗結果具有顯著性差異。有90%的把握認為3D建模對提高球類問題解決起到了作用，該結論錯誤的概率不超過0.1。根據(jù)分析，3D建模對球類問題教學起到了促進作用，所以我們完全有繼續(xù)研究下去的必要。

4?3D建模的有效性探究

為了研究3D建模對解決球類問題促進作用的有效性強弱具體情況，我設計了第二組對比實驗。除了上面的這道例題之外，我又選取了五道例題，制作五個3D模型，計劃進一步進行本節(jié)內容的教學。3D模型因本文篇幅有限，不進行展示，五道新例題如下：

例題1：一個四面體的所有棱長為2，四個頂點都在同一球面上，求此球的體積。

例題2：已知正方體棱長為4，分別求其內切球、外接球和所示球的表面積。

例題3：頂點在同一球面上的正四棱柱所示，其中AB=1，AA′=2，求A，C兩點間的球面距離。

例題4：在棱長為4的正方體中，O是外接球的球心，求平面ABC截球O所得截面的面積。

例題5：若把例題4中點A，C改為中點M，N，你有什么好的解決方案？

最后一道例題對空間想象計算能力要求頗高，具有較強的選拔分層功能，可以很好地篩選出立體幾何章節(jié)學得較好的同學，這五道題連同第一道例題一起，合計設置六道例題。

在同事的配合下，筆者首先在六個不同的教學班各自選取了30名平均成績相當?shù)耐瑢W參與這次實驗，共計180人。然后，在講解這六道球類立體幾何題目的時候，筆者在六個班均展示了3D模型，但展示的個數(shù)六個班各不相同，依次增加，數(shù)量為：1、2、3、4、5、6。

在六個班講解完成這六道例題之后，筆者在六個班分別測試了一模一樣的試卷，試卷上有20道同例題類型一樣的球類題目。測試的目的在于檢驗講解過程中展示的3D模型數(shù)量對學生做題正確率的影響差異。（因本文篇幅有限，20道練習題不進行展示）

測試完成后，統(tǒng)計六個班共180名同學平均做對的題數(shù)，分班展示出來，結果如下方表格：

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，初步嘗試作出的展示的模型數(shù)量x（個）與平均答對題目的數(shù)量y（個）的散點圖，然后在散點圖的基礎上利用Excel軟件求出回歸直線的方程y=092x+10.82，并初步計算線性相關系數(shù)r，結果如下：

雖然利用Excel軟件計算出的兩組數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為r≈0.918，顯示擬合程度較高，但線性相關勻速增長情形在統(tǒng)計學中屬于太過理想的情況，不符合很多實際情況，往往都需要更進一步分析。于是在此基礎上又計算了該模型擬合的更精確指標——相關指數(shù)R2，Excel軟件計算結果顯示相關指數(shù)R2≈0.843，該指數(shù)計算結果范圍在（0，1）之間，數(shù)值接近0說明擬合效果較差，而數(shù)值越接近1則說明擬合效果越好。本次實驗結果0.843不算特別接近1，說明回歸直線y=0.92x+10.82確實應該不是x與y之間的最佳擬合模型選擇方案。

仔細觀察散點的走勢，有點像對數(shù)型的緩慢增長。為此，筆者決定采用對數(shù)模型y=alnx+b來嘗試擬合，檢驗效果。在對數(shù)模型公式中，令t=lnx進行換元，得到y(tǒng)=at+b，將非線性模型轉化為線性模型進行計算。對直線y=at+b，利用Excel軟件回歸直線進行擬合計算，并計算出t與y的相關指數(shù)R2。

t與y相關指數(shù)R2≈0.972，遠高于上組結果，說明模型數(shù)x與答對數(shù)y之間真正呈現(xiàn)的是還原換元的部分后的對數(shù)型y=2.80lnx+10.98緩慢增長。

5?結論分析

從計算的結果我們進行分析總結，得出結論：3D建模對于學生解決球類問題確實起到了良好的促進作用。借助3D模型展示，學生解決球類問題的能力顯著提升，說明教師可以適當借助多媒體技術進行立體幾何一章教學來提升教學質量。但要注意的是，從結果來看，該促進作用更傾向于“對數(shù)型”緩慢增長，這說明在立體幾何教學之初，3D建模固然可以快速幫助學生在腦海里建立起立體模型印象，從而提升解決問題的能力。但越到教學后期，這種促進作用越是變得微小，提升能力有限。這啟示我們教師，如果想要實現(xiàn)最終的教學突破，讓學生立體幾何解決問題的能力進一步強化，還是得靜下心來培養(yǎng)學生自己手動繪圖的能力，以及鍛煉學生自己腦海中的空間想象能力。

結語

實驗教育學興起于19世紀末20世紀初，代表人物有德國教育家梅伊曼和拉伊，是一種以教育實驗為標志的教育思潮，影響了幾乎遍及歐美的主要資本主義國家，法國和美國尤甚。實驗教育學采用了實驗的方法來研究教育中出現(xiàn)的一些問題，力圖將教育學這門學科建立在自然科學的基礎上，克服了傳統(tǒng)教育學研究只有概念思辨方法的缺陷。本文的設計，即遵循了實驗教育的思想。在設計過程中，將本次教育實驗分為了提出假設階段、制訂計劃階段以及實驗驗證階段三個階段，采用了實驗、統(tǒng)計和比較的方法進行研究，在學校環(huán)境和教學實踐中組織了本次教學實驗。通過實驗的結果分析，較為科學地得出了3D建模對立體幾何教學有促進作用的結論。然而，教育實驗面對的是一群有生命的孩子，畢竟跟實驗室里的科學實驗不同，切不可走上“唯科學主義”的迷途，過多地迷信實驗結果，從而拋棄傳統(tǒng)的教學方式。況且實驗結果亦顯示，信息技術對學生學習的促進作用呈現(xiàn)的是“對數(shù)型”的促進，說明想要取得最終的教學突破，還是要落腳于培養(yǎng)學生獨立自主的空間想象能力和畫圖能力，多媒體教學終究還是不可完全取代傳統(tǒng)教學。

參考文獻：

［1］拉伊.實驗教育學［M］.北京：人民教育出版社，1908.

［2］梅伊曼.實驗教育學概論［M］.北京：人民教育出版社，1914.

［3］劉力.教育實驗學［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］朱永新.朱永新與新教育實驗［M］.北京：北京師范大學出版社，2021.

［5］胡瑞，劉寶存.世界比較教育二百年回眸與前瞻［J］.比較教育研究，2018（07）：7886.

作者簡介：張國煜（1988—?），男，苗族，湖南吉首人，碩士，助理講師，在高中一線數(shù)學教育十年，現(xiàn)任教于吉首市民族幼兒師范學院，致力于研究將信息技術應用于課堂教學。