基于區間二型模糊集的輪系傳動方案綜合評價*

劉 昊,趙永生,馬雅麗,閆立山,董昊天

(大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連 116024)

0 引 言

輪系是動力源和工作裝置之間的連接部分,常被用于動力傳遞、運動變換等。由于其具有結構緊湊、傳動平穩、機械效率高等優勢,目前輪系已被廣泛應用于各種機械設備中。

目前,輪系的傳動方案類型多樣,如何根據實際使用需求選擇最合適的方案,以提高機械設備性能是亟需解決的問題。通常,學者們對于齒輪傳動的研究多是聚焦于某一具體方面,例如承載能力、可靠性、振動、誤差等,從宏觀角度進行綜合評價的研究很少。但是,一些學者對其他機械零部件的評價方法進行了研究,可為學術界提供研究思路。

DING Zhou-yang等人[1]將改進的層次分析法和基于連接度的排序偏好技術與理想解方法相結合,為機床導軌的選擇提供了可靠的決策支持;但在評價過程中,采用該方法仍存在較強的主觀性。對此,GU Ying-kui等人[2]提出了一種基于隱馬爾可夫模型的評價方法,以準確評估齒輪箱的斷齒和磨損狀態,其無需進行指標權重的主觀賦予,使評價更為客觀。ZHANG Xu-gang等人[3]使用模糊可拓層次分析法,對混凝土泵車動臂油缸進行了評價,提高了其再制造效率。

輪系傳動方案的綜合評價中存在著眾多模糊性因素,對此,可以應用模糊集來處理復雜的模糊性問題。

ZADEH L A[4]首次提出了模糊集的概念,之后在原始模糊集的基礎上對其進行了擴展,得到了二型模糊集(type-2 fuzzy sets, T2FSs)[5]。為了克服T2FSs在應用中的缺陷,MENDEL J M等人[6]提出了IT2FSs的概念,引起了業界廣泛的關注。LEE L W等人[7]研究了區間二型梯形模糊集(interval type-2 trapezoidal fuzzy sets, IT2TFSs)的運算原理,使IT2FSs的應用從理論變為現實。KILIC M等人[8]應用IT2FSs處理模糊評價指標,靈活選擇了投資項目,較好地解決了比較判斷的模糊性。ZHOU Lin-tao等人[9]提出了一種基于IT2FSs的多層次、多指標評估模型,并使用去模糊方法處理模糊問題,以此來評估教學表現,選擇出教學表現最好的教師;但是復雜的指標體系對于IT2FSs的應用存在指標耦合問題。對此,MENG Fan-yong等人[10]使用IT2FSs構建了交叉熵模型,獲得了屬性集上的最優模糊測度,對海綿城市建設方案進行了選擇,極大地簡化了評價流程。

輪系傳動方案的綜合評價是多準則群決策中的多屬性群決策問題。DE A等人[11]使用基于IT2FSs的排序解決了多屬性群決策問題,相比于區間一型模糊集的排序,其排序更加準確。VERMA R等人[12]提出了一種基于廣義勾股模糊有序加權余弦相似算子的多屬性群決策方法,基于該方法實現了對機器人的優選目標,進一步提高了其模糊處理能力。RAO Cong-jun等人[13]提出了使用灰色綜合云加權平均處理帶有主觀和客觀不確定語言變量的決策問題,對投資項目進行了選擇,為以后解決主客觀耦合問題提供借鑒。

作為解決多屬性群決策問題的特例,FCE法得到了廣泛應用。

CHEN J F等人[14]提出了一種基于FAHP法和FCE法的教學績效評價方法,并基于該方法對教師的教學表現做出了準確的評價。HU Yan-juan等人[15]提出了基于FCE的定性和定量相結合的方法,解決了評價指標無法公度的問題,對云制造服務進行了選擇。ZHANG Wen-jun等人[16]構建了一個基于FAHP聯合FCE法的模型,采用該模型評估了長江三角洲的供水網絡的水平。

總體來說,近年來各種評價方法被廣泛地研究,但鮮有將其有效地應用于輪系傳動方案的綜合評價上。

為解決傳統方案評價缺少合理的方法指導、主觀性強等問題,同時針對輪系傳動方案評價指標復雜多樣,難于將方案評價從定性到定量進行轉換的問題,筆者建立IT2FSs-FAHP-FCE的綜合評價數學模型,并以某輪系傳動方案為例,對基于IT2FSs的輪系傳動方案綜合評價方法的有效性進行驗證。

1 IT2TFSs的表達及運算

經典模糊集被稱為一型模糊集,其點值是二維的,隸屬函數是簡單的。T2FSs是具有三維點值的模糊集,其隸屬函數是模糊的。因此,與一型模糊集相比,T2FSs可以更好地解決語言歧義并捕獲固有的不確定性,特別是在無法確定模糊集的精確隸屬函數時。

由于T2FSs在表達時的局限性仍然存在,IT2FSs目前仍然被廣泛使用。作為IT2FSs的一般性表達形式,筆者采用的是IT2TFSs。

1.1 IT2TFSs的數學表達

(1)

(2)

IT2TFSs的數學模型如圖1所示。

圖1 IT2TFSs的數學模型

圖1中,IT2TFSs由上下兩個隸屬度函數表示,陰影部分為不確定覆蓋域。

1.2 IT2TFSs的運算方法

(3)

(4)

(5)

2 基于IT2FSs-FAHP-FCE的評價模型

針對輪系傳動方案的評價,筆者提出了IT2FSs-FAHP-FCE的評價模型。

為解決指標權重難以確定的問題,筆者采用FAHP法進行指標權重賦予;為消除FAHP法的極端數據的影響,采用區間二型依賴有序加權平均(interval type-2 dependent ordered weighted average,IT2DOWA)算子,對FAHP法進行改進;為解決評價指標數據的不可公度性問題,采用概率統計結合FCE的方法,將輪系傳動方案從定性轉換為定量化評價。

2.1 基于IT2FSs的FAHP法的賦權方法

指標權重的分配是方案評價的關鍵問題,旨在表示各評價指標的重要程度。FAHP法是在層次分析法基礎上,考慮到對復雜事物判斷的模糊性,引入模糊判斷矩陣的決策方法。該矩陣需要對指標進行成對比較,比較結果無法體現指標間的不確定性信息;而將IT2FSs與FAHP法相結合,則可以捕捉評價過程中相關的不確定性。

賦權方法的步驟如下:

1)采用IT2TFSs描述指標間相對重要性的成對比較判斷。相對重要性的語言術語及其相應的IT2TFSs如表1所示。

表1 相對重要性語言標度表

2)對各指標的相對重要性進行成對判斷,得到個體判斷矩陣如下:

(6)

3)個體判斷矩陣的聚合是達成群體共識的必要條件。個體判斷矩陣經聚合后形成的群判斷矩陣對指標權重的求解結果影響很大,為構建更合理的群判斷矩陣,筆者采用IT2DOWA算子對多個個體判斷矩陣進行聚合,以消除不公平的輸入參數對聚合結果的影響。

該算子可表示為:

(7)

式中:ωπ(k),k=1,2,…,n為消除極端數據的權重因子;(π(1),π(2),…,π(n))為1,2,…,n的排列。

權重因子根據下式計算:

(8)

其中:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

4)基于可能度矩陣求解指標權重。第i個指標的去模糊化權重的表達式為:

(15)

式中:m為指標的個數;Ranki為由可能度矩陣P計算的排序值。

Ranki可由下式求得:

(16)

式中:pij為可能度矩陣P中第i行第j列的元素值。

可能度矩陣P表達式如下:

(17)

(18)

式(18)中,Y值表達式如下:

(19)

(20)

len值可由式(21)～式(24)計算得到:

(21)

(22)

(23)

(24)

2.2 基于概率統計-FCE的綜合評價方法

針對評價過程中多源異構性指標的無法公度及模糊評價指標的不可量化問題,筆者提出了結合概率統計與FCE的方法,對輪系傳動方案進行定量化評價;采用引入綜合評價等級隸屬關系的方式概率化綜合決策矩陣,并結合以廣義模糊合成算子為基礎的FCE方法,進行最終的評價,步驟如下:

1)評價等級隸屬集合中元素類型的不同,因此每個指標的評價結果是綜合評價等級隸屬集合T={A(極好),B(好),C(一般),D(差),E(極差)}的模糊集,其表達式如下:

(25)

式中:m為隸屬等級維度;n為評價指標數量;rij為指標uj對評價等級隸屬集合的隸屬等級,且各指標的評價等級隸屬集合滿足歸一化條件;

2)采用概率統計的方法,構建子指標集U={u11,u12,…,u43}到綜合評價等級隸屬集合T上的綜合決策矩陣R=(rij)5×15;

3)采用模糊運算將子指標集U上的綜合評價集合,轉換為綜合評價等級隸屬集合上的綜合決策集合。假設子指標全局權重向量W={ω11,ω12,…,ω43},根據2.1節求解的指標權重,則子指標集U中所有指標的綜合評價結果如下:

E=W°RT=(p1,p2,…,pm)

(26)

式中:°為模糊合成算子;pi為被評價方案相對于評價等級隸屬集合中第i個元素的隸屬度值。

筆者采用加權平均型模糊合成算子進行模糊運算,該算子的定義如下:

(27)

式中:?為有界積運算,即a?b=min(1,a·b);

4)為了使評價結果定量化表達,針對綜合評價等級隸屬集合,設定相應的評價分數隸屬集合P={100,80,60,40,20};將綜合評價結果E與評價分數隸屬集合P作乘法運算,可得到最終的定量化綜合評價分數值。

3 輪系傳動方案綜合評價

首先,筆者對輪系傳動方案的評價指標進行研究,建立評價指標體系,以用于方案評價;然后,考慮到評價指標數據不唯一,導致建立的評價模型無法用于方案評價的問題,采用評價函數對其進行聚合處理;最后,基于第2節建立的IT2FSs-FAHP-FCE綜合評價模型,對某輪系傳動方案進行評價。

3.1 基于IT2FSs的FAHP方法賦權

針對輪系傳動的關鍵部件(齒輪、軸、軸承及箱體),筆者從靜態特性、動態特性及結構特征等方面出發,綜合考慮各種影響因素,以確保評價指標集合的完整性,構建了輪系傳動方案的評價指標集合,如表2所示。

表2 輪系傳動方案的評價指標集合

筆者根據評價指標集合及表1所示的相對重要性語言標度表,結合實際使用需求,由式(6)構建指標和子指標的個體判斷矩陣。其中,指標的個體判斷矩陣如表3所示。

表3 指標的個體判斷矩陣

指標U1中子指標的個體判斷矩陣如表4所示。

表4 指標U1中子指標的個體判斷矩陣

指標U2中子指標的個體判斷矩陣如表5所示。

表5 指標U2中子指標的個體判斷矩陣

指標U3中子指標的個體判斷矩陣如表6所示。

表6 指標U3中子指標的個體判斷矩陣

指標U4中子指標的個體判斷矩陣如表7所示。

表7 指標U4中子指標的個體判斷矩陣

聯立式(7)～式(14),對個體判斷矩陣進行聚合,并聯立式(15)～式(24),筆者計算各評價指標的可能度矩陣以導出排序值,得到歸一化的權重,如表8所示。

表8 指標與子指標的權重

3.2 評價指標數據的預處理及方案的評價

筆者以某企業設備選擇輪系傳動方案為例,采用仿真分析獲取減速器方案的評價指標數據,并對其進行預處理。

被評價的單級圓柱齒輪組串聯兩級NGW行星齒輪組的傳動方案,如圖2所示。

圖2 傳動方案的三維模型

齒輪、軸及軸承部件的評價指標屬于強度分析。經綜合考慮,筆者選擇安全系數作為其指標數據。利用仿真獲取主要受載齒輪、軸、軸承部件的靜態和疲勞安全系數。對于傳動效率評價指標,筆者主要考慮齒輪嚙合摩擦損失、軸承摩擦損失及攪動損失。在分析傳遞誤差時,誤差波動范圍變化越小越好,因此,將傳遞誤差的峰峰值作為其評價指標的數據。振動評價指標則考慮齒輪傳動系統箱體的低階固有頻率,求解箱體預應力模態,提取箱體的前六階固有頻率。基于箱體的模態分析,對箱體的聲學輻射進行仿真,將得到的箱體周圍場點的輻射噪聲分貝數值作為噪聲評價指標的數據。

由于輪系中存在著同屬性部件或具體部件的指標數據不唯一等問題,導致指標數據無法進行量化。

為了將指標數據導入綜合決策矩陣,筆者通過建立評價函數對指標數據進行聚合,構建的評價函數如下:

(28)

式中:n為所考慮的評價指標數據的總數;Si(x)為當前評價指標數據;Smax,Smin分別為評價指標數據中的最大值,最小值;p為懲罰系數(p≥2)。

為了能全面地獲取傳動系統整個工況的評價指標數據,以提高綜合評價結果的準確性,筆者對整個工況載荷譜區間進行離散,即在額定功率為2 700 kW的基礎上,將額定轉速1 000 r/min劃分為10個子工況,步長為100 r/min。

仿真分析的結果如表9所示。

表9 仿真分析結果數據

根據仿真分析結果,并結合概率統計法,筆者構建子指標集U={u11,u12,…,u43}到綜合評價等級隸屬集合T上的綜合決策矩陣R=(rij)5×15。

綜合決策矩陣如表10所示。

表10 綜合決策矩陣

筆者應用式(26)對子指標全局權重向量與綜合決策矩陣進行模糊運算,得到綜合評價結果E;并根據2.2節設定的評價分數隸屬集合P={100,80,60,40,20},對綜合評價結果E與評價分數隸屬集合P進行乘法運算,可得最終的定量化綜合評價分數值為62.53。

上述結果說明,該方案的綜合評價結果良好,但仍然不是最優結果。

4 綜合評價模型的魯棒性分析

為驗證構建的綜合評價模型的有效性,筆者根據操縱權重系數的變化情況,對其進行魯棒性分析,評估權重系數最大的指標對模型排序性能的擾動。

1)在進行魯棒性分析前,應確定分析的敏感區的性質(全局性、局部性)。考慮到綜合評價的廣泛性特點,魯棒性分析的層次結構是從總體到具體范圍的全局加權,因此,關注的權重分配應是全局的;

2)定義用于魯棒性分析的區域內所有分析集:S(魯棒性分析過程中考慮的權重集)、I(魯棒性分析過程中變化的權重集)、U(魯棒性分析過程中不變的權重集)。筆者只關注單向的魯棒性分析,因此,集合S只包含單一權重,選取影響最大的指標用于分析。對于不變的權重集,其權重變化對評價結果影響很小,因此不作考慮。除以上2個權重集之外的權重則組成變化的權重集。

綜上所述,根據評價指標體系構建的分析集如下所示:

S={ω32},

I={ω21,ω23,ω24,ω31,ω34,ω42,ω43},

U={ω11,ω12,ω13,ω14,ω22,ω33,ω41}

3)設定彈性系數,用來表示與最重要指標的權重變化有關的其他權重系數的相對補償。

筆者設定敏感性權重的彈性系數αs,s∈S的值為1;穩定性權重的彈性系數αu,u∈U的值為0;采用比例法計算彈性權重系數αi,i∈I用來表示變化權重集中權重系數的相對補償,表示如下:

(29)

4)在比例化情況下,根據相關的權重彈性系數,對被分析權重集所實施的變化量Δx的邊界可以用下式計算:

(30)

5)在計算出邊界條件后,將其劃分為19份,以計算所需的步長,并根據設定的參數計算新的權重。具體的計算方法如下:

(31)

聯立式(29)～式(31),得到19組用于魯棒性分析的新權重,如表11所示。

表11 新指標權重

6)因為綜合評價分數值是在特定體系下的相對分數,所以只有一個方案無法體現其對照性。

為了對基于IT2FSs的輪系傳動方案綜合評價方法的有效性進行驗證,需加入對照組進行相對分數值的分析。筆者采用rand隨機數函數生成0到1上的隨機實數,以構建隨機矩陣,得到另外2個綜合決策矩陣,將其作為對照組。

對照組1如表12所示。

表12 對照組1

對照組2如表13所示。

表13 對照組2

7)根據表11中的19組變化的權重系數,筆者計算出該方案與兩個對照組的排序變化,如圖3所示。

圖3 排序性能的魯棒性分析

圖3中:同一方案中權重系數的變化會導致綜合評價分數值的變化,不同方案中權重系數的變化會導致排序值的變化,這說明了該模型對權重系數的變化是敏感的。通過比較各組變化權重中方案的排序,可知所有方案都保持了其排名。因此可以得出結論:該案例在特定體系下的綜合評價分數值是有效的,與對照組2相比,該方案有足夠的優勢;與對照組1相比,該方案存在不足。

由于方案的優劣主要取決于權重值較大的指標,通過對三個方案的綜合決策矩陣進行分析,參考權重值較大的指標U23,可知該指標的評價等級隸屬集合的隸屬等級排序:對照組1>該案例>對照組2。對于對照組2,若要提高其排序,需優化綜合決策矩陣,即采取有效的方法提高齒根彎曲疲勞強度,如合理選用材料和熱處理方式,改進制造工藝等。

綜上可知,當權重系數發生改變時,綜合評價分值會出現一定的變化,但變化幅度極小,可忽略不計,且各方案的排序順序不會改變。

由此可以表明:在權重發生較大波動時,最優輪系傳動方案均為對照組1,說明該輪系傳動方案綜合評價模型對權重的敏感性低,且穩健性好。

5 結束語

為了解決輪系傳動方案的評價問題,筆者提出了一種基于IT2FSs的輪系傳動方案綜合評價方法。

首先,構建了區間二型模糊集的數學表達模型,并研究了其基本的運算邏輯;其次,提出了基于IT2FSs的聯合FAHP與FCE的數學評價模型;然后,構建出了包含15個評價指標的綜合評價體系,并對其中指標的權重進行了確定,結合預處理后的指標數據,利用評價模型對輪系傳動方案進行了綜合評價;最后,為分析基于IT2FSs的輪系傳動方案綜合評價方法的有效性,又對其進行了魯棒性分析。

研究結論如下:

1)采用基于IT2FSs的FAHP方法,計算得到每個指標與子指標的權重,其中指標的權重系數分別為:承載能力(0.039 5)、工作性能(0.295 8)、可靠性(0.435 6)、附加條件(0.229 1),說明對輪系傳動方案的評價主要側重于可靠性,并較少考慮承載能力;

2)采用FCE法對評價函數預處理后的指標數據進行了處理,得到方案的綜合評價分數值為62.53,表明該方案的綜合評價結果良好,實現了從定性到定量的方案綜合評價目的;

3)魯棒性分析中方案的排序始終為對照組1>該案例>對照組2,說明了基于IT2FSs的輪系傳動方案綜合評價方法的有效性。該方法可為決策者選擇輪系傳動方案提供科學的指導和有效的技術支持,具有較高的工程實用性。

后續研究中,筆者將從宏觀角度研究輪系傳動方案的綜合評價,利用統計學方法離散化齒輪傳動系統的尺度參數,得到齒輪傳動系統的簡化等效模型,并利用大數據技術對齒輪傳動系統進行分析,實現齒輪傳動方案的概念性綜合評價目的。